【长安大学】新型基础工程

《新型基础工程》

一、评述地基承载力的普朗特尔解、太沙基解、迈耶霍夫解及各解优缺点

1 普朗特尔解 1.1 普朗特尔解评述

普朗特尔解是依据塑性平衡理论研究了坚硬物体压入较软的、均匀的、各向同性材料的过程。考虑地基与土层的相互作用于此过程十分相似，普朗特尔解可用于地基极限承载力的计算。

地基极限承载力的普朗特尔解适用于条形基础，且其假定(1)基础底面与土层之间无摩擦；(2)材料容重为零；(3)地基土是不可变形的刚塑性材料。

普朗特尔解考虑宽度为b且无摩擦的条形基础压入土体中，当土体处于极限平衡状态时，普朗特尔根据塑性力学得到的地基滑动面如图1-1所示。地基的极限平衡区可分为3个区：在基底下的I区，因为假定了基底无摩擦力，故基底平面是最大主应力面，两组滑动面与基础底面间成(45/2)角，也就是说，I区是朗肯主动状态区；随着基础下沉，I区土楔向两侧挤压，因此III区为朗肯被动状态区，滑动面也是由两组平面组成，由于地基表面为最小主应力平面，故滑动面与地基表面成(45/2)角；II区为过渡区，其滑动面一组是辐射线，另一组是对数螺旋曲线。

bQBAG45°+φ/2F90ECD45°-φ/2

图1-1 普朗特尔解

根据以上情况，普朗特尔条形基础的极限承载力公式如下：

1sintanqfcctan1 e1sin1

式中 qf——极限承载力 φ——材料内摩擦角 c——材料内聚力

普朗特尔公式适用于条形基础作用在具有c、φ的土体上。但是当c=0时，

qf =0。这是由于公式假定了材料容重为零而引起的误差。此外，基础一般都具有一定的埋置深度，当基础埋置深度较浅时，可忽略基础底面以上土的抗剪强敌，而将这部分土体作为超载，以压力qDf施加在基础底面土体处。

普朗特尔假定土层塑性区的II部分中的滑线为对数螺线，因此可以使用较为简单的数学微分方程来求解普朗特尔公式，在推导过程中，由于土层不记重力，作用在对数螺线上任意点的法向力与摩擦力的合力作用方向都通过对数螺线的中心点，这样就可以将对数螺线中心点作为矩心得力矩平衡方程。

导出的条形基础地基极限承载力的普朗特尔解为：

qcctanetan1sincctan

1sin从式中可以看出，极限承载力大小与条形基础宽度b无关，这是由于推导公式时不考虑土层容重而带来的误差。

地基极限承载力的普朗特尔解并不是一个考虑十分周全的解答，太沙基曾对公式中当c=0时，qf =0的误差提出修正建议，泰勒则考虑到覆土压力对土层的强度影响而提出了修正项。 1.2 普朗特尔解的优缺点

普朗特尔解利用塑性平衡理论研究了基础与地基的相互作用，为地基极限承载力计算奠定了基础；普朗特尔解将地基土的破坏定义为了塑性的滑移破坏，这与土体实际性质较为接近；推导过程详细考虑了土层各塑性区域间的相互作用，朗肯主被动区概念清晰，主被动区之间的过渡假定为对数螺线滑线，便于利用并不高深的数学方程进行公示的推导，“用在对数螺线上任意点的法向力与摩擦力的合力作用方向都通过对数螺线的中心点”对于建立力矩平衡方程十分的重要。

然而，普朗特尔解的三个假定使其并不能成为一个完美的地基极限承载力

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计算方法。

首先，普朗特尔假定基础底面与土层间无摩擦，地基土和基础的接触面不仅存在摩擦力，而且两者之间的的摩擦力还相当大，实际情况不能忽略两者摩擦力对地基土滑移破坏的影响。摩擦力对地基土滑移有着约束的作用，因此忽略摩擦力将低估地基极限承载力。

其次，假定材料容重为零。不记地基土容重首先影响的就是公式在c=0时，

qf =0而带来的误差。这个理论结果与实际试验结果明显不符。忽略材料容重也导致普朗特尔地基极限承载力与条形基础宽度无关的误差。实际情况是，条形基础宽度越大，其极限承载力也相应的有所提高。

