2021届高考物理三轮冲刺专练：重力场电场磁场的复合(解析版)

重力场电场磁场的复合【原卷】

1．如图所示，足够大平行板MN、PQ水平放置，MN板上方空间存在叠加的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，电场方向与水平成30角斜向左上方（图中未画出），电场强度大小Emgq；两板间也

存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，磁感应强度大小和电场强度大小也为B和E。现有一质量为m、电量为q的带正电小球，在MN板上方电磁场中沿直线运动，并能通过MN板上的小孔进入两板间。 (1)求小球刚进入平行板时的速度v大小和方向；

(2)若小球进入两板间后，经过t时间撤去板间电场，小球恰好能做匀速直线运动且不与PQ板碰撞，求两板间距离d应满足的条件以及时间t。

2．如图所示，在竖直平面内的坐标系xOy的第一象限与第四象限内有一条垂直于x轴的虚线MN、MN与x轴的交点为D。在y轴与虚线MN之间有匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E1；x轴上方的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B1，x轴下方的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B2，B1 = 2B2。在第二象限内有水平向右的匀强电场，场强

1

大小为E2。一个质量为m、电荷量为 + q的带电液滴从P点由静止释放，恰经过原点O进入第四象限后，开始做匀速圆周运动。已知P点坐标为（- 3d，4d），B1 =

5m2g（g为重力加速度），液滴通过O点后穿过x轴一次，最后3qd垂直于MN射出磁场，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。求： (1)场强E1、E2的大小； (2)虚线MN与y轴的距离；

(3)液滴从P点释放到离开磁场的时间。

3．如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为q的小球（可视为质点）从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g。

(1)求电场强度的大小和方向；

(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；

2

(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

4．如图所示，半径R＝3.6m的光滑绝缘圆弧轨道，位于竖直平面内，与长L＝5m的绝缘水平传送带平滑连接，传送带以v＝5m/s的速度顺时针转动，传送带右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝20N/C，磁感应强度B＝2.0T，方向垂直纸面向外。a为m1＝1.0×10-3kg的不带电的绝缘物块，b为m2＝2.0×10-3kg、q＝1.0×10-3C带正电的物块。b静止于圆弧轨道最低点，将a物块从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到最低点与b发生弹性碰撞（撞撞过程中b的电量不发生变化），碰后立即撤去a。碰后b先在传送带上运动，后离开传送带飞入复合场中，最后落在地面上的P点，落地时速度方向与水平面成60°斜向左下方(如图)。已知b物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.1。（g取10m/s2，a、b均可看做质点）求： (1)物块a运动到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力； (2)物块b离开传送带时的速度；

(3)从b开始运动到落地前瞬间，b运动的时间。

16

3

5．如图所示，在平面直角坐标系中，AO是xOy的角平分线，x轴上方存在水平向左的匀强电场，下方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两电场的电场强度大小相等。一质量为m、带电荷量为+q的质点从OA上的M点由静止释放，质点恰能沿AO运动而通过O点，经偏转后从x轴上的C点进入第一象限内并击中AO上的D点（C、D均未画出）。已知ODOM，匀强磁场的磁感应强度大小为Bm(T)，重力加速度g取10m/s2 。求： q34(1)两匀强电场的电场强度E的大小； (2)OM的长度L；

(3)质点从M点出发到击中D点所经历的时间

4

36．如图所示，半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨道的

4圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直方向建立y轴。y轴右侧存在竖直向下范围足够大的匀场强电场，电场强度大小为E1mg，第二象限q存在匀强电场（方向与大小均未知)。不带电的绝缘小球a质量为M，带电量为+q的小球b质量为m，a球从与圆心等高的轨道A处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b球正碰，碰撞后b球恰好能通过轨道最高点C，并落回轨道A处，小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，重力加速度为g，小球b的电量始终保持不变。试求： (1)第一次碰撞结束后，小球a的速度大小； (2)第二象限中电场强度E2的大小和方向。

7．如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内且x轴沿水平方向，其第二象限内有一对平行金属板A、B，两板相距为d，两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，第一象限某一矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2，第四象限存在一未知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B3，在竖直方向存在交变电场，将一个倾角为的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知大

5

量带电量均为q的带电粒子从平行金属板左侧沿x轴正方向以相同的速度v0飞入平行金属板A、B之间，稳定后，某一质量为m的带电离子能沿平行金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为0，且此后一直在第三象限内运动，取带电粒子刚进入斜面时为t0时刻，电场变化如图乙所示，电场方向竖直向上为正，场强大小为E0，已知B3的大小数值上等于

2m，且q题中d、B1、B2、q、m、v0、E0为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用，则

（1）求稳定后两金属板之间的电势差UAB；

（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2； （3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角的函数关系式；

