初中数学专题复习（三角形的内切圆与内心）1．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+rB．R＝2rC．r＝aD．R＝a解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝AC＝a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r＝故选：C．，R＝a，故C错误，D正确；2．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．4B．2C．2D．4解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，则∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2∵CD＝2，∴△DBC的面积＝CD•BH＝故选：B．＝2，，3．（2020•金华）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°，故选：B．4．（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝1．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．5．（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．6．（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为（2，3）．﹣19，）2＝0，﹣19，则△ABC的内切圆半径＝1．解：如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．7．（2021•武汉模拟）已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝140°，则∠BIC的大小是解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC＝∠BOC＝×140°＝70°（如图1）或∠BAC＝180°﹣70°＝110°，（如图2）∵I是△ABC的内心，∴∠BIC＝90°+∠BAC，当∠BAC＝70°时，∠BIC＝90°+×70°＝125°；当∠BAC＝110°时，∠BIC＝90°+×110°＝145°；即∠BIC的度数为125°或145°．故答案为125°或145°．125°或145°．8．（2021•河北区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（）A．14B．20C．24D．30解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．9．（2021•游仙区模拟）已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为2．解：如图，圆O为△ABC内切圆，切点分别为D、E、F，连接OF、OE、OD，则OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB．由切线长定理，可知AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，∴OE＝OF＝CE＝CF，又∵52+122＝132，∴∠C＝90°，∴四边形FCEO为正方形，∴CE＝＝＝2．故答案为2．10．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BIE＝∠EBI，∴EB＝EI；（2）解：连接EC．∵∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴BE＝EC＝2，∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，∴△ADB∽△CDE，∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，同法可证：△ADC∽△BDE，∴∴＝，＝，∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，∴△ECD∽△EAC，∴EC2＝ED•EA，∴4＝m•（m+2n），∴4＝2k（2k+6k）∴k＝或﹣（舍弃），∴DE＝1，AD＝3，∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，∴AI＝AE﹣EI＝2．11．（2020•胶州市一模）如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（）A．4B．5C．8D．16解：∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．答：EF的长度为8．故选：C．12．（2020•游仙区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．解：B．2C．D．如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×4×OF+×5×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝；法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，∴AB∥DG，DG＝OF＝1，∴△ABC∽△DGC，∴∴，，∴DC＝；故选：A．13．（2020•玉林一模）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（）A．125°B．120°C．115°D．110°解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB和OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°．故选：C．14．（2020•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，BD：CD＝2：1，BD＝4，则△DBC的面积为（）A．3B．2C．2D．3解：过点B作BH⊥CD于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+则∠BDH＝60°，∵BD＝4，BD：CD＝2：1∴DH＝2，BH＝2∴△DBC的面积为故选：C．，CD＝2，＝＝2，＝120°，15．（2020•温州模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO，则图中阴影部分的面积之和为（）A．10﹣B．14﹣πC．12D．14解：设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，在Rt△ABC中，AB＝∴△ABC的内切圆的半径＝∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝135°，则图中阴影部分的面积之和＝22﹣故选：B．+×10×2﹣＝14﹣π，＝10，＝2，16．（2020•越秀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为ABC的内切圆，OA，OB与⊙O分别交于点D，E，则劣弧DE的长是π．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵⊙O为ABC的内切圆，∴OD＝＝2，OB平分∠BAC，OC平分∠ABC，∴∠AOB＝90°+∠C＝90°+×90°＝135°，∴劣弧DE的长＝故答案为π．＝π．