函数定义域值域求法(全十一种)

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数yx22x15的定义域。

|x3|8解：要使函数有意义，则必须满足

x22x150① ②|x3|80由①解得 x3或x5。 ③ 由②解得 x5或x11 ④

③和④求交集得x3且x11或x>5。

故所求函数的定义域为{x|x3且x11}{x|x5}。

1例2 求函数ysinx的定义域。

216x解：要使函数有意义，则必须满足

①sinx0 216x0②由①解得2kx2k，kZ 由②解得4x4

③

④

由③和④求公共部分，得 4x或0x 故函数的定义域为(4，](0，] 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。 （2）其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。

例3 已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x21)的定义域。

解：令2x212，得1x23，即0x23，因此0|x|3，从而

3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。 （2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求

g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知f(2x1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为1x2，22x4，32x15。 即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。 三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数ymx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明mx26mx8m0，使一切x∈R都成立，由x2项

的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R；

当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

m02(6m)4m(m8)0 0m1综上可知0m1。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

kx7的定义域是R，求实数k的取值范围。

kx24kx3解：要使函数有意义，则必须kx24kx3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即

例6 已知函数f(x)kx24kx30无实数

①当k≠0时，16k243k0恒成立，解得0k②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k的取值范围是0k3； 43。 4四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为

1(a2x)于是可得矩形面积。 211yx(a2x)axx2

221x2ax。

2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0x0 1(a2x)0a2x02a0x。

2故所求函数的解析式为yx2a1。 ax，定义域为（0，）22例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，

求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x，所以CDx，所以ADLABCDL2xx， 22L2xxx2故y2x 22(2)x2Lx

2根据实际问题的意义知

2x0L0x L2xx202L故函数的解析式为y(2)x2Lx，定义域（0，）。

22五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9 已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：

0xa1ax1a，即 0xa1ax1a即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

1a0时，F（x）的定义域为{x|ax1a}； 21（2）当0a时，F（x）的定义域为{x|ax1a}；

211（3）当a或a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

22（1）当六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数ylog2(x22x3)的单调区间。

解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为（－1，3）。 函数ylog2(x22x3)是由函数ylog2t，tx22x3复合而成的。

tx22x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增；

2所以函数ylog2(x2x3)在区(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，

1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。 间(1，

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数y

1x

的值域。

解：∵x0

1∴x0

显然函数的值域是：(,0)(0,) 例2. 求函数y3x的值域。 解：∵x0 x0,3x3

故函数的值域是：[,3] 2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数yx22x5,x[1,2]的值域。

解：将函数配方得：y(x1)24 ∵x[1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法

例4. 求函数

y1xx21x2的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程 (y1)x2(y1)x0 （1）当y1时，xR (1)24(y1)(y1)0

1解得：2y32 13（2）当y=1时，x0，而12,2 故函数的值域为132,2

例5. 求函数yxx(2x)的值域。

解：两边平方整理得：2x22(y1)xy20（1） ∵xR

∴

4(y1)28y0 ymax8 解得：12y12

但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2

2x22(y1)xy20在实数集R有实根，由0，仅保证关于x的方程：

而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0132,2求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0x2

yxx(2x)0

ymin0,y12代入方程（1）

解得：

x1222422[0,2]

时，

原函数的值域为：[0,12]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x4 例6. 求函数5x6值域。

22242x12即当

解：由原函数式可得：则其反函数为：

yx46y5y3

46y3x5x3，其定义域为：5

3,故所求函数的值域为：5

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

ex1yx 例7. 求函数e1的值域。

解：由原函数式可得：∵ex0

exy1y1

y10y1∴

解得：1y1

故所求函数的值域为(1,1)

cosx 例8. 求函数sinx3的值域。

解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为：

yy21sinx(x)3y sinx(x)3yy21即 ∵xR

∴sinx(x)[1,1]

13yy121即解得：

22y4422,44 故函数的值域为 6. 函数单调性法 x5y2log3x1(2x10)的值域。 例9. 求函数x5解：令y12,y2log3x1 则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以yy1y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，