19s后电场变为垂直斜面向上的（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，

匀强电场，电场大小变为E0cosθ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE。

qE0cos1sC已知小球在电场变化后的内打在荧光屏上，且与点的距离为，求4322m3419s末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。

6

8．如图所示，在边长为L的正方形abcd区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电量为q的粒子从ad边中点e以速度v0沿内切圆直径ef射入场区，粒子恰沿直线从bc边的中点f射出场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，

粒子射出电场时速度偏向角045。已知tan53，不计粒子重力。

43(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间t0及电场强度E的大小； (2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。

7

9．如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的长为2d的矩形匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，将喷墨打印机的喷口靠近下板上表面（墨滴与下极板恰好没接触），从喷口连续不断沿水平方向喷出质量均为m、带相等电荷量为+q的墨滴。调节电源电压至某值时，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，并进入电场、磁场共存区域运动，不考虑边缘效应，重力加速度为g。求：

(1)墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动时，极板两端电压U为多大？

(2)要使进入电场、磁场共存区域的墨滴打不到上极板，水平速度v0的值。

10．如图所示，xOy坐标系位于竖直平面内，在x＜0的区域内存在电场强度大小E1mg（g为重力加速度）、方向沿y轴正方向的匀强电场和磁感应强q度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场；在x＞0的区域内存在电场强度大小E2＝2E1、方向沿y轴正方向的匀强电场．某时刻，在第三象限的N(2mv0mv0,)点以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出质量为m、带2qBqB电荷量为+q的小球甲，小球甲从y轴上的P点（图中未画出）进入y轴右侧

8

的电场，最终恰好以沿x轴正方向的速度经过x轴上的Q1点（图中未画出）．小球所带的电荷量不影响电场的空间分布．（结果均用B、m、q、v0四个物理量中的量表示） （1）求P点到O点的距离． （2）求E1和B大小的比值．

（3）如果在P点静止放置一质量为m、不带电的小球乙，小球甲运动到P点时与小球乙相碰，碰撞时间极短，碰撞过程电荷量不变，碰后两小球结合成一个整体，求结合体从P点运动到与Q1点在同一竖直线上的Q2点（图中未画出）的时间．

11．如图所示，在水平虚线下方区域内分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小E=1V/m、方向水平向左，磁场的磁感应强度大小B=0.1T，方向垂直于纸面向里。 在该区域上方的某点A，以初速度v010m/s水平向右抛出一带正电的小球，小球进入该区域后恰好做直线运动，取重力加速度大小g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)A点距该虚线的高度h；

q(2)小球的比荷。

m

9

12．如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为B=1T，方面垂直于纸面向里的磁场，II、III、IV象限（含x、y轴）有电场强度为E=2N/C，竖直向下的电场。光滑 圆弧小管道（管的直径略大于B球直径），圆心O'，半径为R=4m，小圆管底端位于坐标轴原点O。质量为m=1kg，带电q1=-1C的小球A从O'处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。质量为m2=2kg，带电q2=2C的小球B从小圆管顶端（与圆心等高处）静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。 (1)小球A在O'处的初速度为多大；

(2)碰撞完成后瞬间，小球C对圆管轨道的压力；

(3)小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析C球在后续运动过程中，又回到y轴时离O点的距离。

14

10

13．如图所示的竖直平面内，竖直分界线MN左侧存在竖直向上的匀强电场，电场场强为E1，右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，电场强度为E2，左侧区域有一段半径为R的光滑绝缘圆弧轨道ACB与分界线MN交于B点，AB两点等高，C点为圆弧最高点，另有一段足够长的光滑绝缘直轨道与圆弧相切与A点，直轨道与水平面成45角。右侧区域有一个半径也为R的圆圈，圆心O与AB两点等高。电量为q可视为质点的带电小球从绝缘直轨道上距A点R处由静止释放，小球能够沿着左侧轨道运动，经过B点后在右侧区域做匀速圆周运动。若小球再次回到左侧区域后的运动不考虑，重力加速度未知。

（1）求带电小球的重力及经过C点时对轨道的压力；

（2）若带电小球从直轨道上距A点的距离为9:1的两个地方由静止释放，小球在右侧区域的圆周轨迹都恰好和圆圈相切，求OB间的距离d；

（3）若第（2）问中释放点距A点较近的距离为R，求小球质量与右侧区域磁

m感应强度的平方之比B2。

14．如图所示，水平地面上方有水平向右的匀强电场，竖直放置的光滑绝缘圆弧轨道固定在地面上，轨道末端C点与圆心O的连线和竖直直径的夹角为30，

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轨道右侧竖直虚线MN和PQ间还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B203T。一带电小球（看做质点）自最高点A水平向左进入轨道，小球的质量m=0.3kg，带电量q0.01C，小球沿着轨道圆周运动至C点的过程中，和轨道间的最小压力FN(50103)N，小球离开轨道后立即进入MN右侧有磁场的区域，在MN和PQ间恰好做直线运动，运动至和A 点等高的D点离开磁场区域，又经过一段时间落在地面上。已知重力加速度g =10m/s2，求： (1)小球运动至轨道末端C点时的速度大小； (2)圆弧轨道的半径；

