专题复习讲座(四)解析几何

一、解决解析几何问题的几条原则 1．重视“数形结合”的数学思想 2．注重平面几何的知识的应用 3．突出圆锥曲线定义的作用 二、解析几何中的一类重要问题

直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。

弦长问题：|AB|=(1k2)[(x1x2)24x1x2]。

弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。 三、高考解析几何解答题的类型与解决策略 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知

这类问题一般可用待定系数法解决。

例1 ：已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

k212k8(k21)/（16kA（2,2），B2,2）。因为A/、B/均在抛物线上，代

k1k1k1k1/

入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=所以直线L的方程为：y=

1525,p=. 251545x,抛物线C的方程为y2=x. 2512 例2：在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为

y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。

4x2y21 153M O D N x y P 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 例3 :已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析：如图，设MN切圆C于点N，则

O Q N M 动点M组成的集合是： P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：

|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。 这种方法叫做直接法。

例4 ：给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以

|ybx||y|21bb222y(xa) y[(1-a)x-2ax+(1+a)y]=0 xa0xaB C O A x 若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0当a=1时，方程表示抛物线弧；当01时，方程表示双曲线一支的弧。

一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。

xyx2y2例5 ：已知椭圆1和直线L:1，P是直线L上一点，

1282416射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 则

xPyP112824x24yx,yPP2x3y2x3yyPyxPx，代入 22xRyR1241648x248y222,yR2xR222yy2x3y2x3yRxRxx2y2xPyPxRyR，得：

222223(x-1)2+(y-1)2=1. 55 注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子

x2y2xPyPxRyR可用|x| |xP|=|xR|代替，这样就简单多

22222

了。

Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1．有关最值问题

例6 :设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率e=

323 ，已2知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。

分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。

x2y23设椭圆方程为221，则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.

2ab设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

|PQ|=x2(y)2=4b24y2(y)23y23y4b2). 若

b<

1232329(-byb4，则-

12<-b,当y=-b时

|PQ|max=3b23b4b2解得：b=7-

99b23b7. 4431111>与b<矛盾；若b，则当y=-时22222|PQ|max=4b237,解得:b=1,a=2. 2．有关范围问题

例7:已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。 （1）求a的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则

4(ap)4a20x1x22(ap),又y1=x1-a,y2=x2-a, 2x1x2a|AB|(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p,

解得:ppa. 24 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

x3x1x22ap,y3y1y2(x1a)(x2a)p. 22所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以

NAB

|QM|=|QN|=

2P，所以S

△

=

122|AB||QN|p|AB|p2p2p2,即△NAB面积的最大值222为2P2。

x2y2例8 ：已知椭圆221(ab0)，A,B是椭圆上的两点，线

ab段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：

a2b2a2b2x0.

aa分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。

由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B

在椭圆上，所以，

b22b2222y1b2x1,y2b2x2，从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：

aa22a2b2a2b2x0

aa例9

已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足AEEC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当2334D E y 时，求双曲线离心率e的取值范围。

分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。

解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，

C A O B x 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记A(-C,0)，C(,h)，E(x0,y0),其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高。

由AEEC,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=

C212c2(2)chy0.2(1)1cx2y2设双曲线的方程为221,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,

aab将点C、E的坐标和e=

c代入双曲线的方程得ae242e4h221(1)b 2222h()()21(2)11b3e2将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=12.

e24依题设得1 -23342333,解得7e10. 2e24所以双曲线的离心率的取值范围是7e10.

例10 已知抛物线y2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。

分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。

设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又

=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将b=2p-1代入

得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：

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