圆是初中几何的重要内容之一，与圆有 关的大部分几何题都需要添加辅助线来解 答．只要添上合适的辅助线，就可以化繁为 简、化难为易．下面举例说明有关圆的几种辅 助线的作法． 一Ｐ Ｐ 、有关直径问题，常作直径上的圆周角 图３ 图４ 证明：如图４。过０作ＯＣ上ⅣＰ于点Ｃ，则 ＰＣ ． ． 例１如图１，在ＡＡＢＣ中，ＩＣ＝９０。，以 ＢＣ上一点０为圆心，以ＯＢ为半径的圆交ＡＢ 于点 ，交ＢＣ于点Ⅳ． （１）求证：ＢＡ・ＢＭ＝ＢＣ・ＢＮ； （２）如果ＣＭ是ｏ０的切线，Ⅳ为ＯＣ的 ＰＨ．。ｏＣ Ｎｐ，ＰＯ－Ｉ－ＡＢ， 中点，当ＡＣ＝３时，求ＡＢ的值． ＰＯＭ＝ ＰＣＯ＝９０。． 又。．‘／ＯＰＭ＝ ＣＰＯ＇．．．ＡＯＰＭ＇－＂ＡＣＰＯ， ． ‘‘ＰＣ—ＰＯ’ ＿一 Ｄ・．．ＰＯ ＝删‘ＰＣ＝ 。（ ＰⅣ）， Ｃ 即ＰＭ・ｐＮ＝２ＰＯ。． 说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦 心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的 图１ ＝／ＡＣＢ， △ＡＣＢ—ＡＮＭＢ。 ． ．．图２ 直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心 距联系起来． 三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切 点的半径 （１）证明：如图２，连结删，则／ＢＭＮ＝９０ｏ ＢＣ ＡＢ ＢＭ ＢＮ ．ＡＢ・ＢＭ＝ＢＣ・ＢＮ （２）解：如图２，联结伽，则ＩＯＭＣ＝９０。， Ⅳ为ＯＣ中点， ・‘．．ＭＮ＝ＯＮ＝ｏＭ。 ，／ＭＯＮ＝６０ｏ， 例３如图５，ＡＢ、Ａｃ分别是Ｏ０的直径 和弦，点Ｄ为劣弧Ａｃ上一点，弦ＥＤ分别交 ｏ０于点Ｅ，交ＡＢ于点 ，交Ａｃ于点Ｆ，过 点ｃ的切线交ＥＤ的延长线于尸． （１）若ＰＣ＝ＰＦ，求证：ＡＢ上ＥＤ． （２）点Ｄ在劣弧的什么位置时，才能使 ＡＤ ＝ＤＥ・ＤＦ，为什么？ 。．。ＯＭ＝Ｄ ． ＝÷／ＭＯＮ＝３０。， １ ／ ／。 ‘．。 Ａ（ ８＝９０。，．。．ＡＢ＝２Ａ Ｃ＝２×３＝６． 说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对 的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从 而得到９０ｏ的角或直角三角形来证明问题． 二、有关弦的问题。常作其弦心距 例２如图３，ＡＢ是ｏＤ的直径，ＰＯ－ＬＡＢ ＼＼ 图５ ’．＼＼＼ 。胃 图６ ’．＇． ４＝ ５， 交ｏＤ于点Ｐ，弦ＰⅣ与ＡＢ相交于点 ，求 证： ・ＰＮ＝２ＰＯ ． 证明：（１）如图６，连接ＯＣ． ‘Ｐｃ＝ Ｉ－ ｉ一 ｜ｌｌ ｜ Ｉ ‘．。 ‘．’４＝ ３．．’． ３＝ ５． ０Ａ＝０Ｃ ． １＝ ２， 过Ａ点作ｏ０ 的切线交ｏ０ 于点Ｅ，连结ＥＢ 并延长交６）０ 于点Ｃ，直线 交６）０ 于点Ｄ． （１）如图ｌＯ，当点Ｄ与点Ａ不重合时，试 猜想线段ＥＡ＝ＥＤ是否成立，证明你的结论． ＡＨＦ＝－９０。，即ＡＢ Ｊ－ＤＥ． 才能使 （２）当点Ｄ与点Ａ重合时，直线ＡＣ与 （２）当Ｄ在劣弧Ａｃ的中点时， ００ 有怎样的位置关系？此时若ＢＣ＝２，ＣＥ＝８， ＡＤ ＝ＤＥ・ＤＦ． 求ｏ０ 的直径． ‘’．。．． ＰＣ切Ｏ（）于点Ｃ ．ＯＣ上Ｐｃ， １＋ ５＝９００． ２＋ ３＝９０。． 