结构动力学复习资料

一、概念题

1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。

1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？

答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。

确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。

1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？

答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。

1.4 结构的动力特性一般指什么？

答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。

产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是往往与实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？

采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？

答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。

综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：(l) 与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。(2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。

2.1 建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件是什么？ 答：常用的有 3 种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。

直接动力平衡法是在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。 利用虚功原理的优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加。而作用于结构上的力是矢量，它只能按矢量叠加。因此，对于不便于列平衡方程的复杂体系，虚功方法较平衡法方便。

哈密顿原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别采用对动能和势能的变分代替。

因而对这两项来讲，仅涉及标量处理，即能量。而在虚功原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。

2.2 直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方程各代表什么条件？

答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。

2.3 刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？

答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一致的。由于刚度矩阵与柔度矩阵

1

互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建立的方程。一般说来，对于单自由度体系，求[δ]和求[k]的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位移求力。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超静定结构就要根据具体情况而定。若仅从建立运动方程来看，当刚度系数容易求时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。 2.4 计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？

答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一样的。但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无位移位置来建立，则两者是一样的。 3.1 为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征，它与哪些量有关，怎样修改它？

答：动荷载（或初位移、初速度）确定后，结构的动力响应由结构的自振频率控制。从计算公式看，自振频率和质量与刚度有关。质量与刚度确定后自振频率就确定了，不随外部作用而改变，是体系固有的属性。为了减小动力响应一般要调整结构的周期（自振频率），只能通过改变体系的质量、刚度来达到。总的来说增加质量将使自振频率降低，而增加刚度将使自振频率增加。 3.2 自由振动的振幅与哪些量有关？

答：振幅是体系动力响应的幅值，动力响应由外部作用和体系的动力特性确定。对于自由振动，引起振动的外部作用是初位移和初速度。因此，振幅应该与初位移、初速度以及体系的质量和刚度的大小与分布（也即频率等特性）有关。当计及体系阻尼时，则还与阻尼有关。 3.3 阻尼对频率、振幅有何影响？

答：按粘滞阻尼假定分析出的体系自振频率计阻尼与不计阻尼是不一样的，二者之间的关系为：计阻尼的自振频率小于不计阻尼的自振频率。计阻尼时的自振周期会长于不计阻尼的周期。由于相差不大，通常不考虑阻尼对自振频率的影响。阻尼对振幅的影响在频率比不同时大小不同，当频率比在 1 附近（接近共振）时影响大，远离 1 时影响小。为了简化计算在频率比远离 1 时可不计阻尼影响。

3.4 什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值。简谐荷载下的动力放大系数与频率比、阻尼比有关。当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等；否则不相等。原因是：当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。

3.5 什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？

答：并不是所有体系都能发生自由振动的，当体系中的阻尼大到一定程度时，体系在初位移和初速度作用下并不产生振动，将这时的体系阻尼系数称为临界阻尼系数，其值为 2mω。当阻尼系数小于该值时（称为小阻尼），可以发生自由振动。阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量，它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比。若阻尼比为 0.05，则意味着体系阻尼是临界阻尼的 5％。阻尼比可通过实测获得，方法有多种，振幅法是其中之一。

3.6 若要避开共振应采取何种措施？

答：共振是指体系自振频率与动荷载频率相同而使振幅变得很大的一种现象（无阻尼时趋于无穷）。为避开共振，需使体系自振频率与动荷载频率远离。由于动荷载通常是不能改变的，只能改变体系的自振频率。改变体系的自振频率可通过改变体系的质量和刚度来实现。 3.7 增加体系的刚度一定能减小受迫振动的振幅吗？

答：增加体系的刚度不一定能减小受迫振动的振幅。对于简谐荷载作用下的振幅除与荷载有关以外，还与动力放大系数有关。动力放大系数与频率比有关，频率比小于 1 时动力放大系数是增函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数减小，振幅会相应减小；频率比大于 1 时动力放大系数是减函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数增大，振幅会相应增大。可见，减小体系的动位移不能一味增加刚度，要区分体系是在共振前区工作还是在共振后区工作。 3.8 突加荷载与矩形脉冲荷载有何差别。

