2022年中考必做真题：
山东省淄博市中考数学试卷（含答案）
一、 挑选题： 本大题共12个小题， 每小题4分， 共48分. 在每小题给出的 四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的 . 1．（4分） 计算A．0
B．1
的 结果是 （ ）
C．﹣1 D．
2．（4分） 下列语句描述的 事件中， 是 随机事件的 为（ ） A．水能载舟， 亦能覆舟 B．只手遮天， 偷天换日 C．瓜熟蒂落， 水到渠成 D．心想事成， 万事如意
3．（4分） 下列图形中， 不是 轴对称图形的 是 （ ）
A． B． C． D．
4．（4分） 若单项式am﹣1b2与（ ） A．3
B．6
C．8
D．9
的 和仍是 单项式， 则nm的 值是
5．（4分） 与A．5
B．6
最接近的 整数是 （ ） C．7
D．8
6．（4分） 一辆小车沿着如图所示的 斜坡向上行驶了100米， 其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的 度数时， 具体按键顺序是 （ ）
A
．
BC
．．
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D．
7．（4分） 化简A．
B．a﹣1
C．a
的 结果为（ ） D．1
8．（4分） 甲、 乙、 丙、 丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场） ， 结果甲胜了丁， 并且甲、 乙、 丙胜的 场数相同， 则丁胜的 场数是 （ ） A．3
B．2
C．1
D．0
9．（4分） 如图， ⊙O的 直径AB=6， 若∠BAC=50°， 则劣弧AC的 长为（ ）
A．2π B． C． D．
10．（4分） “绿水青山就是 金山银山”．某工程队承接了60万平方米的 荒山绿化任务， 为了迎接雨季的 到来， 实际工作时每天的 工作效率比原计划提高了25%， 结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的 面积为x万平方米， 则下面所列方程中正确的 是 （ ） A．C．
B． D．
11．（4分） 如图， 在Rt△ABC中， CM平分∠ACB交AB于点M， 过点M作MN∥BC交AC于点N， 且MN平分∠AMC， 若AN=1， 则BC的 长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
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12．（4分） 如图， P为等边三角形ABC内的 一点， 且P到三个顶点A， B， C的 距离分别为3， 4， 5， 则△ABC的 面积为（ ）
A．
B． C． D．
二、 填空题（每题4分， 共5个小题， 满分20分， 将直接填写最后结果） 13．（4分） 如图， 直线a∥b， 若∠1=140°， 则∠2= 度．
14．（4分） 分解因式： 2x3﹣6x2+4x= ．
15．（4分） 在如图所示的 平行四边形ABCD中， AB=2， AD=3， 将△ACD沿对角线AC折叠， 点D落在△ABC所在平面内的 点E处， 且AE过BC的 中点O， 则△ADE的 周长等于 ．
16．（4分） 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A， B两点（点A在点B的 左侧） ， 将这条抛物线向右平移m（m＞0） 个单位， 平移后的 抛物线于x轴交于C， D两点（点C在点D的 左侧） ， 若B， C是 线段AD的 三等分点， 则m的 值为 ．
17．（4分） 将从1开始的 自然数按以下规律排列， 例如位于第3行、 第4列的 数是 12， 则位于第45行、 第8列的 数是 ．
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三、 解答题（本大题共7小题， 共52分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ）
18．（5分） 先化简， 再求值： a（a+2b） ﹣（a+1） 2+2a， 其中
．
19．（5分） 已知： 如图， △ABC是 任意一个三角形， 求证： ∠A+∠B+∠C=180°．
20．（8分） “推进全科阅读， 培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动， 随机调查了八年级50名学生最近一周的 读书时间， 统计数据如下表： 时间（小时）
人数
6 5
7 8
8 12
9 15
10 10
（1） 写出这50名学生读书时间的 众数、 中位数、 平均数； （2） 根据上述表格补全下面的 条形统计图．
（3） 学校欲从这50名学生中， 随机抽取1名学生参加上级部门组织的 读书活动， 其中被抽到学生的 读书时间不少于9小时的 概率是 几 ？
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21．（8分） 如图， 直线y1=﹣x+4， y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1， m） ， 这两条直线分别与x轴交于B， C两点． （1） 求y与x之间的 函数关系式；
（2） 直接写出当x＞0时， 不等式x+b＞的 解集；
（3） 若点P在x轴上， 连接AP把△ABC的 面积分成1： 3两部分， 求此时点P的 坐标．
22．（8分） 如图， 以AB为直径的 ⊙O外接于△ABC， 过A点的 切线AP与BC的 延长线交于点P， ∠APB的 平分线分别交AB， AC于点D， E， 其中AE， BD（AE＜BD） 的 长是 一元二次方程x2﹣5x+6=0的 两个实数根． （1） 求证： PA•BD=PB•AE；
（2） 在线段BC上是 否存在一点M， 使得四边形ADME是 菱形？若存在， 请给予证明， 并求其面积；若不存在， 说明理由．
23．（9分） （1） 操作发现： 如图①， 小明画了一个等腰三角形ABC， 其中AB=AC， 在△ABC的 外侧分别以AB， AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD， ACE， 分别取BD， CE， BC的 中点M， N， G， 连接GM， GN．小明发现了： 线段GM与GN的 数量关系是 ；位置关系是 ． （2） 类比思考：