最后，假定地基土是不可变形的刚塑性材料。在这样的假定下，土层塑性区内的土体体积不可变化，它使得普朗特尔解仅适用于整体剪切破坏模式。除此之外，公式在推导过程中将基础上覆土层作为超载施加于基础底面土层上，这忽略了上覆土层的抗剪强度，因此普朗特尔解仅适用于中心荷载作用下的条形浅基础。 2 太沙基解 2.1 太沙基解评述

太沙基地基极限承载力公式如下：

qfcNcDfNq1BN 2式中Nc、Nq、N都是无因次承载力系数，为的函数。

c——地基土的内聚力

——地基土的容重

Df——基础埋置深度

B——基础的宽度

——地基土的内摩擦角

上式适用于宽度为B的条形基础，埋置深度为Df，放置在具有、c的地基上。它假定(1) 确定地基土塑性区滑线时不考虑地基土容重；(2) 基础底面与土层之间有相当大的摩擦；(3) AC面与水平成角，如图1-2所示；(4) 土层为不可变

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形的刚塑性材料。

如图1-2所示，在太沙基解中，因基础底面与土层之间有相当大的摩擦，土体沿着AB面并不发生剪切位移。那么区域ABC就不是朗肯主动状态，而是处于弹性状态，其余塑性区域则属于朗肯被动状态。三角形土楔ABC将随基础底面一起移动。太沙基假定AC面与水平成角，由于AC是滑线，因此对数螺线在C点的切线必须是垂直的，在点C的两滑线之间夹角为90。

bQAIFG φB 90°+φCE45°-φ/2D

图1-2 太沙基解

太沙基公式在推导过程中假定滑面CD上的剪应力必须等于土体抗剪强度

ctan。因滑面CD上存在法向应力和剪应力tan，于是法向应力和剪

应力的合力与滑动面的法线成角，则对数螺线上的总力F通过螺线中心点。因此便于土体ACDI建立力矩平衡方程。

太沙基解在考虑有覆土层的条形浅基础，采取和普朗特尔相同的处理方法，即将基础底面以上的土体看作是超载qDf，并假定滑动面止于基础底面处土层F处。也即忽略不计AF面以上的土的抗剪强度。太沙基地基极限承载力由三部分组成：(1) 由土体ACDI的重力和作用在DI上的被动土压力产生的地基承载力；(2) 由抗剪强度分量c产生的剪应力破坏强度及分量c产生的被动土压力而对地基承载力产生的贡献；(3) 基础底面以上覆土层的超载影响产生的地基承载力贡献。 2.2 太沙基解的优缺点

太沙基解是基于普朗特尔解的基础之上的，它首先和普朗特尔有相似的假定条件，又考虑普朗特尔公式的局限性和推导过程的不合理提出了修改。首先，

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太沙基解考虑了材料容重。考虑了材料容重使其解答更加符合实际情况，太沙基解在公式推导过程中充分考虑了塑性区土层的重力作用对地基极限承载力产生的贡献；其次，因太沙基解充分考虑了土层重力作用，使得导出的条形基础极限承载力公式中反映出了基础宽度对地基极限承载力的影响，这是普朗特尔解所没有的；最后，太沙基解考虑了基础底面与地基土之间的摩擦力。这是十分符合实际情况的假定，它充分考虑了基础底面对土层剪切位移的约束作用，更加准确的反应了摩擦力对地基极限承载力的影响。

同时，太沙基解也有若干缺点。

第一，太沙基解虽然考虑了材料容重影响，但在确定土层塑性区滑移线时并未考虑土层重度影响。这与普朗特尔解相比并无改进之处。根据极限平衡理论，如果考虑土层重度影响，塑性区内的两组滑线不一定都是直线。

第二，太沙基在考虑基础底面与土层的摩擦力时假定其具有相当大的摩擦，在这种假定下基础底面的土体沿着基础底面并不发生剪切位移，基础底面以下的三角形土体处于了弹性状态，这对实际状态的反映过于绝对。