答：这两种荷载的主要区别是在结构上停留的时间长短。与结构的周期相比，停留较长的为突加荷载，较短的是矩形脉冲荷载。矩形脉冲荷载属于冲击荷载，在它的作用下，结构的最大动力响应出现较早，分析时应考虑非稳态响应。此外，由于最大响应出现时结构阻尼还未起多大作用，故在分析最大响应时可不计阻尼影响。而突加荷载则不然。

3.9 杜哈迈积分中的变量τ 与 t 有何差别？

答：杜哈迈积分是变上限积分，积分上限 t 是原函数的自变量；τ是积分变量。t 是动力响应发生时刻，τ是瞬时冲量作用的时刻。

3.10 什么是稳态响应？通过杜哈迈积分确定的简谐荷载的动力响应是稳态响应吗？

答：稳态响应是指：由于阻尼影响，动力响应中按自振频率振动的分量消失后，剩下的按动荷载频率振动的部分。通过杜哈迈积分确定的简谐荷载动力响应是非稳态响应，积分中并没有略去荷载所激起的按结构自振频率变化的伴随自由振动部分。

4.1 什么是振型，它与哪些量有关？

答：振型是多自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状。它仅与体系

2

的质量和刚度的大小、分布有关，与外界激励无关。 4.2 对称体系的振型都是对称的吗？

答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，受外界作用究竟产生什么变形要取决于外界作用。对称体系的振型既有对称的，也有反对称的。 4.3 满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？

答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点间振动位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。

由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量{A}(j)并不一定满足振型方程

[K][M]{A}2j(j){0}

所以并不一定是振型。但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一定是振型。 4.4 振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？

答：由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i 振型上的惯性力在 j 振型上作的虚功为 0。

由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。这就是振型正交的物理意义。

一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解藕。

4.5 柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的吗？ 答：由柔度法建立的自由振动微分方程为{y}[][M]{y}；而用刚度法建立的方程为[K]{y}[M]{y}。因为 [K][]= [] [K] = [I ]，故[]与[K]互为逆矩阵，即[]=[K]-1，或[K] =[]-1，从而证明了柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的。

4.6 求自振频率与主振型和坐标选取有关吗？

答：结构的自振频率和主振型是结构的固有性质，它们只与结构的形状、约束情况、质量分布、截面尺寸和选用的材料有关，与计算时所选的坐标无关。 4.7 求自振频率与主振型能否利用对称性？

答：利用对称性计算频率和主振型时，通常取半结构计算。 4.8 频率相等的两个主振型互相正交吗？

答：若两个振型对应的频率彼此相等，则与此频率对应的振型有无穷多个，它们并不一定彼此正交，但总可以选出两个主振型（其中一个是任选的）使它们彼此正交。 4.9 什么叫做广义坐标？什么叫做振型分解法？

答：广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标。广义坐标的物理意义就是任意振动位移曲线按主振型分配各振型所占的比例。由此可知，振型分解法也就是任意振动位移曲线可由各主振型按广义坐标比值叠加而成。振型分解法是解决一般动荷载作用下的强迫振动问题的方法。 5.1 多自由度体系与无限自由度体系的运动微分方程有什么不同？ 答：常微分方程与偏常微分方程的区别。在无限自由度体系中，由于位置坐标和时间变量都是连续的独立变量，故所得的是偏常微分方程。

5.2 讨论无限自由度体系的振动的主要目的是什么？如何应用到实际工程中去？

答：为了估算有限自由度结果的精度，需要做无限自由度体系的振动分析。特别是对结构振动的概念分析和对计算结果的分析是非常有用的。在实际工程中，例如对简支梁在列车不同车速变化的振动分析等。

