第１Ｏ期 章礼抗：对一道２０１３年全国初中数学竞赛题的剖析 ・４３・ 对一道２ ０ １ ３年全国初中数学竞赛题的剖析 ●章礼抗 （浮山中学安徽枞阳２４６７３６） （２）ＡＢ＜Ｄ（ 铮 ＡⅣ ＞ ＣＭＥ． 题目 如图１，已知在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ与ＢＣ的中点，联结ＥＦ与 的延长线相交于点Ⅳ，与ＣＤ的延长线相交于点 证明 如图２，联结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｋ，联结 ＥＫ，ＦＫ．因为 求证：／＿ＢＮＦ＝／ＣＭＦ． （２０１３年全国初中数学联赛初二组初赛试题） 图１ 图２ １证法剖析及推广 分析１ ＬＢＮＥ， ＣＭＦ不在同一个三角形 中，这时可想到点Ｅ，Ｆ是ＡＤ，ＢＣ的中点，联结ＡＣ， 取ＡＣ的中点 ，联结ＦＫ，ＫＥ．由三角形中位线知： ＣＭＦ＝ ＦＥＫ（同位角），ＬＢＮＥ＝ ＦＥＫ（内错 角），而脒：— ｃ：皿： ，４Ｂ，故结论成立． 证法１ 如图２，联结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｋ， 联结ＥＫ，ＦＫ．因为ＡＥ＝ＥＤ，ＡＫ＝ＫＣ，昕 ＥＫ ＤＣ。ＥＫ＝ ＤＣ， 同理 ＦＫ／／ＡＢ， ＝ ， 从而 胀：— ： Ｃ：脒， 故 ／ＦＥＫ＝ＬＥＦＫ． 由ＥＫ＃ＤＣ，得 ＣＭＦ＝ ＦＥＫ． 又因为ＦＫ／ｌＡＢ，所以 ＢＮＦ＝ＬＥＦＫ． 因此 ＢＮＦ＝ ＣＭＦ． 推论１在四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ， ＣＢ的中点，ＡＢ，ＣＤ的延长线分别与ＥＦ的延长线 交于点Ⅳ， ，则 （１）ＡＢ＞ＤＣ铮ＬＡＮＥ＜ ＣＭＥ： ＡＥ＝ＥＤ， ＝ＫＣ， 妖以 ＥＫ／／ＤＣ，ＥＫ＝ ＤＣ， 同理 ＦＫ／／Ａ８，ＦＥ＝÷Ａ日， 故 ＦＫ： Ｂ＞÷Ｄｃ：腿 在ＡＥＫＦ中根据大边对大角，知 厶ＦＥＫ＞ ＥＦＫ． 因为Ｅ／／ＤＣ，所以 ＣＭＦ＝ ＦＥＫ． 又因为ＦＫ／／ＡＳ，所以 ／ＢＮＦ＝／＿ＥＦＫ， 故 ⅣＥ＝／＿ＢＮＦ＜ ＣＭＦ． 即推论１的第（１）个等价关系成立．同理可证第 （２）个等价关系也成立． 推论２如图３，Ｅ，Ｆ分别是四边形ＡＢＣＤ的 一组对边ＡＢ，ＣＤ的中点，ＡＤ与ＢＣ不平行，试证 １ 明： Ｆ＜÷（ＡＤ＋Ｂｃ）． 证明 联结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｍ，联结ＭＦ， ＭＥ．因为Ｅ，Ｆ是四边形ＡＢＣＤ的一组对边ＡＢＣＤ 的中点，且ＭＦ，ＭＥ分别是ＡＡＤＣ，△ＡＢｃ的中位 线，所以 ＭＦ： － Ｄ．ＭＥ： ＢＣ． 在ＡＭＥＦ中，因为ＥＦ＜ ＋ＭＥ，所以 ＥＦ＜ （ＡＤ＋８ｃ）． 图３ 图４ ・４４・ 中学教研（数学） ２ｏ１３正 推论３如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＣＤ＞ＡＢ， １ ，Ｆ分别是 ｃ，肋的中点．求证：ＥＦ＞÷（ｃＤ一 二 ＡＪＢ）． 