(完整word版)勾股定理典型题型

一、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长

⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2

解：⑴ABAC2BC210 ⑵BCAB2AC28 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC+BC=AB, 即AC+9=15,所以AC=144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2222222C BDA解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC+CD=AD 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x+1.5=（ x+0.5）222 222解之得x=2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB那么△DEF是直角三角形吗？为什么？ 1AB4解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB1AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,4BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下：

解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在Rt△CDE中，DE=CD+CE=(4a)+(2 a)=20 a同理EF=5a, DF=25a

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在△DEF中，EF+ DE=5a+ 20a=25a=DF

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∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM+AN=MN,所以AD边与AB边垂直；

②如果MN=a≠15,则9+12=81+144=225, a≠225,即9+12≠ a，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——

例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

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解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六：旋转问题：

例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由.

题型七：关于翻折问题

例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题

例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方

形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

222三、课后训练： 一、填空题

1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

D C

D

B E

O

第4题图 第3题图 图(1)

2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。 3．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm

4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

A20_____________________米。

325.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、 2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B

点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________. B二、选择题

1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能确定

3．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169

4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）

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A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32

6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米

E D A 售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）

C A

A

F

B

A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元

20m 30m 150° B C F 第6题图

第7题图

7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

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A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

B8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 CA．42 B．32 C．42或32 D．37或33 9. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

A（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对