(3)小球最后落地时的速度大小。

15．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水Q位于MN上，平初速度v0沿PQ向右做直线运动，若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成90°角，已知D、Q间的距离为2L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求：

（1）电场强度E的大小和方向；

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（2）t0与t1的比值；

（3）小球过D点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁感应强度B0的大小及运动的最大周期Tm。

16．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示。第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，第一象限场强大小为第二象限场强大小的一半。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子（可视为质点），该粒子以初速度v0从-x上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从+y上的C点沿x轴正方向进入第一象限，C点粒子动能为A点粒子动能的4倍。重力加速度为g。试求：

(1)OC距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；

(2)若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），并且在t=

T0时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度4方向仍然水平，且CD=3OC．若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T0的大小；

(3)若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），调整磁场变化的周期，让粒子在

13

t=0时刻由C点进入第一象限，且恰能通过x轴上F点，且OF=3OC，求交变磁场的磁感应强度B0的大小应满足的条件。

重力场电场磁场的复合

1．如图所示，足够大平行板MN、PQ水平放置，MN板上方空间存在叠加的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，电场方向与水平成30角斜向左上方（图中未画出），电场强度大小Emgq；两板间也

存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，磁感应强度大小和电场强度大小也为B和E。现有一质量为m、电量为q的带正电小球，在MN板上方电磁场中沿直线运动，并能通过MN板上的小孔进入两板间。 (1)求小球刚进入平行板时的速度v大小和方向；

(2)若小球进入两板间后，经过t时间撤去板间电场，小球恰好能做匀速直线运

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动且不与PQ板碰撞，求两板间距离d应满足的条件以及时间t。

mg3m2g【答案】(1)vqB，方向与AB成60角斜向下；(2)drrcos22，

2qBtπ2πmT 2π3qB【详解】

(1)带正电的小球能在电磁场中沿直线运动，可知一定是匀速直线运动，受力平衡，因电场力

F电qEmg

方向沿左上方与水平成30角，重力mg竖直向下，可知电场力与重力夹角为120，其合力大小为mg。如图所示

则满足

qvBmg

解得

v

mg qB15

方向与MN成60角斜向下。 (2)依题知

qEmg

故小球在两板间做匀速圆周运动。由牛顿第二定律

mv2qvBr

得

r(mqB)2g 且

T2πr2πmvqB 如图示位置撤去电场

由

qvBmg

可做匀速直线运动。由几何关系得

drrcos3m2g2q2B2

且

tπ22πTπm3qB

6

1

2．如图所示，在竖直平面内的坐标系xOy的第一象限与第四象限内有一条垂直于x轴的虚线MN、MN与x轴的交点为D。在y轴与虚线MN之间有匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E1；x轴上方的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B1，x轴下方的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B2，B1 = 2B2。在第二象限内有水平向右的匀强电场，场强大小为E2。一个质量为m、电荷量为 + q的带电液滴从P点由静止释放，恰经过原点O进入第四象限后，开始做匀速圆周运动。已知P点坐标为（- 3d，

5m2g4d），B1 = （g为重力加速度），液滴通过O点后穿过x轴一次，最后

3qd垂直于MN射出磁场，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。求： (1)场强E1、E2的大小； (2)虚线MN与y轴的距离；

(3)液滴从P点释放到离开磁场的时间。

3mg53d) 【答案】(1)E2 =4q；(2)6d；(3)(4602g【详解】

(1)液滴在第一、四象限内做匀速圆周运动电场力与重力大小相等、方向相反，

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故有

E1q = mg

则

mgE1=q

在第二象限，液滴在P点由静止释放后沿直线运动，设液滴进入磁场时速度方向与x轴成α角则

tanα =

解得

α = 53°

合力必沿PO方向，所以

mgtanα =Eq

24d4= 3d3解得

3mgE2=4q

(2)设液滴经过O点时的速度大小为v，则

3E2qd + 4mgd =2mv2

解得

5v =2gd 21液滴在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示

18

在x轴下方磁场中有

v2qvB2= mR

2可得

R2= 3d

同理可解得液滴在x轴上方磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径R1=

32d 所以虚线MN与y轴的距离

x = 2R2sin53° + R1sin53° = 6d

(3)液滴在第二象限的加速度

a = F合m1.25mgm1.25g 液滴在第二象限的运动时间

t1=v= 22dag 液滴在x轴上方磁场中做匀速圆周运动的周期

T1=

2R16dv=52g

9

1

液滴从P点移动到离开磁场的时间

t = t1 +

53d10653T2T1= (4 +)

602g3603603．如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为q的小球（可视为质点）从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g。