5.3考虑转动惯量和剪切变形的影响时梁的频率如何变化？它们对低阶频率的影响大还是对高阶频率影响大？ 答：在实际问题中，当n/l与 1 相比很小时，剪切与转动惯量的影响相比，剪切变形影响大。考虑转动惯量影响时，所得的频率要降低一些，并且对于高频来说，其影响就越大。 6.1 瑞利法的基本思想和特点？

答：瑞利法是根据能量守恒定律建立起来的，故又称为能量法。利用瑞利法求固有频率，必须知道振型函数，而精确的振型函数事先往往是不知道的，所以必须先假设一个振型函数来进行计算，由此所得的计算结果就具有一定的近似性，因此，瑞利法是一种近似方法。 6.2 用能量法求固有频率，必须首先知道什么？ 答：必须首先知道振型函数。

7.1 对于杆系结构用有限元法计算频率和振型时，需要哪些基本数据（参照单元刚度矩阵和质量矩阵）对于杆系结构用有限元法计算频率和振型时，需要哪些基本数据（参照单元刚度矩阵和质量矩阵）? 答：除静力计算相同的数据外，还需要输入集中质量（或密度）。 7.2 在一致质量法中，判断计算出的频率与精确解的依据是什么？

答：一般说来，用一致质量矩阵算得的频率是结构真实频率的上限；而用集中质量矩阵算得的频率是结构真实频率的下限。

3

7.3 在结构动力有限元法分析中，与一致质量法相比，集中质量法的主要优点是什么？

答：集中质量矩阵为对角阵，占用内存较少，计算简单和省时。所以工程上常采用集中质量法计算结构的频率和振型。

二、分析讨论题

1.1 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为2。 1.2 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为1。 1.3 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为2。

1.4 结构的自振频率不仅与质量和刚度有关，还与干扰力有关。 1.5 单自由度体系，考虑阻尼时，频率变小。

1.6 弹性力与位移反向，惯性力与加速度反向，阻尼力与速度反向。

1.7 如简谐荷载作用在单自由度体系的质点上且沿着振动方向，体系各截面的内力和位移动力系数相同。 1.8 在建立质点振动微分方程时，考虑不考虑质点的重力，对动位移无影响。

1.9 图示体系在简谐荷载作用下，不论频率比如何，动位移 y(t) 总是与荷载 P(t) 同向。

1.10 多自由度体系自由振动过程中，某一主振型的惯性力不会在其它主振型上做功。 二、单项选择题

2.1 在单自由度体系受迫振动的动位移幅值计算公式ymax=yst 中，yst是 A 质量的重力所引起的静位移 B 动荷载的幅值所引起的静位移

C 动荷载引起的动位移 D 质量的重力和动荷载复制所引起的静位移 2.2 无阻尼单自由度体系的自由振动方程：y(t)=C1sint+C2cost。则质点的振幅ymax= A C1 B C1 +C2 C

222C12C2 D C1C2

2.3 多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系是 A. kii1ii B. kij1ij C. kijij D. [K][]1

2.4 图示四结构，柱子的刚度、高度相同，横梁刚度为无穷大，质量相同，集中在横梁上。它们的自振频率自

左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4，那么它们的关系是

A ω1=ω2<ω3<ω4 B ω1<ω2 <ω3 <ω4 C ω1=ω2=ω3=ω4 D ω1<ω2=ω3<ω4

2.5 图示四结构，柱子的刚度、高度相同，横梁刚度为无穷大，质量相同，集中在横梁上。它们的自振频率自左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4，那么它们的关系是