第三，太沙基解在推导过程中将基础上覆土层作为超载施加于基础底面土层上，一方面忽略了覆土的抗剪强度，另一方面滑动面被假定与基础底面水平线相交为止，没有延伸到地表上去，因此所假定的破坏机理与实际观测的是不符合的。这使得太沙基解也仅适用于中心荷载作用下的浅基础。

第四，太沙基公式利用了叠加方法分别将承载力系数Nc、Nq、N相加起来，这样导致所得结果的理论滑动面与实际滑动面并不相符。另外，公式中的承载力系数Nc、Nq、N都是地基土的内摩擦角的函数，因此公式对于准确测定角的要求较高。

第五，假定地基土是不可变形的刚塑性材料。在这样的假定下，土层塑性区内的土体体积不可变化，它使得太沙基解也仅适用于整体剪切破坏模式。 3 迈耶霍夫解 3.1 迈耶霍夫解评述

迈耶霍夫地基极限承载力公式如下：

1qfcNc0NqBN

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式中 c——地基土的粘聚力 ——地基土容重 B——基础宽度 01Df2K022Ksintansin2cos0

2 K0——静止土压力系数

——土与基础侧面之间的摩擦角

承载力系数Nc、Nq、N是土的内摩擦角及的函数。=0时，公式适用于基础放置在地表上；0<<90适用于浅基础和深基础；<0时，适用于基础放置在斜坡上。

迈耶霍夫认为：地基承载力取决于地基土的物理性质；取决于地基土的原始应力和地下水情况；取决于基础的物理性质；也取决于基础建造的方式方法。太沙基理论一方面忽略了覆土的抗剪强度，另一方面滑动面被假定与基础底面水平线相交为止，没有延伸到地表上去，因此所假定的破坏机理与实际观测的是不符合的。

迈耶霍夫理论假定基础底面是光滑的，且考虑土的容重。如图1-3所示，

bFDfA 90°-φCBEb 90°-φDEDfABD 90°-φ 90°-φC(a) 浅基础图1-3 迈耶霍夫解

(b) 深基础

迈耶霍夫在确定滑动面时认为：滑动面ACDE对于浅基础来说，交于地表的点E；对于深基础来说，则交于基础的侧面上，其中CD为对数螺线。

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迈耶霍夫解在推导过程中考虑到了土的容重影响，且分为两部分进行了推导计算：先考虑内聚力和超载，而不考虑地基土容重对地基承载力的影响；然后再考虑地基土的容重和被动土压力，而不考虑内聚力和超载对地基承载力的影响；最后将两部分的计算结果叠加起来，即得出总的地基极限承载力公式。

迈耶霍夫解在计算地基极限承载力时，首先需要假定滑移面BE位置，根据滑移面BE与地面夹角计算滑移面上的应力0和0，由此利用摩尔圆法计算出BE和BD两直线间的夹角，再将计算出的各参量返回代入验证值。 3.2 迈耶霍夫解的优缺点

迈耶霍夫解基于太沙基解进一步考虑了基础底面以上，土体发生抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限承载力公式。迈耶霍夫解不仅考虑了覆土的抗剪强度，并且假定滑动面与基础底面水平面相交，延伸至了地表。迈耶霍夫解不仅适用于浅基础和深基础，也适用于不同地势条件下的基础形式和不同埋深的情况，适用范围比较广。

然而，迈耶霍夫解也有其相应的缺点。

一、迈耶霍夫也是把地基土看作是刚塑性材料，因此公式只适用于地基土的整体剪切破坏模式，针对局部剪切破坏情况虽然提出了相应的解答，但是其解答并未考虑土体塑性区内体积变化的影响。

二、虽然迈耶霍夫将太沙基解更进一步地进行了推广，使地基土的塑性平衡区随着基础的埋深增加到最大程度，但这个课题存在较大的数学困难，因此迈耶霍夫解对其进行了许多简化。如：作用在基础侧面BF上的合力及附近土块BEF的重量W由平面BE上的等代应力0和0替代。这样的简化会对实际结果造成一定的影响。

三、利用迈耶霍夫解进行地基极限承载力计算时，首先需要假定土体塑性区滑动面的位置，然后再向下一步步进行计算，最后再验算最初选定的滑动面位置是否合理，这样会导致重复性的工作量较大，实际选用滑动面需要一定的经验要求。