(1)求电场强度的大小和方向；

(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；

(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

【答案】(1)Evmgq，方向竖直向下；(2)vmin9620.68qBhqBh；(3)v，mm0.545qBh0.52qBh ， vmm【详解】

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解：(1)小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，即

mg=qE

解得

Emgq

电场力的方向竖直向上，电场强度方向竖直向下。

(2)粒子运动轨迹如下左图所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值是vmin，对应的粒子在上、下区域的轨道半径分别为r1、r2，圆心的连线与NS夹角为φ，小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得

v2qvBm

r解得粒子轨道半径

rmv qB则有

r1mvmin qBr21r1 2由几何知识得

r1r2sinr2

21

r1r1cosh

解得

vmin962 qBhm(3)小球运动轨迹如上右图所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下区域轨道半径分别为r1、r2，粒子第一次经KL时，距K点为x，由题意可知

3nx=1.8h（n=1、2、3⋯）

3xr2 2962h3 x22xr12hr1 2解得

0.36hr112，n<3.5

n2即n=1时

v0.68qBh mn=2时

v0.545qBh mn=3时

v0.52qBh m14．如图所示，半径R＝3.6m的光滑绝缘圆弧轨道，位于竖直平面内，与长L

6＝5m的绝缘水平传送带平滑连接，传送带以v＝5m/s的速度顺时针转动，传

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送带右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝20N/C，磁感应强度B＝2.0T，方向垂直纸面向外。a为m1＝1.0×10-3kg的不带电的绝缘物块，b为m2＝2.0×10-3kg、q＝1.0×10-3C带正电的物块。b静止于圆弧轨道最低点，将a物块从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到最低点与b发生弹性碰撞（撞撞过程中b的电量不发生变化），碰后立即撤去a。碰后b先在传送带上运动，后离开传送带飞入复合场中，最后落在地面上的P点，落地时速度方向与水平面成60°斜向左下方(如图)。已知b物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.1。（g取10m/s2，a、b均可看做质点）求： (1)物块a运动到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力； (2)物块b离开传送带时的速度；

(3)从b开始运动到落地前瞬间，b运动的时间。

【答案】(1)6m/s，0.02N；(2)5m/s；(3)3.2s 【详解】 (1)由动能定理

m1gR(1cos60)12m1v0 2可得

v0=6m/s

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在B点，根据牛顿第二定律有

2v0FNm1gm1

R可得

FN=0.02N

由牛顿第三定律可得物块对轨道压力

F′N=- FN =-0.02N

方向竖直向下

(2)a与b弹性碰撞，则有：

m1v0m1v1m2v2

1m212122102m1v12m2v2联立可得

v24m/sv5m/s

故b做加速运动； 由

v2v222gx

解得

x=4.5m即b以v=5m/s的速度离开传送带飞进复合场 (3)b开始运动后：又因为

qEm2g0.02N

所以有

24

2v2q2Bm2

R解得

R=5m

xv2vt1 2可得

t1=1s L-x=vt

可得

t2=0.1s

圆周运动的周期

T2R v22

120t3T 360可得

t32πs 3故

2tt1t2t3(1.1)s3.2s

35．如图所示，在平面直角坐标系中，AO是xOy的角平分线，x轴上方存在水平向左的匀强电场，下方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两电场的电场强度大小相等。一质量为m、带电荷量为+q的质点从OA上的M点由静止释放，质点恰能沿AO运动而通过O点，经偏转后从x轴上的C点进

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3ODOM，匀强入第一象限内并击中AO上的D点（C、D均未画出）。已知

4磁场的磁感应强度大小为Bm(T)，重力加速度g取10m/s2 。求： q(1)两匀强电场的电场强度E的大小； (2)OM的长度L；

(3)质点从M点出发到击中D点所经历的时间

【答案】(1)E【详解】

mgq；(2)L202m或

202m；(3)7.71s或6.38s 9(1)质点在第一象限内受重力和水平向左的电场力作用，沿AO做匀加速直线运动，所以有

qEmgtan45

解得

Emgq

(2)质点在x轴下方，重力与电场力平衡，质点做匀速圆周运动，从C点进入第一象限后做类平抛运动，其轨迹如图所示。

26

则有

mv2qvBR

由运动学规律知

v22aL a2g

设粒子从C点运动到D点所用时间为t3，由类平抛运动规律知Rvt3

R3L412at23 联立解得

L202m或2029m (3)质点从M到O做匀加速直线运动有

L12at21 得

t2s或213s

质点做匀速圆周运动有

t32πm24qB4.71s

27

质点做类平抛运动有

Rvt3

得

t3=1s

质点从M点出发到击中D点所经历的时间为

tt1t2t37.71s或6.38s

6．如图所示，半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直方向建立y轴。y轴右侧存在竖直向下范围足够大的匀场强电场，电场强度大小为E1q，第二象限存在匀强电场（方向与大小均未知)。不带电的绝缘小球a质量为M，带电量为+q的小球b质量为m，a球从与圆心等高的轨道A处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b球正碰，碰撞后b球恰好能通过轨道最高点C，并落回轨道A处，小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，重力加速度为g，小球b的电量始终保持不变。试求： (1)第一次碰撞结束后，小球a的速度大小； (2)第二象限中电场强度E2的大小和方向。

