(完整版)有关圆的知识点

讲义编号： 组长签字： 签字日期：

学员编号： 年 级： 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：曹冀龙 课 题 授课日期及时段 教学目标 重点、难点 熟练运用圆心角圆周角、垂径定理和切线长定理 直线与圆的关系的综合运用 圆 教 学 内 容 一、知识回顾： 1.概念： （1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径. （2）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径. （3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆. （4）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. （5）能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧. （6）经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心. （7）顶点在圆心的角叫做圆心角. （8）顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. （9）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （10）一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. （11）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线. 圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高. （12）当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；当直线与圆有唯一一个公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离. （13）与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆，称这

个圆的圆心为三角形的内心.

（14）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 把一个圆n（n≥3）等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距. 2.性质：

（1）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

（2）过两点A,B的圆有无数个，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上.过不在同一条直线上三点A,B,C的圆有且只有一个，这个圆的圆心为线段AB,BC的垂直平分线的交点.过在同一条直线上三点的圆不存在. （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆.

（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. （5）直径所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径. （6）同弧所对的圆周角相等. （7）圆内接四边形的对角互补.

（8）1°圆心角所对弧的长为πr/180，所对扇形的面积为πr2/360. 若设n°圆心角所对弧的长为l, 所对扇形的面积为S,则 l=nπr/180, S=nπr2/360. S=1/2·l r

（9）点P在⊙O外<=>d>r.

点P在⊙O上<=>d=r. 点P在⊙O内<=>d（10）直线l与⊙O相交<=>d直线l与⊙O相切<=>d=r. 直线l与⊙O相离<=>d>r.

（11）圆的切线垂直于过切点的半径.

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

3.定理：

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等. 二、例题及课堂演练： 1.垂径定理 3例题：（1）如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB= . 2 课堂演练： B D A O C （1）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，BAC90°，OA1，BC6，则⊙O的半径为（ ）. A．10 B．23 C．13 D．32 （2）如图，⊙,则A．4 的半径为5，为⊙的弦，⊥于点.若 的长为 B．6 C．8 D．10 2．扇形面积及弧长： 例题：（1）如图，在ABC中，ABAC5，CB8，分别以AB、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ） A．252524 B．2524 C．2512 D．12 44第1题图 （2）已知扇形的圆心角为30°，面积为3㎝2，则扇形的弧长是 ㎝ 随堂演练： （1）如图：若⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足为P， ABCPOPA3，BC63． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =120°，BC =23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 第1题图 3.圆周角和圆心角 例题：（1）如图，AB是⊙O直径，∠D = 35°，则∠BOC= 度。 （2）用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为 4.直线与圆 例题：（1）如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，,以AB为直径的⊙(1)求证：BC与⊙O相切； (2)若,求AC的长． 交AC于点D，交EB于点F. （2）已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是BC上一动点，以O为圆心，OB为半径作圆. （1）如图①若点O是BC的中点，⊙O与AC相交于点D，E为AB的中点，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明. （2）在（1）的条件下，将Rt△ABC沿BC所在的直线向右平移，使点B与圆心O重合，如图②，若⊙O与AC相切于点D，求AD∶CD的值. 随堂练习： （1）如图，在ΔABC中，AB=AC,点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.求证：直线EF是⊙O的切线. （2）如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点D的切线MN交直线AB于M，交直线AC于N. B E C D F A （1）求证：AE·DE=BE·CE; （2）连接DB，CD，若MN∥BC，试探究BD与CD的数量关系； （3）在（2）的条件下，已知AB=6，AN=15，求AD的长. 三、课后练习： 1.如图，△ 2.如图，在ΔABC中，∠B=45°，∠ACB=60°,AB=3√2，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB , ⊙O 为ΔACD的外接圆. （1）求BC的长； （2）求⊙O 的半径. B C A O D 内接于⊙，若⊙的半径为6，,则BC的长为_____________. AOBC3.如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径OA是 （ ） 3737A．5 B．7 C．5 D．7 C 4. 如图，在Rt△ABC中，C=90°，AB=10，若以点C为圆心， CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ） A．53 B．5 C．52 D．6 A A C B O （第3题图） A D B D C D B 5.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度． 6.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C．若AB＝23，OC＝1，则OB的长为 ． 7. 如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动，以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的 （ ） A．内含 B．相交 C．外离 D．外切 A O C B O P A 8.如图，⊙O中，直径MN=10 ，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM = 45°，则 AB长为 。 9.已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 10.如图BC是⊙O的直径，AD切⊙O于A，若∠C=40°，则∠DAC的度数是（ ） A、50° B、40° C、25° D、20° 11.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB8cm，BC10cm，求大圆与小圆围成的圆环的 面积．（结果保留π） C D O A B 12.如图，以原点O为圆心的半圆交x轴于A、B两点，点B的坐标为（4，0）， 过B且垂直于x轴的直线上有一点C，过A、C的直线交半圆于D，且BC=83． 3⑴求出点D的坐标； ⑵求过A、B、D的抛物线的解析式； ⑶在y轴上是否存在一点P，使得︱PA－PD︱的值最大？如果存在，请求出此时△ADP的周长；如果不存在，请说明理由．