证明 取ＡＤ中点Ｇ，联结ＥＧ，ＦＧ．已知Ｅ是 ＡＣ的中点，则ＥＧ是ＡＡＣＤ的中位线，因此 １ ＥＧ＝÷ｃＤ，二 （１） 同理，由Ｆ，Ｇ分别是肋和ＡＤ的中点得 １ ＦＧ＝ Ｂ． （２） 二 在ＡＥＦＧ中， ＥＦ＞ＥＧ—ＦＧ， （３） 由式（１），（２），（３）知 １ ＥＦ＞÷（ＣＤ—ＡＢ）． 厶 分析２ 由证法１联结ＢＤ，取肋的中点Ｇ， 则可得到菱形． 证法２ 如图５，联结ＢＤ，Ａｃ．取 Ｄ，Ａｃ的中 Ｇ。Ｈ。联结ＥＧ。ＥＨ。ＦＧ．ＦＨ．因为Ｅ。Ｆ分 ＡＤ 与ＢＣ的中点，所以 ＥＧ丝ＨＦ丝 ＡＢ． 同理可得 ＣＦ／／ＥＨ垒 ＤＣ． 又因为ＡＢ＝ＤＣ，所以ＥＧＦＨ是菱形，故 厶ＢＮＦ： ＧＥＦ＝ ＦＥＨ＝ ＦＭＣ． 图５ 图６ 推论４如图６，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｄ，且ＡＣ＝ＢＤ，Ｍ，Ｎ分别为 ＡＤ，ＢＣ的中点，ＭＮ与ＡＣ，ＢＤ分别交于点Ｅ，Ｆ．证 明：／＿ＡＥＭ＝／Ⅳ船． 证明 取ＡＢ的中点Ｐ，联结 ，ⅣＰ，则 ， ⅣＰ分别是ＡＡＢＤ与ＡＢＣＡ的中位线．因为 ＰＭ｝ｆＢＤ．ＰＮ＃ＡＣ． １ １ ＰＭ＝ ＢＤ．ＰＮ＝ ＡＣ， 二 二 欧以 ／ＮＦＢ：／ＤＦＭ＝／ＰＭＮ． ＡＥＭ＝ ＣＥＮ： Ｐ Ｍ 因为ＡＣ：ＢＤ，所以 。ＰＭ＝ＰＮ． 丽 ／ＰＭＮ＝／ＰＮＭ。 故 ／＿ＡＥＭ＝ ＮＦＢ． 分析３ 根据“锐角两边对应平行则两角相 等”可创造条件：联结ＣＥ并延长至点Ｇ，使ＥＧ： ＥＣ．由Ｅ是ＡＤ的中点可知／ＸＧＡ △ＣＤＥ，从而 ＧＡ＃Ｍｃ，由 是／ＸＢＣＧ的中位线知ＧＢ／／ＥＦ． 证法３如图７，延长ＣＥ至点Ｇ，使ＣＥ＝ＧＥ， 联结ＧＡ，ＧＢ．由Ｅ是ＡＤ的中点，知 ＧＡ＝ＤＣ． 因为ＡＢ＝ＤＣ，所以 ＢＡ＝ ． 又因为ＥＦ是△ＢＣＧ的中位线，所以 ＧＢ＃ＭＦ， 从而 ＧＢＡ＝／ＢＮＦ＝ ＢＧＡ． 由／＿＿ＢＧＡ与 ＦＭＣ的两边对应平行，知 ＧＡ＝ Ｆ Ｃ＝／Ｇ ＝／ＢＮＦ． 图７ 图８ 分析４由证法３的提示，可联结ＤＦ，并延长 ＤＦ至点Ｇ，使ＦＧ＝ＤＦ．同时利用“中位线和锐角 两边对应平行则两角相等”，可转化两角． 证法４ 如图８，联结ＤＦ，并延长ＤＦ至点Ｇ， 使ＦＧ：ＦＤ，联结ＡＧ，ＢＧ．易知ＡＤＣＦ￣／Ｘ ＧＢＦ，从 而 ＢＧ ｛ＤＣ． 因为ＥＦ是ＡＡＧＤ的中线，所以 ＦＥ＃ＡＣ． 又因为ＡＢ＝ＤＣ，所以 ＢＡ＝ＧＢ， 从而 ／＿ＢＧＡ＝／ＢＡＧ＝／＿ＢＮＦ． 由／＿ＢＧＡ与／ＦＭＣ的两边对应平行，知 ＦＭＣ：／ＢＧＡ＝／ＢＡＧ：／ＢＮＦ． 分析５要证的２个角不在同一个三角形中， 可先转化到同一个三角形中．过点Ｅ分别作ＥＨ， ＥＧ，使Ｅ￣＃ＤＣ，ＥＧ∥ Ｂ，且ＥＨ＝ＤＣ，ＥＧ＝ＡＢ，这 第１０期 章礼抗：对一道２０１３年全国初中数学竞赛题的剖析 ・４５・ 样只要证明在△ＣＥＨ中／ＧＥＦ＝ ＦＥＨ＝ ＢＮＦ＝／ＣＭＦ． 证法５如图９，过点 作ＥＨ／／ＤＣ，ＥＧ丝ＡＢ， 则四边形ＡＢＧＥ和ＥＨＣＤ是平行四边形．