高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G．求：

(1)A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r； (2)两星球做圆周运动的周期．

L3MmL, r=L,（2）2π【答案】（1） R=

GMmmMmM【解析】

（1）令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有LrR

mM4242两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：G2mR2Mr2

LTT可得 ＝RrM，又因为LRr mMmL,rL； MmMm所以可以解得：RmM4242M（2）根据（1）可以得到：G2m2Rm2L

LTTMm42L3L32 则：TGmMMmG点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．

2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g月； (2)月球的质量M；

(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.

Rt2v02R2v0【答案】(1)；(2)；(3)2 2vtGt0【解析】 【详解】

(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有t2v0 g月2v0 t(2)假设月球表面一物体质量为m，有 MmG2=mg月 R月球表面的重力加速度大小g月2R2v0月球的质量M Gt(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有

Mm2 G2mR RT飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期

2T2

Rt 2v03．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G．求：

(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；

(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）【解析】

2RHT（2）

42RHGT23（3）2RHTRH R

（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小v12π(RH)． T（2）设月球质量为M．“嫦娥一号”的质量为m． 4π2(RH)Mmm根据牛二定律得G

(RH)2T24π2(RH)3． 解得MGT2（3）设绕月飞船运行的线速度为V，飞船质量为m0，则G4π2(RH)3． MGT2Mm0R2V2m0又

R联立得V2πRHTRH R

4．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m时速度为60m/s，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m时速度减为10m/s。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为g = 10m/s2。求：

(1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小. 【答案】(1)g火=4m/s (2)F=260N 【解析】 【分析】

火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力. 【详解】

（1）设火星表面的重力加速度为g火，则G2M火mr2火=mg火

GM地m=mg 2r地解得g火=0.4g=4m/s2

（2）着陆下降的高度：h=h1-h2=700m，设该过程的加速度为a，则v22-v12=2ah 由牛顿第二定律：mg火-F=ma 解得F=260N

5．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：

（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v；

（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T． 【答案】(1)【解析】 【分析】 【详解】

(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：

Rt3v0tan2v0tan2v0Rtana2(2)(3) (4)；；； v0tant2GRtt12gty2gt tanαxv0t2v0解得该星球表面的重力加速度：

g2v0tanα t(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：

GMmmg 2R则该星球的质量：

gR2 MG该星球的密度：

(3)根据万有引力提供向心力得：

M43R33vtanα3g04GR2GRt

Mmv2G2m RR该星球的第一宙速度为：

v2v0RtanaGM gRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:

T所以：

2R vT2RtRt2 v0Rtanαv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．

6．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：

（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径． （2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s．已知月球半径为R月，万有引力常量为G．试求出月球的质量M月． 【答案】(1)r【解析】

本题考查天体运动，万有引力公式的应用，根据自由落体求出月球表面重力加速度再由黄金代换式求解

3222R月h0gR2T2 (2) M=月22Gs4

7．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。 设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P点有相同的角速度，则有：

解得：

则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

8．2004年1月，我国月球探测计划“嫦娥工程”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入.2007年我国发射了“嫦娥1号”探月卫星，2010年又发射了探月卫星“嫦娥二号”，2013年“嫦娥三号”成功携带“玉兔号月球车”登上月球.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为G. （1）求出地球的质量；

（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；

g.当将来的嫦娥探测器登陆月球以6后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？

（3）若已知月球半径为r，月球表面的重力加速度为

22grgR2gRT（2）3（3）【答案】（1） 26G4【解析】 【详解】

（1）在地球表面，由

GMmmg R2解得地球的质量

gR2 MG（2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有

GMm4m2r r2T2月球绕地球运动的轨道半径

222GMTgRT3 r32244（3）在月球表面，则有

gv2mm 6r解得

v

gr 69．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F与在地球表面时重力mg的比值后kF称为载荷值．已知地球的mg半径为R＝6.4×106m（地球表面的重力加速度为g＝9.8m/s2）

(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k＝6，求该过程的加速度；（结论用g表示）

(2)求地球的笫一宇宙速度；

(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g）

【答案】(1) a＝5g (2)v7.92103m/s (3)T=5420s 【解析】 【分析】

(1)由k值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；

(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】

(1)由k＝6可知，F＝6mg，由牛顿第二定律可得：F-mg＝ma

即：6mg-mg＝ma 解得：a＝5g

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，

v2由万有引力提供向心力得：mgm

R所以：vgR9.86.4106m/s7.92103m/s

(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：G在地面上万有引力等于重力：GMm22m() 2rTMmmg 2R42r34(6.7106)3解得：Ts5420s 262gR(6.410)【点睛】

本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．

10．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：

（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G)

223ggRT【答案】（1）3 （2） R24GR4【解析】 【分析】 【详解】

（1）设地球质量为M，卫星质量为m，地球同步卫星到地面的高度为h，同步卫星所受万有引力等于向心力为

42RhmM Gm22(Rh)T在地球表面上引力等于重力为

GMmmg R2故地球同步卫星离地面的高度为

h（2）根据在地球表面上引力等于重力

3gR2T2R 24G结合密度公式为

Mmmg 2RgR2M3gG

434GRVR3