mg34

【答案】(1) v12gR

mgm10gR；(2)，水平向右 qM28

【详解】

（1）设小球a滑动到最低时速度为v，由机械能守恒定律得

MgR1Mv2 2设a、b小球在B点碰撞后的速度分别为v1、v2，b球过最高点速度为vc，由动量守恒定律得

MvMv1mv2

由动能定理得

(mgE1q)2R1212mvcmv2 22在C点，由牛顿第二定律得

vc2mgqE1m

R联立解得

vc2gR v210gR v12gRm10gR M（2）要让b小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，电场力qE2与mg的合力应垂直于AC边斜向下，把运动沿CA方向与垂直CA方向分解，CA方向做匀速直线运动，垂直CA方向做匀减速运动，如图所示

29

则有

vC1vccos45 vC2vcsin45

由几何关系得，设小球b从C运动到A点时间为t，CA长

l2RvC1t

小球b垂直CA方向加速度大小为a，有

vC2at 2解得a2g。小球从C到A受到的合力

Fma2mg

由几何关系电场力大小为

F电mg

则

E2mg q方向水平向右。

7．如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内且x轴沿水平方向，其第二象限内有一对平行金属板A、B，两板相距为d，两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，第一象限某一矩形区域内

30

存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2，第四象限存在一未知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B3，在竖直方向存在交变电场，将一个倾角为的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知大量带电量均为q的带电粒子从平行金属板左侧沿x轴正方向以相同的速度v0飞入平行金属板A、B之间，稳定后，某一质量为m的带电离子能沿平行金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为0，且此后一直在第三象限内运动，取带电粒子刚进入斜面时为t0时刻，电场变化如图乙所示，电场方向竖直向上为正，场强大小为E0，已知B3的大小数值上等于q，且题中d、B1、B2、q、m、v0、E0的相互作用，则

（1）求稳定后两金属板之间的电势差UAB；

（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2； （3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角的函数关系式；

19s后电场变为垂直斜面向上的（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，

2m为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间

匀强电场，电场大小变为E0cosθ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE。

qE0cos1s已知小球在电场变化后的内打在荧光屏上，且与C点的距离为，求4322m3419s末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。

31

UAB【答案】（1）

2mv0m2v0qE0cos3qE0cosrB1dv0；(1cos)2234（）qB；（）22；（） 2qB32m32m22【详解】

（1）粒子在第二象限的两板间沿直线运动，则满足

UABqB1v0q d解得

UABB1dv0

32

（2）粒子在第一象限的矩形磁场中做匀速圆周运动，则

2v0B2qv0m

r2解得

r2mv0 qB2（3）第一象限的矩形磁场的最小面积

2m2v0Sr2r2(1cos)22(1cos)

qB2（4）在19s之前电场和磁场共存时粒子没有离开斜面，粒子在刚进入第三象限后在电场的作用下加速，电场加速度后粒子在只有磁场存在的情况下做匀速圆周运动，则由

v22RqvBm,T

Rv可得

T2m1s B3q代入数据解得T1s；说明粒子在磁场单独存在的情况下做一个完整的匀速圆周运动，然后继续电场加速，磁场完整圆周运动的情形，当粒子即将脱离斜面时，则垂直斜面方向一定满足

B3qvE0qcos

在19s时电场的大小和方向均改变，则将粒子的速度分解为沿斜面运动的v和

1v，则有 43433B3qvqE0cos 44

33

3粒子的v的速度受到的洛伦兹力和电场力平衡，做沿斜面的匀速直线运动，

411v的速度做只受洛伦兹力的匀速圆周运动，而运动了s打在屏幕上，因此运441动了圆周，根据条件可得圆周运动在斜面和垂直斜面的位移相同，因此总位

4移为做圆周运动的半径加匀速直线的位移，即

xqE0cos31qE0cos3qE0cosv 2232m4432m32m8．如图所示，在边长为L的正方形abcd区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电量为q的粒子从ad边中点e以速度v0沿内切圆直径ef射入场区，粒子恰沿直线从bc边的中点f射出场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，

粒子射出电场时速度偏向角045。已知tan53，不计粒子重力。

43(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间t0及电场强度E的大小； (2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。

