初中圆的定理和公式汇总

8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆

9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

10推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

12 ① 直线L和⊙O相交 d＜r ② 直线L和⊙O相切 d=r ③ 直线L和⊙O相离 d＞r

13切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18圆的外切四边形的两组对边的和相等

19弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 30相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等

31推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

33推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 35 ① 两圆外离 d＞R+r ② 两圆外切 d=R+r ③ 两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④ 两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤ 两圆内含d＜R-r(R＞r) 36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 37 定理 把圆分成n(n≥3):

⑴ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

42正三角形面积√3a／4 a表示边长

43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 44弧长计算公式：L=n兀R／180

45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）APC,APD,BPD,BPC

图1 图2

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP等 证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 ⊙O中，连结AC、BD，C=B,A=D,所相交AB、CDPA·PB＝以△APC∽△DPB 弦定 为弦，PC·PD 理 交于P. ⊙O中，用相交弦定理. 相交AB为直弦定 径，PC2＝PA·PB 理的CD⊥AB推论 于P. ⊙O中，连结TA、TB，则∠PTA=∠B切割PT切（弦切角等于同弧圆周线定 ⊙O于PT2＝PA·PB 角）所以△PTA∽△PBT，理 T，割线所以 PB交PT2＝PA·PB ⊙O于A PB、PD过P作PT切⊙O于T，用两

切割为⊙O次切割线定理 线定的两条PA·PB＝

理推割线，PC·PD 论 交⊙O

于A、C ⊙O中，P'C·P'D＝r2延长P'O交⊙O于M，延长割线PB－OP'2 OP'交⊙O于N，用相交弦定

圆幂

交⊙OPA·PB＝OP2－理证；过P作切线用切割线定理 2

于A，r 定理勾股定理证 CD为弦 r为⊙O的半径

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，求CE。

图2

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则AB2:AC2PB:________。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图

3

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：（1）CE2CD•CB；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。求证：BC2AB•DE

图5

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图

6

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。

图7 例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的

一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。

当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；

图8

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题 1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ） 3 3 C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ） 图1 A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD=22cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ） A. 23cm B. 32cm C. 22cm D. 33cm 6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题 7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。 8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。 9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=103，则PC的长为_____________。 10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则PC=_____________。 PA三、解答题 11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。 图2 12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。 图3 13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB=22cm，求⊙O的半径。 图4