如图②， 小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的 锐角三角形， 其中AB＞AC， 其它条件不变， 小明发现的 上述结论还成立吗？
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请说明理由． （3） 深入研究：
如图③， 小明在（2） 的 基础上， 又作了进一步的 探究．向△ABC的 内侧分别作等腰直角三角形ABD， ACE， 其它条件不变， 试判断△GMN的 形状， 并给与证明．
24．（9分） 如图， 抛物线y=ax2+bx经过△OAB的 三个顶点， 其中点A（1， ） ， 点B（3， ﹣
） ， O为坐标原点．
（1） 求这条抛物线所对应的 函数表达式；
（2） 若P（4， m） ， Q（t， n） 为该抛物线上的 两点， 且n＜m， 求t的 取值范围；
（3） 若C为线段AB上的 一个动点， 当点A， 点B到直线OC的 距离之和最大时， 求∠BOC的 大小及点C的 坐标．
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山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、 挑选题： 本大题共12个小题， 每小题4分， 共48分. 在每小题给出的 四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的 . 1．
【解答】解： 故选： A． 2．
【解答】解： A、 水能载舟， 亦能覆舟， 是 必定事件， 故此选项错误； B、 只手遮天， 偷天换日， 是 不可能事件， 故此选项错误； C、 瓜熟蒂落， 水到渠成， 是 必定事件， 故此选项错误； D、 心想事成， 万事如意， 是 随机事件， 故此选项正确． 故选： D． 3．
【解答】解： 根据轴对称图形的 概念， 可知： 选项C中的 图形不是 轴对称图形． 故选： C． 4．
【解答】解： ∵单项式am﹣1b2与∴单项式am﹣1b2与∴m﹣1=2， n=2， ∴m=3， n=2， ∴nm=8．
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=﹣=0，
的 和仍是 单项式，
是 同类项，
故选： C． 5．
【解答】解： ∵36＜37＜49， ∴
＜
＜
， 即6＜
＜7，
∵37与36最接近， ∴与
最接近的 是 6．
故选： B． 6．
【解答】解： sinA=
=
=0. 15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的 度数时， 按键顺序为
故选： A．
7．
【解答】解： 原式===a﹣1 故选： B． 8．
【解答】解： 四个人共有6场比赛， 由于甲、 乙、 丙三人胜的 场数相同， 所以只有两种可能性： 甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场， 这时乙、 丙各胜一场， 说明丁胜三场， 这与甲胜丁矛盾，
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+
所以甲只能是 胜两场，
即： 甲、 乙、 丙各胜2场， 此时丁三场全败， 也就是 胜0场． 答： 甲、 乙、 丙各胜2场， 此时丁三场全败， 丁胜0场． 故选： D． 9．
【解答】解： 如图， 连接CO， ∵∠BAC=50°， AO=CO=3， ∴∠ACO=50°， ∴∠AOC=80°， ∴劣弧AC的 长为故选： D．
=
，
10．
【解答】解： 设实际工作时每天绿化的 面积为x万平方米， 则原来每天绿化的 面积为依题意得：
﹣
万平方米，
=30， 即
．
故选： D． 11．
【解答】解： ∵在Rt△ABC中， CM平分∠ACB交AB于点M， 过点M作MN∥BC交AC于点N， 且MN平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B， ∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B， NM=NC，
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∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故选： B． 12．
【解答】解： ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 连EP， 且延长BP， 作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4， AE=PC=5， ∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4， ∠BPE=60°，
在△AEP中， AE=5， AP=3， PE=4， ∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形， 且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中， AF=AP=， PF=∴在直角△ABF中， AB2=BF2+AF2=（4+则△ABC的 面积是 故选： A．
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AP=．
．
） 2+（） 2=25+12） =
．
•AB2=•（25+12
二、 填空题（每题4分， 共5个小题， 满分20分， 将直接填写最后结果） 13．
【解答】解： ∵a∥b， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=140°，
∴∠2=180°﹣∠1=40°， 故答案为： 40． 14．
【解答】解： 2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1） （x﹣2） ．
故答案为： 2x（x﹣1） （x﹣2） ． 15．
【解答】解： ∵四边形ABCD是 平行四边形 ∴AD∥BC， CD=AB=2 由折叠， ∠DAC=∠EAC ∵∠DAC=∠ACB ∴∠ACB=∠EAC ∴OA=OC
∵AE过BC的 中点O ∴AO=BC ∴∠BAC=90° ∴∠ACE=90°
由折叠， ∠ACD=90°
∴E、 C、 D共线， 则DE=4 ∴△ADE的 周长为： 3+3+2+2=10