A ω1=ω2<ω3<ω4 B ω1<ω2 <ω3 <ω4 C ω1=ω2=ω3=ω4 D ω1<ω2=ω3<ω4

4

1m01(1)(2)2.6 已知两个自由度体系的质量矩阵为[M],振型为{Y}2, {Y}Y，Y22等于

02m22A. －0.5 B. 0. 5 C. 1 D. －0.25

2.7 不计阻尼，不计自重，不考虑杆件的轴向变形，图示体系的自振频率为 A. 3EI3EI12EI6EI B. C. D. ml32ml3ml3ml3

2.8 图示四个相同的桁架，只是集中质量m的位置不同，它们的自振频率自左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4， （忽略阻尼及竖向振动作用，各杆EA为常数），那么它们的关系是 A ω1=ω2<ω3=ω4 B ω1<ω2<ω3<ω4 C ω1=ω2>ω3=ω4 D ω1>ω2>ω3>ω4 2.9 设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是 A ω 越大β也越大 B θ 越大β也越大 C θ /ω 越接近1，β绝对值越大 D θ /ω 越大β也越大

2.10 当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是

A 弹性恢复力 B 阻尼力 C 惯性力 D 重力 2.11 图示（a）、（b）两体系中，EI、EI1及h均为常数，则两者自振频率ωa 与ωb 的关系是 A    B当EIEI时CabD当EI1EI时abab1ab

2.12 图示三个单跨梁的自振频率分别为ωa，ωb，ωc， 它们之间的关系是 ( )

2.13 一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，共振时的动力系数为β 则

A. =0.05， =10； B. =0.10， =15； C. =0.15， =20； D. =0.20， =25

2.14 当荷载频率θ接近结构的自振频率ω时 A 可作为静荷载处理 B 荷载影响非常小 C 引起共振 D 可以不考虑阻尼的影响

求图示体系的自振频率。

5

mEI2EI0.5l0.5ll

求图示体系的自振频率。EI = 常数。

m

l0.5l 求图示单自由度体系的自振频率。已知其阻尼比=0.05。

mEI1=oo

EIEIh 15、图示体系EI2104kN/cm2, 20s-1, P5kN, W20kN, I4800cm2。求质点处最大动位移和最大动弯矩。

Psin tEI4m2m

W错 错 错 错 对 对 对 对 错 对

BCDAC DADCC DAAC

3l3/48EI,216EI/(ml3) 5l3/48EI,248EI/(5ml3)

2.45EI/ml3

三、历年试题

同济大学2007年博士生入学考试《结构动力学》真题

一、简答（每题4分，共20分）

5. 写出单自由度欠阻尼的系统的响应表达式。

二、计算题 1. 求自振周期。 J1 R r J2 x 1k2 r2 m0 m m2 1

2. 悬臂梁，m1和m2 由电磁吸引，去除电磁力使m2落下，求m1的振幅。

m1 EI m2 L

2题图

6

k1 1题图

3. 两层框架结构如图所示，已知m1=m2=1kg ，k1=2000，k2=4000，阻尼都为0.05。 求：

m1

k2 m 2 k1

3题图

1) 所有振型及自振频率； 2) 求线性阻尼；

3) 广义质量、广义刚度、广义阻尼； 4) 用振型叠加法求稳态响应。

4. 位移为3.038时自由释放，t=0.64s时再次达到最大，此时振幅为2.1844，质量m= 90800Kg，求刚度、阻尼、阻尼比。

m

C k/2 k/2

4题图

5. 求液体黏度系数u。板重W，面积A。在空气中自由振动，不计空气阻力，

测得振幅为T1；放入液体中后，测得振幅T2，已知液体阻力F=uAv (v为相对速度)，求u。 k A W 5题图

6. 推导悬臂梁横向振动的正交性（10分） 7. 求简支梁的振动频率。（5分） -------------------------

1、 已知线性 MDOF系统的运动方程为mucukup(t)，试导出线性加速度法的积分递推公式。（14

分）

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7、已知楼层质量 m1=m2=150t，m3 =100t，基础运动的幅值Z=5mm，激振频率Ω=20rad/s，自振频率

221=10rad/s，2512,31212，振型1=(1，2，3)T，2=(2，2，-3)T，3=(4，-3，1)T，不考虑阻尼，试用振型叠加法求图示三层刚架在基础运动z(t)=Zcost

作用下相对于基础的运动w=u-z 产生的稳态响应。（15 分）

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