。．． …… 如图６，连接ＡＥ，‘．’ＡＤ＝ＣＤ， ． ’．’ ＤＡＦ＝－厶ＡＥＤ ＡＤＦ＝－ Ａ加． ．△ＡＤＦｖ、 ＥＤＡ ： ．・．． 即ＡＤ。＝胞・ＤＦ． Ｃ 说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时 往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂 直”这一性质来证明问题． 四、对于相切两圆。常添公切线作辅助线 图１０ （１）ＥＡ＝ＥＤ成立． 最Ｆ， ・． 图１１ 例４如图７，已知ｏＤ 、ｏ０：外切于点 Ｐ，Ａ是ｏＤ 上一点，直线Ａｃ切ｏ０：于点ｃ， 交ｏ０ 一点 ，直线ＡＰ交ｏ０：于点Ｄ． （１）求证：Ｐｃ平分ＬＢＰＤ； （２）将“６）０ 与ｏＤ 外切于点Ｐ，’改为 “ｏＯ 、ｏ０ 内切于点Ｐ，’，其它条件不变，① 的结论． 证明：如图１１，联结ＡＢ，在ＥＡ延长线上取 ＡＥ是ｏ０，的切线，切点为Ａ， Ｃ＝ ＡＢＣ． Ｇ＝／Ｄ４Ｅ， ． ． Ａ Ｃ＝ Ｃ＝／Ｄ。 Ｅ： Ｄ。 ‘．． ‘。 ．Ｅ， 而ＬＡＢＣ是ｏＤ 内接四边形ＡＢＥＤ的外角 ’．． ’．． 中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你 图７ 证明：（１）如图８，过Ｐ点作两圆公切线ＰＱ， ‘ ＱＰＣ ＬＰＣＱ， ＱＰＢ ＬＡ， ’．・．． ＣＰＤ＝厶Ａ七厶ＱＣＰ ＣＰＤ＝ Ｃ船，即Ｐｃ平分／－ＢＰＤ． 知 而Ｃ日＝２，ＣＥ＝８．’．ＡＣ＝２ Ｘ ８＝１６，ＡＣ＝４， 故ｏＤ，直径为４． 说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公 共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形 定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之 间的等量关系． 六、圆中有相交弦。常作线段构造相似三角形 例５如图１３，已知ｏ０的两条弦ＡＢ、ＣＤ 交于Ｐ点，求证：ＡＰ・ＢＰ＝ｃＰ・ 图１３ 图１４ 说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅 五、两圆相交，常连结公共弦或连心线 蹇鎏 漱 Ｄ Ｄ 证明：如图１４，连结ＡＣ，ＢＤ， ・．’ 例５已知６）０ 和６）０：相交于Ａ、日两点， 一 ｃ和 曰都是ｏＤ中弧ＡＤ所对的圆 周角。 ： ：‘．． Ｃ＝ Ｂ，同理可得 ＝ＬＤ， △ＡＣＰ＇－＂ＡＤＢＰ． ＝ ， ‘．．・．． Ｐ‘ＢＰ＝－Ｃｐ．ＤＰ （２）职的长度是小于７， 理由如下：ＬＡＢＣｖａ９０。， 则点Ｐ、Ｂ、Ｒ三点不在同一直线上， ’．．说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或 比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两 组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求 解；若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成 全等的等腰三角形． 七、圆中有特殊角。常作直径构造直角三角形 例６如图１５，点Ａ、Ｂ、ｃ在ｏ０上（Ａｃ 册＋ ＞ＰＲ， １ ’．。