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二、详细叙述弹性桩（m法）的内力和位移求解过程

1 计算桩顶所承受的荷载竖向力Pi，水平力Qi和桩顶弯矩Mi

计算基桩内力应先根据作用在承台底面的外力N、H、M计算出作用在每根桩顶的荷载Pi，Qi，Mi值。桩基础按其作用力H与基桩的布置方式之间的关系可归纳为单桩、单排桩与多排桩两类来计算各桩顶的受力。

对于单排桩，若作用于承台底面中心的荷载为N、H、My，当N在承台x方向无偏心时，则可以假定它是平均分配在各桩上的，即

PiMNH;Qi;Miy nnn当竖向力N在承台x方向有偏心距e时，即MxNe，每根桩上的竖向力可按偏心受压计算，即

piNMxyi 2nyi当按上述公式求得单排桩中每根桩桩顶作用力后，即可以单桩形式计算桩的内力。对于多排桩而言，其桩顶荷载需用结构力学方法另行计算。

另外需注意在计算桩顶的荷载作用时，需根据《公路桥涵设计通用规范》或《建筑结构荷载规范》等在不同荷载前乘以相应的荷载分项系数。 2 桩长计算

确定桩在局部冲刷线下的入土深度，一般情况可根据持力层位置、荷载大小、施工条件等初步确定，通过验算再予以修改；在地基土较单一，桩底端位置不易根据土质判断时，也可根据已知条件用单桩轴向受压承载力容许值计算公式反算桩长。 3 桩的内力计算

(1) 确定桩的计算宽度

现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示： 当d1.0m时

b1kkfd1

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当d1.0m时

b1kkf1.5d0.5

对于单排桩或L10.6h1的多排桩：

k1.0

对L10.6h1的多排桩：

kb21b2L1

0.6h1式中：b1——桩的计算宽度（m），b12d；

d——桩径或垂直于水平外力方向桩的宽度（m）；

kf——桩形状换算系数，视水平力作用面（垂直于水平力作用方向）而定，圆形或圆端截面kf0.9；矩形截面kf1.0；对于圆端形与矩形组合截

a面kf10.1；

d k——平行于水平力作用方向的桩间影响系数；

L1——平行于水平力作用方向的桩间净距；梅花形布桩时，若相邻两排桩中心距c小于d1m时，可按水平力作用面各桩间的投影距离计算；

h1——地面或局部冲刷线以下桩的计算埋入深度，可取h13d1，但不得大于地面或局部冲刷线以下桩入土深度h；

b2——与平行于水平力作用方向的一排桩的桩数n有关的系数，当

n1时，b21.0； n2时，b20.6；n3时，b20.5；n4时，b20.45。

(2) 计算桩的变形系数

5桩计算。

mb12.5，当h时，桩的相对刚度小，可按弹性桩计算，否则按刚性

EI(3) 计算墩柱顶局部冲刷线处桩上外力P0，Q0，M0。

将上述计算出的桩顶所承受的荷载竖向力Pi，水平力Qi和桩顶弯矩Mi换

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算到局部冲刷线处求出局部冲刷线处桩上的外力P0，Q0，M0。