由ＡＢ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ与ＢＣ的中点，知△ＢＧＦ ＡＣＨＦ，从而点Ｇ，Ｆ，日共线，故在ＡＧＥＨ中， ＧＥＦ＝ ＦＥＨ＝／ＢＮＦ＝ ＣＭＦ． 图９ 图１Ｏ 推论５在四边形ＡＢＣＤ中， ，Ｆ分别是ＡＤ， ｃ 的中点，且ＡＤ∥ ｃ，则 １ （１） ＋ ｃ＝９０。铮ＥＦ＝÷（二 ｃ—ＡＤ）； １ （２） 日＋ Ｃ＞９０。甘ＥＦ＜—去＿（ＢＣ—ＡＤ）； 二 １ （３） Ｂ＋ Ｃ＜９０。￣：ｖＥＦ＞－５ －（ Ｃ—ＡＤ）． 证明 （１）如图ｌ０，过点Ｅ作Ｅ ∥Ｄｃ，ＥＧ∥ ＡＢ，且分别交Ｂｃ于点Ｋ，Ｇ．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以 ＡＢＧＥ和Ｃ皿Ｄ是平行四边形，从而 ＢＧ＝ＡＥ．ＫＣ＝ＥＤ． 又当 Ｂ＋ Ｃ＝９Ｏ。时， Ｅ ＋ 麟＝９０。． Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＣＢ的中点，从而 １ １ ＥＦ＝÷Ｇ ＝—｝（Ｂｃ—ＡＤ）． 厶 １ 故当ＥＦ＝－４ －（ Ｃ—ＡＤ）时， 厶 ＥＧＫ＋ ＥＫＧ＝９０。． 即 ＋ Ｃ＝９０。， 同理可知推论５的（２）和（３）结论成立 分析６受证法５的启发，可过点Ｄ作ＤＧ∥ Ａ ，且ＤＧ＝Ａ ．同时利用“中位线和锐角两边对应 平行则两角相等”的原理，可转化两角． 证法６ 如图１１，过点Ｄ作ＤＧ丝Ａ ，联结 ＧＣ，取Ｇｃ的中点Ｈ，联结Ｄ日，朋，则四边形ＡＢＧＤ 是平行四边形．因为 ，Ｆ分别是ＡＤ， ｃ的中点， 且 Ｂ＝Ｄｃ，所以ＦＨ／／＋ＢＧ，从而朋丝ＤＥ，故四 边形ＥＦ肋是平行四边形，因此 ＨＤＣ＝／ＦＭＣ．／ＧＤＨ＝ ＢＮＦ． 又因为ＡＧＤＣ是等腰三角形，所以 ＧＤＨ＝ ＨＤＣ： ＢＮＦ＝／ＣＭＦ． Ｂ Ｆ Ｃ 图１ｌ 图１２ 分析７要证的２个角不在同一个三角形中， 可先转到一个等腰三角形中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ 的中点，可利用平行线切割线段成比例性质进行证 明． 证法７ 如图ｌ２，过点Ｄ，Ｃ分别作ＡＢ的平行 线，交ＭＦ及其延长线于点Ｇ，足由Ｅ是ＡＤ的中 点，得 ＡＡＥＮ ＡＤＥＧ． 由Ｆ是ＢＣ的中点，得 △ＢＦＮ 会 ＣＦＫ． 因为ＡⅣ＝ＤＧ，ＢＮ＝ＣＫ，且ＧＤ／／ＣＫ，所以 ＭＤ ＧＤ ＡＮ ＭＣ—ＫＣ—ＫＣ’ 从＿．．向—— ＫＣ ＭＣ ， 即 ＝ ＤＣ＋ ｓｌｉＤ． 又因为ＡⅣ＝ＭＤ＝ＤＧ，所以 ＧＭＤ＝／ＭＧＤ＝ ＡⅣＧ． 分析８要证的２个角可以转化 到同一个等腰梯形中，再利用中位线 的性质进行证明． 证法８ 如图ｌ３，过点Ａ，Ｂ分别 作ＭＦ的平行线交ＣＭ及其延长线于 点Ｇ，Ｋ，则 ＡＮＥ＝ ＫＢＮ． ＦＭＣ＝／ＢＫＣ． 因为 ， 分别是ＡＤ，ＢＣ的中点，所 以点Ｍ分别是ＧＤ，ＫＣ的中点．又因 Ｂ Ｆ Ｃ 为ＫＧ＝ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ，所以四边形 图ｌ３ ＧＫＢＡ是等腰梯形，从而 ＫＲＮ＝ ＲＫＭ＝ ＢＮＦ＝／ＣＭＦ． 该题还有很多更好的证明方法，留给读者思考