七年级数学竞赛专家讲座：第1讲 和绝对值有关的问题

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 知识结构框图：

数

二、 绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

a当a为正数也可以写成： |a|0当a为0

a当a为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、 典型例题

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c－a | － | b－c | 的值等于（ A ） A．－3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c－a | － | b－c |=－a－(a+b)+(c－a)+b－c=－3a

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分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：x0z，xy0，且yzx， 那么xzyzxy

的值（ C ）

A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以

xzyzxyxz(yz)(xy)0分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：x3y，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= －6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 －4y=8 ，所以y=－2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 －2y=8 ，所以y=－4,x=－12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12

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例4．（整体的思想）方程x20082008x 的解的个数是（ D ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

分析：这道题我们用整体的思想解决。将x－2008看成一个整体，问题即转化为求方程利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，aa的解，

所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。

例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

111aba1b1a2b21a2007b20071

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2 于是

111aba1b1a2b2a2007b2007

1111223342008200911111112233420082009

11200920082009在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，

1111如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的24466820082010同学可以在课下继续探究。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，

4与3. 并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ 答：____相等 .

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

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．1 可以表示为 x (  1 )  x 分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因

为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<－1时，距离为－x－1, 当－10，距离为x+1

综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x1

（3）结合数轴求得x2x3的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为

－3≤x_≤2______.

分析：x2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

它也可以表示数轴上x与－3之间的距x3x(3)即x与－3的差的绝对值，

离。

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3 图2符合题意

（4） 满足x1x43的x的取值范围为 x<－4或x>－1

分析： 同理x1表示数轴上x与－1之间的距离，x4表示数轴上x与－4之间的距

离。本题即求，当x是什么数时x与－1之间的距离加上x与－4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<－4或x>－1。

说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，AB 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一

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个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。 四、 小结

1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用.

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