(4) 局部冲刷线以下深度z处桩截面的弯矩Mz及桩身最大弯矩Mmax计算。 ①局部冲刷线以下深度z处桩截面弯矩Mz的计算公式如下：

MzQ0AMM0BM

无量纲系数AM、BM可由表查得，根据上式即可求得不同冲刷线以下深度的桩截面弯矩。

②桩身最大弯矩Mmax及最大弯矩位置计算

要找出弯矩最大的截面所在位置及最大弯矩值，一般可将各深度处的桩身弯矩值求出后绘制z-Mz图，即可从图中求得；另外，也可采用数值计算方法求得：

根据最大弯矩截面处的剪力为0可得

M0Q0其中CQ是与z有关的系CQ，

数，求得其值后可查表得到相应的z值，又为已知，从而可得最大弯矩所在位置。

由式MmaxM0KM可求得最大弯矩值，其中KM可由zMmax及h查表求得。

(5) 局部冲刷线以下深度z处横向土抗力pzx计算。 计算公式如下：

AMBM也为无量纲系数，CQpzxQ0b1ZAx2M0b1ZBx

式中无量纲系数Ax、Bx可分别查表求得。依上式即可求得局部冲刷线以下不同深度处桩身的横向土抗力。 4 桩顶纵向水平位移计算

先根据下列公式计算桩在局部冲刷线处水平位移x0和转角0：

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Q0M0ABxx32EIEI QM020A0BEIEIx0当桩露出地面（或局部冲刷线）部分为变截面，其上部截面抗弯刚度为E1I1（直径为d1，高度为h1），下部截面抗弯刚度为EI（直径为d，高度为h），设

nE1I1，则桩顶x1和1分别为： EIQ''AMBXX11

1Q''1AMB1EI1x1式中：

'AXAX1112EIh1n3n232h2''BXAA1n 1112n'BB11h21nnh2ah2三、分析桩的负摩阻力与桩的抗拔摩阻力的区别

1 成因上的区别

桩负摩阻力是由于桩周土体因某种原因发生下沉，其沉降变形大于桩身的沉降变形时，在桩侧表面将出现向下作用的摩阻力。桩的负摩阻力产生的原因有：

（1）在桩附近地面大量堆载引起地面沉降；

（2）土层中抽取地下水或其他原因，地下水位下降，使土层产生自重固结沉降；

（3）桩穿过欠压密土层（如填土）进入硬持力层，土层产生自重固结沉降； （4）桩数很多的密集群桩打桩时，使桩周土中产生很大的超孔隙水压力，打桩停止后桩周土的再固结作用引起下沉；

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（5）在黄土、冻土中的桩因黄土湿陷、冻土融化产生的地面沉降。 从上述可见，当桩穿过软弱高压缩性土层而支撑在坚硬持力层上时最易发生桩的负摩阻力。

桩的抗拔摩阻力的产生与负摩阻力的产生不同，抗拔摩阻力主要是由于桩体本身向上发生位移而产生的桩周和周围土体之间的摩阻力。它与负摩阻力的主要区别是：抗拔摩阻力是由于桩体发生了主动的向上的位移，而负摩阻力是桩周土发生了主动的向下的位移。 2 摩阻力范围的区别

桩的负摩阻力的范围就是桩侧土体对桩产生相对下沉的范围。它与桩侧土层的压缩，桩身弹性压缩变形和桩底下沉有关。桩侧土体的压缩决定于地表作用荷载和土的性质，并随深度而逐渐减小；而装在荷载作用下，桩身压缩多处于弹性阶段，其压缩变形基本上随深度呈线性减少。因此，桩侧下沉量有可能在某一深度与桩身位移量相等，此处桩侧摩阻力为0，在此深度以上桩侧摩阻力为负，此深度以下桩侧摩阻力为正。

桩在承受上拔荷载时，侧摩阻力从上到下逐渐发挥。当荷载较小时，桩与桩周土不发生相对位移，土体仍处于弹性变形阶段，随桩一起发生一个向上的弹性位移；随着荷载的增大，上部的桩周土体应力增大进入塑性，桩—土发生相对位移，下部土体对桩的侧摩阻力逐渐发挥，桩的上拔量逐渐加快；随着荷载继续增加，下部土体也进入塑性，桩与周围土体均产生了相对位移，桩的上拔位移急剧增加，最后整根桩被拔起，抗拔桩失效。 3 摩阻力对桩基承载力影响的区别

桩的负摩阻力的发生将使桩侧土的部分重力传递给桩，因此，桩的负摩阻力不但不能成为桩承载力的一部分，反而变成施加在桩上的外荷载，对入土深度相同的桩来说，若有负摩阻力发生，则桩的外荷载增大，桩的承载力相对降低，桩基沉降加大。

而桩的抗拔摩阻力是桩抵抗向上发生位移的能力，抗拔摩阻力越大，桩抵抗被拔起的能力越强。随着社会的发展，人类的活动空间逐渐扩展，工业与民用建筑逐渐向地下以及近海发展，在地下和近海结构的设计中，抗拔设计已成为一项重要的内容。因此抗拔摩阻力是对工程有利的。

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