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故答案为： 10 16．
【解答】解： 如图， ∵B， C是 线段AD的 三等分点， ∴AC=BC=BD，
由题意得： AC=BD=m， 当y=0时， x2+2x﹣3=0， （x﹣1） （x+3） =0， x1=1， x2=﹣3，
∴A（﹣3， 0） ， B（1， 0） ， ∴AB=3+1=4， ∴AC=BC=2， ∴m=2， 故答案为： 2．
17．
【解答】解： 观察图表可知： 第n行第一个数是 n2， ∴第45行第一个数是 2025，
∴第45行、 第8列的 数是 2025﹣7=2021， 故答案为2021．
三、 解答题（本大题共7小题， 共52分. 解答应写出文字说明、或演算步骤. ）
第12页（共19页）
证明过程
18．
【解答】解： 原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1） +2a =a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a =2ab﹣1， 当时，
原式=2（+1） （
） ﹣1
=2﹣1 =1． 19．
【解答】证明： 过点A作EF∥BC， ∵EF∥BC，
∴∠1=∠B， ∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°．
20．
【解答】解： （1） 观察表格， 可知这组样本数据的 平均数为： （6×5+7×8+8×12+9×15+10×10） ÷50=8. 34， 故这组样本数据的 平均数为2；
∵这组样本数据中， 9出现了15次， 出现的 次数最多， ∴这组数据的 众数是 9；
∵将这组样本数据按从小到大的 顺序排列， 其中处于中间的 两个数是和9，
第13页（共19页）
8
∴这组数据的 中位数为（8+9） =8. 5；
（2） 补全图形如图所示，
（3） ∵读书时间是 9小时的 有15人， 读书时间是 10小时的 有10， ∴读书时间不少于9小时的 有15+10=25人， ∴被抽到学生的 读书时间不少于9小时的 概率是 21．
【解答】解： （1） 把A（1， m） 代入y1=﹣x+4， 可得m=﹣1+4=3， ∴A（1， 3） ，
把A（1， 3） 代入双曲线y=， 可得m=1×3=3， ∴y与x之间的 函数关系式为： y=； （2） ∵A（1， 3） ，
∴当x＞0时， 不等式x+b＞的 解集为： x＞1； （3） y1=﹣x+4， 令y=0， 则x=4， ∴点B的 坐标为（4， 0） ，
把A（1， 3） 代入y2=x+b， 可得3=+b， ∴b=， ∴y2=x+，
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=
令y=0， 则x=﹣3， 即C（﹣3， 0） ， ∴BC=7，
∵AP把△ABC的 面积分成1： 3两部分， ∴CP=BC=， 或BP=BC=， ∴OP=3﹣=， 或OP=4﹣=， ∴P（﹣， 0） 或（， 0） ．
22．
【解答】解： （1） ∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是 ⊙O的 直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴
，
∴PA•BD=PB•AE；
（2） 过点D作DF⊥PB于点F， 作DG⊥AC于点G， ∵DP平分∠APB， AD⊥AP， DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B，
第15页（共19页）
∴∠APC=∠BAC， 易证： DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC，
由于AE， BD（AE＜BD） 的 长是 x2﹣5x+6=0， 解得： AE=2， BD=3， ∴由（1） 可知： ，
∴cos∠APC=
=，
∴cos∠BDF=cos∠APC=， ∴
，
∴DF=2， ∴DF=AE，
∴四边形ADFE是 平行四边形， ∵AD=AE，
∴四边形ADFE是 菱形， 此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC=， ∴sin∠BAC=，
∴， ∴DG=
，
∴在线段BC上是 否存在一点M， 使得四边形ADME是其面积为： DG•AE=2×
=
第16页（共19页）
菱形
23．
【解答】解： （1） 连接BE， CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是 等腰直角三角形， ∴AB=AD， AC=AE， ∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS） ， ∴CD=BE， ∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，
∵点M， G分别是 BD， BC的 中点， ∴MG
CD，
BE，
同理： NG
∴MG=NG， MG⊥NG，
故答案为： MG=NG， MG⊥NG；
（2） 连接CD， BE， 相较于H，
同（1） 的 方法得， MG=NG， MG⊥NG；
（3） 连接EB， DC， 延长线相交于H， 同（1） 的 方法得， MG=NG， 同（1） 的 方法得， △ABE≌△ADC，
第17页（共19页）
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，
同（1） 的 方法得， MG⊥NG． 24．
【解答】解： （1） 把点A（1， 得
） ， 点B（3， ﹣） 分别代入y=ax2+bx
解得
∴y=﹣
（2） 由（1） 抛物线开口向下， 对称轴为直线x= 当x＞时， y随x的 增大而减小 ∴当t＞4时， n＜m．
（3） 如图， 设抛物线交x轴于点F
分别过点A、 B作AD⊥OC于点D， BE⊥OC于点E
∵AC≥AD， BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB时， 点A， 点B到直线OC的 距离之和最大．
第18页（共19页）
∵A（1， ） ， 点B（3， ﹣）
∴∠AOF=60°， ∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时， ∠BOC=60° 点C坐标为（， ） ．
第19页（共19页）
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