【精练】大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求大桥拱内实际桥长（备用数据：
计算结果精确到1米）．
解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
，
．
因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，所以，得．
因此所求函数解析式为．
（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得．
所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．
所以．
因此大桥拱内实际桥长为
【知识规律串讲】
（米）．
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标，对称轴方程及与坐标轴的交点的坐标，横坐标取±1等都是二次函数的特殊点，也成为近几中考命题的趋势。
1．顶点坐标，对称轴方程。二次函数的形式有三类：一般形式y=ax2+bx+c，它的顶点
坐标为，对称称方程为x=
；顶点式y=a（x+h）2+k，它的顶点坐标
为（-h，k），对称轴方程为x=-h；交点式y=a（x-x1）（x-x2），它的顶点坐标为
，
对称轴方程为x=。
2．与x轴的交点。当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴的交点坐标是以方程ax2+bx+c=0的两根为横坐标的两个点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴的交点坐标是顶点坐标的横坐标，也是以方程ax2+bx+c=0的一根为横坐标的一个点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
3．与y轴的交点。抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标总是（0，c），特别的当c=0的时候，抛物线过原点，这也是一个特殊点。
4．横坐标取1时，y=ax2+bx+c的解析式对应的是a+b+c，横坐标取-1时，y=ax2+bx+c的解析式对应的是a-b+c。这也是特殊式，用于考察当x=±1时所对应的函数值与0的大小关系。 【典型试题】
例1：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存
在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：依题意，得点C的坐标为（0，4）． 设点A、B的坐标分别为（
，0），（
，0），
由，解得 ，．
∴ 点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．
∴ ，，
．
∴ ，
〈ⅰ〉当 由
，．
时，∠ACB＝90°． ，
得．
解得 ．
∴ 当 于是
时，点B的坐标为（
．
，0），，，．
∴ 当 〈ⅱ〉当
时，△ABC为直角三角形．
时，∠ABC＝90°．
由，得．
解得 ．
当时，，点B（-3，0）与点A重合，不合题意． 时，∠BAC＝90°．
〈ⅲ〉当
由，得．
解得 ．不合题意．
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当例2：已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
时，△ABC为直角三角形．
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.
解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ; 又AB＝∣x1 — x2∣＝∴m2－4m＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点,
,
∴
①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. ∴
.
,
这时M、N到y轴的距离均为
又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 ,
∴2××（2－m）×=27 .
∴解得m=－7 . 例3：已知：抛物线
与x轴的一个交点为A（－1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2． ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线 ∴
与x轴的一个交点为A（－1， 0）， ．∴ t＝3a．∴
．
∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线
上，
∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为 （3）设点E坐标为（
，
）.依题意，
或
，
．∴ ．
．
，
且．∴ ． 上，
①设点E在抛物线
∴
．
解方程组 得
∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（ 设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．
，）．
∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． ∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 设过点E、B的直线的解析式为
，
∴ 解得
∴ 直线BE的解析式为．∴ 把x＝－2代入上式，得．
∴ 点P坐标为（－2， ②设点E在抛物线
）．
上，∴
．
解方程组 消去，得．
∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二： （1）∵ 抛物线 ∴ 令 y＝0，即
），使△APE的周长最小．
与x轴的一个交点为A（－1，0）， ．∴ t＝3a．∴ ．解得
，
．
．
∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）由，得D（0，3a）．
∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线
上，
∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ∴
．∴ a±1．
或
（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
．解得OD＝3．
∴ 所求抛物线的解析式为．
∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F．
由PF∥EQ，可得．∴ ．∴ ．
∴ 点P坐标为（－2， 以下同解法一．
）．
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