253LLmv0tE0【答案】(1)；(2)180v v0；qL0【详解】

(1)当只有电场时，粒子做类平抛运动，设粒子出电场时沿电场方向分速度为vy 速度偏向角的正切值

34

tan0vyv0

沿初速度方向

xvt

00沿电场力方向

y12vyt0 可得

x2y

可知粒子一定是从c点射出电场，可得

tL0v 0加速度

aqEm 沿电场方向分速度

vyat0

可得

Emv20qL

(2)设磁场的磁感应强度大小为B，当电场和磁场共存时粒子做直线运动，则qEqv0B

当只存在磁场时粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得

2qvv00Bmr

35

粒子运动轨迹如图所示

由几何关系可知偏转角满足

L1tan2 2r2粒子在磁场内运动周期

T2r v0粒子在磁场内运动时间

t3602r53L v0180v09．如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的长为2d的矩形匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，将喷墨打印机的喷口靠近下板上表面（墨滴与下极板恰好没接触），从喷口连续不断沿水平方向喷出质量均为m、带相等电荷量为+q的墨滴。调节电源电压至某值时，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，并进入电场、磁场共存区域运动，不考虑边缘效应，重力加速度为g。求：

(1)墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动时，极板两端电压U为多大？

36

(2)要使进入电场、磁场共存区域的墨滴打不到上极板，水平速度v0的值。

【答案】(1)U【分析】

mgdqBd5qBdv0v0(2)；或 q2m2m(1)根据电场力和重力平衡求出电压。

(2)墨滴垂直进入电磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，墨滴做匀速圆周运动，根据墨滴恰好打不到上极板，通过几何关系得出墨滴的轨道半径，结合带电墨滴在磁场中运动的半径公式求出墨滴进入磁场后恰好不打到上板的右端时水平速度v0的取值。 【详解】

(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有

qUmg d得

Umgd q(2)进入电场、磁场共存区域后，重力与电场力平衡，磁场力做匀速圆周运动的向心力

2v0qv0Bm

R墨滴进入磁场后恰好不打到上板，轨迹与上板刚好相切时，如图轨迹①，由几

37

何关系得半径R1由此可得

v0qBd 2md 2墨滴进入磁场后恰好不打到上板的右端时，如图轨迹②

由几何关系得

（R2-d）2+（2d）2=R22

得R25d 2由此可得

v05qBd 2m因此，水平速度v0的取值

v0qBd5qBd或v0 2m2m10．如图所示，xOy坐标系位于竖直平面内，在x＜0的区域内存在电场强度大小E1q（g为重力加速度）、方向沿y轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场；在x＞0的区域内存在电场强度大小E2＝2E1、方向沿y轴正方向的匀强电场．某时刻，在第三象限

mg

38

的N(2mv0mv0,)点以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出质量为m、带2qBqB电荷量为+q的小球甲，小球甲从y轴上的P点（图中未画出）进入y轴右侧的电场，最终恰好以沿x轴正方向的速度经过x轴上的Q1点（图中未画出）．小球所带的电荷量不影响电场的空间分布．（结果均用B、m、q、v0四个物理量中的量表示） （1）求P点到O点的距离． （2）求E1和B大小的比值．

（3）如果在P点静止放置一质量为m、不带电的小球乙，小球甲运动到P点时与小球乙相碰，碰撞时间极短，碰撞过程电荷量不变，碰后两小球结合成一个整体，求结合体从P点运动到与Q1点在同一竖直线上的Q2点（图中未画出）的时间．

4m2mv02v0【答案】（1）；（2）；（3）qB．

2qB4【详解】

（1）对小球甲在x＜0的区域内受力分析有: qE1＝mg

可知小球甲所受的电场力与重力平衡，洛伦兹 力使小球甲在y轴左侧做匀速圆周运动，轨迹

39

半径Rmv0Bq， 又N点的坐标为2mv0mv02Bq,Bq， 小球甲运动轨迹的圆心在x轴负半轴上，且小

球甲运动58个圆周后到达P点，运动轨迹如图

所示：

小球甲在P点的度方向与y轴负方向的夹角 α＝45°， 故OPRsin2mv02qB； （2）小球甲进入y轴右侧的场电场后，对小球甲受力分析得 qE2﹣mg＝ma，

解得a＝g，方向竖直向上，

根据题意可知，小球甲在y轴右侧的运动轨迹 恰好与x轴相切，则在沿y轴方向有

v0cos22aOP，

又gE1qm， 联立解得

40

E1B2v0 4（3）小球甲、乙在P点相碰，设碰后结合体的速 度大小为v，由动量守恒定律得

mv02mv

在y轴右侧的电场中，对结合体有

qE22mg

所以结合体在y轴右侧做匀速直线运动，由运 动学规律可知OQ1＝2OP 根据几何关系有PQ22OQ1 又PQ2＝vt

解得结合体从P点运动到Q2点的时间

t4m ． qB11．如图所示，在水平虚线下方区域内分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小E=1V/m、方向水平向左，磁场的磁感应强度大小B=0.1T，方向垂直于纸面向里。 在该区域上方的某点A，以初速度v010m/s水平向右抛出一带正电的小球，小球进入该区域后恰好做直线运动，取重力加速度大小g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)A点距该虚线的高度h； (2)小球的比荷