5当x=10时，ymax2log3ymin23log32118

933

18,33故所求函数的值域为：

例10. 求函数yx1x1的值域。

x1x1 解：原函数可化为：

令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数 所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数

y22所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值

22

显然y0，故原函数的值域为(0,2] 7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数yxx1的值域。 解：令x1t，(t0) 则xt21

13yt2t1(t)224 ∵

又t0，由二次函数的性质可知

当t0时，ymin1 当t0时，y 故函数的值域为[1,)

2yx21(x1) 例12. 求函数

的值域。

解：因1(x1)0 2(x1)1 即

故可令x1cos,[0,] ∴ycos11cos2sincos1

22sin()14

∵

0,0544

2sin()12402sin()1124 故所求函数的值域为[0,12]

x3xy4 例13. 求函数x2x21的值域。 12x1x2y2解：原函数可变形为：21x1x2

2x1x22sin2,cos22xtg1x可令，则有1x

11ysin2cos2sin424

当

k1ymax4 28时，

k1ymin4当28时，

而此时tan有意义。 

114,4 故所求函数的值域为x, 例14. 求函数y(sinx1)(cosx1)，122的值域。

解：y(sinx1)(cosx1) sinxcosxsinxcosx1

1sinxcosx(t21)2令sinxcosxt，则 11y(t21)t1(t1)222

由tsinxcosxx,且122

2sin(x/4)

可得：∴当t2t22 2时，

ymax322t2，当2时，

y3242

323,2422。 故所求函数的值域为 例15. 求函数yx45x的值域。

解：由5x20，可得|x|5 故可令x5cos,[0,]

y5cos45sin10sin()44

∵0 54442

当/4时，ymax410 当时，ymin45

故所求函数的值域为：[45,410]

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22y(x2)(x8) 例16. 求函数

的值域。

解：原函数可化简得：y|x2||x8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10

y|x2||x8||AB|10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：[10,] 例17. 求函数yx6x13解：原函数可变形为：

2x24x5的值域。

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

ymin|AB|(32)2(21)243，

y(x3)2(02)2(x2)2(01)2故所求函数的值域为[43,]

例18. 求函数yx26x13x24x5的值域。

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y|AP||BP| 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有

||AP'||BP'|||AB|(32)2(21)226

2222y(x3)(02)(x2)(01)解：将函数变形为：

即：26y26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|综上所述，可知函数的值域为：(26,26]

26

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在x轴的同侧。 9. 不等式法

3利用基本不等式ab2ab,abc3abc(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数

解：原函数变形为：

y(sin2xcos2x)1ces2xsec2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x25y(sinx1212)(cosx)4sinxcosx的值域。

11sin2xcos2x

当且仅当tanxcotx

4时(kz)，等号成立 即当

故原函数的值域为：[5,)

xk

例20. 求函数y2sinxsin2x的值域。 解：y4sinxsinxcosx 4sin2xcosx

y16sin4xcos2x8sin2xsin2x(22sin2x)8[(sin2xsin2x22sin2x)/3]36427

sin2x23时，等号成立。

当且仅当sin2x22sin2x，即当由

y26427可得：

8383y99

8383,99 故原函数的值域为：

10. 一一映射法

原理：因为

量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数

y13x2x1的值域。

yaxb(c0)cxd在定义域上x与y是一一对应的。故两个变

11x|x或x22 解：∵定义域为1y13xxy由2x1得2y3

故

x1y1y11x2y32或2y32

33y或y22 解得

33,,22 故函数的值域为

11. 多种方法综合运用

例22. 求函数的值域。 解：令tx2(t0)，则x3t21

yyx2x3（1）当t0时，所以

0y12

t11t21t12t，当且仅当t=1，即x1时取等号，

（2）当t=0时，y=0。

10,2综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

1x2x2x3x4y12x2x4 例23. 求函数

12x2x4xx3y2412xx12x2x4解：

的值域。

1x2x1x21x22

21x22xtan1x2cos2，则令 x1sin1x22

11ycos2sinsin2sin122 117sin416 2∴当

当sin1时，ymin2

tansin117ymax4时，16

此时

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

172,16 2都存在，故函数的值域为