勾股定理知识点+对应类型[1]

判定直角三角形 勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理和 平方根 平方根 定义、性质 开平方运算 立方根 定义、性质 开立方运算 实数 近似数、 有效数字

第一节 勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAa勾b股C

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个

三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a＋b＝c的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么

ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角

三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

2

2

2

2

2

2

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段

二、平方根：（11——19的平方）

1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方

根），也就是说如果x=a，那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

一个正数a的正的平方根，记作“a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a”，这两个平方根合起来记作“±a”。（ a叫被开方数， “亦可写成“”）

②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。

3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

22

”是二次根号，这里“”，

（3）aaa0,a2aa0,a2aa0.

2（4）一个数的两个平方根之和为0

三、立方根：（1——9的立方）

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次

3方根），也就是说如果x=a，那么x就叫做a的立方根。记作“a”。

3

2、立方根的性质：

①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

3②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即a=3a

③(3a)33a3a

3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方

的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，-1。 5、平方根和立方根的区别：

3（1）被开方数的取值范围不同：在a中，a0，在a中，a可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：

不同点：

（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围

3不同：±a中的被开方数a是非负数；a中的被开方数可以是任何数.

（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；

（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0．

四、实数：

1、定义：有理数和无理数统称为实数

无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。 有理数：有限小数或无限循环小数

注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式 2、实数的分类：

正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

整数 有理数 实数 分数 无理数 （无限不循环小数） 有限小数或无限循环小数 实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 ②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。

③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 ④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到

精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 取近似值的方法——四舍五入法

4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数

都称为这个近似数的有效数字 5、科学记数法：

n把一个数记为a10(其中1a10,n是整数）的形式，就叫6、实数和数轴：

做科学记数法。

每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。

勾股定理：

（一）结合三角形：

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)2(bc)20，则ABC为 三角形

22.在ABC中，若a=（b+c）（b-c），则ABC是 三角形，且 90

3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

21.已知x12xy25 与z10z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三

角形的形状。

2.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n1，b=2n，c=n1（n>1） 试说明：C=90。

22

222b、3.若ABC的三边a、试判断ABCc满足条件abc33810a24b26c，

的形状。

4.已知a62b8(c10)0,则以a、b、c为边的三角形是

2（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）

A. xy B. xy C. xy D. 不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

A8B6

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ） A. abb B. ab2h C. 变：

2222C

1a1b1h D.

1a21b21h2

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证：（1）

12abh（2）abch

1212

（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形

CADB

试一试：（1）只需证明h2(21a221b2)1，从左边推到到右边

（2）abch

（3）ahh2ch，注意面积关系abch的应用

223. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B

是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？ 4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ） A.

3a B. 12a C. 3a D.5a

QAMB

PN

4.折叠问题：

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A.

2542237453 B.

CD C. D.

AEB

1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

（三）求边长：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90 ①已知：a=6，c=10，求b； ②已知：a=40，b=9，求c；

2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

（五）方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

A B N （六）利用三角形面积相等：

1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ） A.

322 B.

A3105 C.

355 D.

455

CB

（七）旋转问题：

1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△P'AB，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=

AP'PBC

ABC为等腰直角三角形，BAC=90，2.如图，将ABH绕点A逆时针旋转到ACH处，若AH=3㎝，试求出H、H两点之间的距离。

3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积

已知直角三角形ABC中，ACB=90，CA=CB，圆心角为45，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN2AM2BN的理由。

C2AEMNFB

如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BD2CD22AD。

2

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：ODOE2OC；当三角板

绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，不需证明。

试一试：对于第1问，OD=CE，问题的实质是2OE问，通过作辅助线，将问题转化为第1问可解决。

2OC2，OE22OC，对于第二

（八）折叠问题：

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 （1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

ADEBFC

4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

5.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6

（1）△ACD是什么三角形？为什么？ （2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。

DAC'EBC