公开课--解直角三角形的方法和技巧

教师 学科 授课题目 彭丹 数学 学生 年级 公开课 九年级 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 北师大版 第（ 1 ）次课 教材名称 课 次 解直角三角形的方法和技巧 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形，直角三角形有两个，而根据条件，Rt△BCD可以先直接解，然后为解Rt△BDE提供条件。 解：在Rt△BCD中，∵BD=5, ∴BC=5tg40≈4.20. 在Rt△BDE中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=BE 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=2DB2=38.4425 =63.44≈7.96 x263，3x=3 （x+26），x=, x2633x=13（3 +1）∴BC=13（3 +1）. 三、构造直角三角形 在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后利用直角三角形的相关知识解决问题。 例2、如图，在四边形中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC=120°，BC=14,AD=3， 求DC的长。 分析：原图中没有直角三角形,但通过延长BA，CD交于点P，从而构造出两个 直角三角形Rt△PBC和Rt△PAD,再利用锐角三角形函数的相关知识求解. 解：延长BA，CD交于点P，∵AD⊥AB，CD⊥BC，∴∠C=∠PAD=90°，∵∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴∠P=30°，在Rt△PAD中，sin30°=3ADBC，PD=2AD=6m，由于BC=14m，在Rt△PBC中，tan30°==，PDPC3PC=143m，∴DC=PC-PD=143-6≈18.25。 四、将实际问题转化为数学问题 解直角三角形的应用可以说涉及到众多的方面，但是不管以什么背景出现，将其转化为解直角三角形问题后，归纳起来不外乎以上几种情况而已． 例４、（05青岛）小明的家在某公寓楼AD内，他家的前面新建了一座大厦BC，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测出公寓底部A与大厦底部C的直线距离，于是小明在他家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60，爬上楼顶D处测得大厦的顶部B的仰角为30，已知公寓楼AD的高为60米，请你帮助小明计算出大厦的高度BC。 分析：将实际问题转化为数学问题后，需要方程来助解． 解：如图，由题意知：四边形ACED是矩形 ACDE，DAEC60tanBDE米，BDE30，设DEx，在RtBDE中，BE3，BExtanBDEx x33x60BC3在RtBAC中，tanBAC，即tan60 xAC3x333x603036090（米） x60，解得：x303BCBEEC333 答：大厦的高度BC为90米。