初中几何辅助线大全-最全资料汇编

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中EAOBEE(公共角) ∵DBECAE(已证)BDAC(已知) ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。D图71C（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 F证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）在△BEF与△BEC中，ADB1E12C图9112(已知) ∵ BEBE(公共边)BEFBEC(已证)∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=1CF （全等三角形对应边相等）2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中BACCAF(已证) BDABFC(已证)AB＝AC(已知) ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NBN，C，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCNANDN(辅助线的作法)中 ∵ AD(已知)ABDC(已知)∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）在△NBM与△NCM中ANDBM图111CNB＝NC(已证) ∵BM＝CM(辅助线的作法)NM＝NM(公共边)∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。2巧求三角形中线段的比值例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝以上两例中，：小结辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4 3即DF：BG＝3：4， 因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即所以AF：DF＝例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：过点D作DG//CE，交AB于点G所以EF：DG＝AF：AD因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 即EF：DG＝1：2 因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因为FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7练习：1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：144图二 由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1．如图1-2AB//CD，BE，平分∠BCDCE，平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常BAEDFC图1-2用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。ACE5BD图1-3例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？CBDEA图1-4（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。A例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 D分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。BEFC图2-1例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证此题是证明线段的和差倍分问题，。从中利用了相当于截取的方法。BECAD图2-2例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。NDBPMFCA图2-36（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。1A求证：DH=（AB-AC）2分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。EBHDC图图3-1F例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。BAED图3-2C例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。BFNDCEAM图3-3例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD1延长线于M。求证：AM=（AB+AC）2分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED然后只需证，DM=1EC另外由求证的，2AEFBDMnC1结果AM=（AB+AC即2AM=AB+AC），也可尝试作△，ACM关于CM的2对称△FCM然后只需证，DF=CF即可。图3-47三 由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。AD例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。求证：BC=AB+DC。BADBCEC例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB1于M，且AM=MB。求证：CD=2DB。AMCDB1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。8DCEAB2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE四 由中点想到的辅助线 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。9（一）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴ME

CD，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位线，∴MF

AB，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。

（二）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，从而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD=

=

=

，故BC=2BD=2

。

10

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD。仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（三）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，

在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

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在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。（五）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。1 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。 ABECD3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。ADMCDBDDEDA5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC EFBDC12五 全等三角形辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.ACBD2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.EAFB DC3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ABDEC中考应用例题：以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．13（二）、截长补短1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥ACACBD2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDADE3：如图，已知在AABC内，BAC60，00BCC40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBAQP4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：CAC1800AD14BC5（三）、借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODAEO（062：郑州市中考题）△ADABC如图，平分中，DG⊥∠BAC，BC且平分DE⊥BCAB，于DF⊥E，AC于F. BD（1说）CAEBGCFD明BE=CF的理由；（2如果）AB=a，AC=b，求AEB、E的长.153.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，B请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明MEO图①理由。BFEDC图②(第23题图)PNAFDA图③C（四）、旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. ADFBED为等C2：腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）（2）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。AEMCBFAN163.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0BDC1200，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；AMNBCD4．已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ABCAEMDNAEMDNBCBFN（图3）FFCDEM（图1）（图2）5.已知:PA=两侧.2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.176.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为AABC外MDN60BDC120一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= （用x、L表示）．18梯形中的辅助线1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD∠中，A＝90°AB∥，ADDC＝，15AB，＝16，BC＝17. 求CD的长. 解：过点D作DE∥BC交AB于点E. 又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64. 所以AE＝8. 所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。AEBADCDCB解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4