q。 m

41

【答案】(1)h5m；(2) 【详解】

q10C/kg m(1)小球进入电磁叠加场后受力分析如图所示，

由受力特点可知小球做匀速直线运动，设速度v与水平夹角为，有

qEqvBsin

vsinvy

由平抛规律可知

vy2gh

联立解得

E2h5m 22gB(2)由竖直方向的平衡有

42

mgqvBcos

而

vcosv0

联立解得

qg10C/kg mBv012．如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为B=1T，方面垂直于纸面向里的磁场，II、III、IV象限（含x、y轴）

1有电场强度为E=2N/C，竖直向下的电场。光滑 圆弧小管道（管的直径略

4大于B球直径），圆心O'，半径为R=4m，小圆管底端位于坐标轴原点O。质量为m=1kg，带电q1=-1C的小球A从O'处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。质量为m2=2kg，带电q2=2C的小球B从小圆管顶端（与圆心等高处）静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。 (1)小球A在O'处的初速度为多大；

(2)碰撞完成后瞬间，小球C对圆管轨道的压力；

(3)小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析C球在后续运动过程中，又回到y轴时离O点的距离。

【答案】(1) 2m/s (2) 压力为3N，方向向下 (3) y12n22（n=1、2、3。）

43

【详解】

(1)A从O'飞出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动

r

R

2

洛伦兹力提供向心力

2m1vAq1vAB

r解得

vA2m/s

(2)设B滑到O点的速度为vB，由动能定理

qER12m2vB 2解得

vB4m/s

A、B在O点发生完全非弹性碰撞，设碰后生成的C球质量为mc，mcm1m2，速度为v1， 由动量守恒定律

m2vBm1vAmcv1

得

v12m/s

C球做圆周运动， C球带电量 qq1q2 在碰后瞬间，设轨道对C支持力为N，

mCv12NEqqv1B

R解得

N=3N

44

由牛顿第三定律可得压力为3N，方向向下；

(3)C球从轨道飞出后，受到竖直向下的电场力和垂直纸面向外的洛伦兹力，在电场力作用下，C球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向做匀速圆周运动，每隔一个周期T，C球回到y轴上。由

mCv12qv1B

RC及

T2RC v1解得C球圆周运动周期

TC球竖直方向加速度

aEq mC2mC qBC球回到y轴时坐标

y1a(nT)2 2代入数据解得

y12n22（n=1、2、3。）

13．如图所示的竖直平面内，竖直分界线MN左侧存在竖直向上的匀强电场，电场场强为E1，右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，电场强度为E2，左侧区域有一段半径为R的光滑绝缘圆弧轨道ACB与分界线MN交于B点，AB两点等高，C点为圆弧最高点，另有一段足够长的光滑绝缘直轨道与圆弧相切与A点，直轨道与水平面成45角。右侧区域有一个半径也

45

为R的圆圈，圆心O与AB两点等高。电量为q可视为质点的带电小球从绝缘直轨道上距A点R处由静止释放，小球能够沿着左侧轨道运动，经过B点后在右侧区域做匀速圆周运动。若小球再次回到左侧区域后的运动不考虑，重力加速度未知。

（1）求带电小球的重力及经过C点时对轨道的压力；

（2）若带电小球从直轨道上距A点的距离为9:1的两个地方由静止释放，小球在右侧区域的圆周轨迹都恰好和圆圈相切，求OB间的距离d；

（3）若第（2）问中释放点距A点较近的距离为R，求小球质量与右侧区域磁感应强度的平方之比B2。

m

【答案】（1）mgqE2，3q(E1E2)，方向竖直向上；（2）22R；（3）B272(EE)

12【详解】

（1）带电小球在右侧区域做匀速圆周运动，故有

mgqE2

m492qR对小球从释放到C点的过程，根据动能定理得

12q(E1E2)(RsinRRcos)mvC 2设在C点轨道对小球的作用力大小为F，对小球，有

2vCFq(E1E2)mR

46

解得

F3q(E1E2)

根据牛顿第三定律知，小球经过C点时对轨道的压力大小为3q(E1E2)，方向竖直向上。

（2）设带电小球从距A点L远处释放，到达B点处的速率为v，由动能定理得

q(ELsin11E2)2mv2

故两次释放距离和进入右侧区域的速度满足

L21v1L2

2v2由于L11L29，故

v1v1 23在右侧电磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，得

qvBmv2r

其中r表示小球做圆周运动的半径 所以两次半径之比

r11r 23

由图中几何关系和余弦定理得

(r21R)2r1d22r1dcos (r22R)r22d22r2dcos

联立解得

rd2R212d2R rd2R222d2R

47

解得

d22R

（3）把d22R代入r1d2R22d2R，可得

r17R 6与第2问分析同理可得

1q(E1E2)Lsinmv12

2v12qv1Bm

r1联立解得

m492qR B272(E1E2)