ＰＢ＋ＢＲ＝２ＯＢ＝２×３— ＝７， ．’．ＰＲ＜７． 图形的平移与旋转强化练习参考答案 １．Ｃ；２．Ａ；３．Ｄ；４．４５；５．、／２；６．５； ： 不过０点），若厶４∞＝６Ｏ。，ＡＢ＝６，求６３０半 径的长． ７．、／丁＋１； ８．（１）ＡＡＢＣ扫过面积即５梯形Ａ ３２； （２） ５或ａ＝６． ９．（１）证明：‘．‘将ＡＢＯＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转６０。得ＡＡＤＣ， ‘： ： ： ： ‘ 图１５ ・．图１６ ．．ＣＯ＝ＣＤ， ＯＣＤ＝６０。， 解：如图１６，作直径ＡＤ，连结 Ｄ． ’ ＡＣ 与 Ｄ都是 Ｂ所对的圆周角。 Ｄ＝ ＡＣＢ＝６００． ‘．． ＡＣＯＤ是等边三角形． 。 （２）解：当ａ＝１５０。时，△ ＯＤ是直角三 角形． ：・．．又。．‘ＡＤ是直径 ，ＬＡＢＤ＝９０ｏ。 ‘．． Ｂ＝３０。，．’．ＢＤ＝去一ＡＤ， Ｚ 将ＡＢＯＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转 ： ６０。得ＡＡＤＣ．．．．ＡＢＯＣａ－－△ＡＤＣ， ：・’．‘．．设肋＝ ，则ＡＤ＝２ｘ． ・．．ＬＡＤＣ＝ＬＢＯＣ＝１５０。， ＯＤＣ＝６０。。 ・ 。．．． ＡＢ＝％／ＡＤ２—－—ＢＤｚ＝、／ 垦－： ：２Ｎ，／￣： ． ＝、／丁 ， 又’．’△ＣＯＤ是等边三角形， 。．． ‘ｘ／３ ・．ｘ／３ ． ．． ＡＤＯ＝ＬＡＤＣ－ ＯＤＣ＝９０。， ：．ｒ ｌＡＤ ２、／丁‘．‘Ｌａ＝１５０。，／ＡＯＢ＝Ｉ１０。， ＣＯＤ＝６０。， ＡＯＤ＝３６０。一 ＯＬ—ＬＡＯＢ一 ＣＯＤ ： ｒ‘．． 说明：当题设中未告诉有直角三角形但却 合有３０￣、４５￣、６０￣、９０￣等特殊角时，通常需 要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形 的边长关系及勾股定理来帮助求解． ＝３６０。一１５０。一１ １０。一６０。＝４０。． ・．△ＡＯＤ不是等腰直角三角形，即 ＡＡＯＤ是直角三角形． ｒ（３）解：①要使Ａ Ｏ＝ＡＤ，需厶４ ＯＤ＝ＬＡＤＯ， ： ．《轴对称》拓展精练参考答案 １．Ｃ；２．Ｂ；３．Ｂ；４．Ｃ；５．１８；６．１０８。；７．６０。； ８．３０９０８７；９．１５。； ’．’ Ａ ０Ｄ＝３６０。一１ １０。一６０。一ａ＝１９０。一ＯＬ， ：／－－．ＡＤＯ＝ｏｒ一６０。， １９０。一Ｏｒ＝Ｏ／一６０。 ・．．・．ａ＝１２５。； ： ：１０．４８０ｍ 或７６８ ｍ２ ｌ１．解：（１）图略，ＬＡＢＣ＝９０。时，ＰＲ＝７． 证明如下：连接ＰＢ、ＲＢ， Ｐ、Ｒ为Ｄ分别以直线ＡＢ、直线ＢＣ为 对称轴的对称点， ・‘．②要使ＯＡ＝ＯＤ，需 ＯＡＤ＝ＬＡＤＯ， 。 ＯＡＤ＝１８０。一（ ＡＯＤ＋ＬＡＤＯ） ＝１８０。一（１９０。一 ＋ 一６０。）＝５０。， ．。．．： ：ａ－６０。＝５０。＇．．．ａ＝ｌ１０。； ＯＡＤ＝３６０。一１１０。一６０。一ａ＝１９０。一 ． ：③要使ＯＤ＝ＡＤ，需 ＯＡＤ＝ＬＡＯＤ． 。‘ ．‘．．ＰＢ＝ＯＢ＝３ ，ＲＢ＝ＯＢ＝３ ， ‘．’ ＡＢＣ＝９０。， ．ＬＡＯＤ＝ ・．． －１２ 手， 。．ＬＡＢＰ＋ ＣＢＲ＝ＬＡＢＯ＋ ＣＢＯ＝９０。． 。－・．．点Ｐ、Ｂ、Ｒ三点共线， 职＝２×３— ＝７； ａ＝１２０￣一手 ｄ４ ‘．．综上所述：当 的度数为１２５。或ｌｌ０。 或１４０。时，ＡＡＯＤ是等腰三角形． ＝： ： 趸 ＼： ＝＝＝