14．如图所示，水平地面上方有水平向右的匀强电场，竖直放置的光滑绝缘圆弧轨道固定在地面上，轨道末端C点与圆心O的连线和竖直直径的夹角为30，轨道右侧竖直虚线MN和PQ间还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B203T。一带电小球（看做质点）自最高点A水平向左进入轨道，小球的质量m=0.3kg，带电量q0.01C，小球沿着轨道圆周运动至C点的过程中，和轨道间的最小压力FN(50103)N，小球离开轨道后立即进入MN右侧有磁场的区域，在MN和PQ间恰好做直线运动，运动至和A 点等高的D点离开

48

磁场区域，又经过一段时间落在地面上。已知重力加速度g =10m/s2，求： (1)小球运动至轨道末端C点时的速度大小； (2)圆弧轨道的半径；

(3)小球最后落地时的速度大小。

【答案】(1)10m/s；(2)0.6m；(3)273m/s 【详解】

(1)小球在MN和PQ间只能做匀速直线运动，且带正电，沿着运动方向则有

qEcos30mgsin30

可得匀强电场的电场强度

E1003N/C

垂直运动方向则有

qvBqEsin30mgcos30

解得小球在磁场中的速度，即在轨道末端时的速度

v10m/s

(2)小球在轨道上运动至等效最高点时

mgqE自等效最高点至等效最低点（C点）

22mv12FN

R

49

mgqE•R可得圆弧轨道的半径

221212mvmv1 22R0.6m

(3)小球离开磁场后，竖直方向则有

2vyvsin302g•2R

2落地时竖直分速度

vy7m/s

又有

2Rvsin30vy2t

可得小球离开磁场到落地的时间

t1.2s

落地时水平速度

vxvcos30qEt93m/s m落地时速度

22v2vxvy273m/s

15．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水Q位于MN上，平初速度v0沿PQ向右做直线运动，若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成90°角，已知D、Q间的距离为2L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求：

50

（1）电场强度E的大小和方向； （2）t0与t1的比值；

（3）小球过D点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁感应强度B0的大小及运动的最大周期Tm。

【答案】（1）mg:2；（3）mv0q，竖直向上；（2）3πqL，【详解】

（1）不加磁场时，小球沿直线PQ做直线运动，有

qE=mg

解得

E=mgq

电场强度的方向竖直向上。

（2）小球能再次通过D点，其运动轨迹如下图所示

设半径为r，做圆周运动的周期为T，则

rvr0t1 ，T2v ，t03T04

(68)Lv051

解得

t03 t12

（3）当小球运动周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如下图所示

由几何关系得2R=2L由牛顿第二定律得

2v0qv0Bm

L解得

mv0B0=qL

Tms68L v0v016．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示。第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，第一象限场强大小为第二象限场强大小的一半。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子（可视为质点），该粒子以初速度v0从-x上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从+y上的C点沿x轴正方向进入第一象限，C点粒子动能为A点粒子动能的4倍。重力加速度为g。试求：

(1)OC距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；

52

(2)若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），并且在t=

T0时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度4方向仍然水平，且CD=3OC．若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T0的大小；

(3)若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0，T0均为未知量），调整磁场变化的周期，让粒子在t=0时刻由C点进入第一象限，且恰能通过x轴上F点，且OF=3OC，求交变磁场的磁感应强度B0的大小应满足的条件。

22nmg2mgv03v0(n1,2,3，) (n1,2,3，)；(3)【答案】(1)，q；(2)qv02g8ng【详解】

(1)设粒子从A点运动至C点所用时间为t，C点速度为vC，根据“C点粒子动能为A点粒子动能的四倍”可得

vC2v0

竖直方向上粒子做匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，则

53

20-v02gL

-mgt0mv0

取水平向右为正方向，则

qEtm2v00

解得

Lv202g ，E2mgq (2)由第(1)问及题干可知

qE2mg 因此带电粒子在第一象限将做速度为2v0的匀速圆周运动。

设运动半径为R，周期为T0，使粒子从C点运动到同一水平线上的D点，如图所示，则

22q2vv0B0m0R

由位移关系可得

n4R3Ln1,2,3,...

粒子在磁场中匀速圆周运动的周期

T02mqB 0

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则磁场变化的周期

T0T03v0n1,2,3,... 8ng(3)使粒子从C点运动到F点，如图所示，设粒子运动轨道半径为R′，则每经过磁场的半个周期粒子转过圆心角60°，则

nR2Ln1,2,3,...

又

R2mv0qB 0故交变磁场磁感应强度大小应满足的关系

B02nmgqvn1,2,3,... 0

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