沪科版九年级数学上册教案全册教案

23.1 二次函数

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题www.xkb1.com

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2) 三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2

2．二次函数定义：形如y=ax＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1 2．P3练习第1，2题。 五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业布置

教材P4 习题23.1 2，3，4，5，6

23.2 二次函数y=ax的图象和性质

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2

2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例

例1、画二次函数y=ax2的图象。新 课标 第一 网 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何?

(XAyB；XC0，XD>0，yC其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

2

以上结论就是当a>0时，函数y=ax的性质。 思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a让学生讨论、交流，达成共识，当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。 五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。 六、小结：

1．如何画出函数y=ax2的图象? 2．函数y＝ax2具有哪些性质? 六、作业布置

教材P9 习题23.2 1，3，4，5

23.3二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

第一课时

教学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－

h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x

22

－h)的性质，理解二次函数y＝a(x－h)的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图

象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程： 一、提出问题

2

11

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：

22 (1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?

教学要点

1．让学生完成下表填空。 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝2x2 y＝2(x－1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点

1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：

开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝2x2 y＝2(x－1)2 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x-1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。 三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； 2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。

问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗? 教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。

1122

问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)图象与函数y＝－x的

33图象有何关系?

11

(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2

33个单位得到的。)

1

问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

3吗?

1

(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是

3(－2，0))。

1

问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?

3

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

四、课堂练习： P11练习1、2、3 五、小结：

1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。 六、作业布置

教材P23 习题23.3 1，2

23.3二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

第二课时

2

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2

＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。 重点难点：

1、会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。 2、正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

教学过程： 一、提出问题

1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 y＝x2＋1 … 18 … 19 8 9 2 3 0 l 2 3 8 9 18 19 … … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

（图象略）

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点

(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗? 完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。 三、做一做

22

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x－2与函数y＝2x的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 教学要点

1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数

值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得

1

最小值，最小值y＝－2。 问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图

31

象与函数y＝－x2的图象有什么关系?

3

11

要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得

3311

出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称

33

11

轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2

33的图象向上平移两个单位得到的。

1

问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

3吗?

1

[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]

3 问题11：这个函数图象有哪些性质?

1

让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x

3的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习： P9 练习1、2、3。 五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?

2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质? 六、作业布置

教材P23 习题23.3 3，4，5

23.3二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

第三课时

教学目标：

1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点：

重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理

解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系

以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。

教学过程： 一、提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位

得到的，见P10图26.2.3) 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2

＋1有哪些性质? 二、试一试

你能填写下表吗? y=2x2 向右平向上平移 移 y=2(x－1个单位 y=2(x－1)2＋1的图象 1个单1)2 的图象 位 开口方向上 向 对称轴 y轴 顶 点 (0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 三、做一做

问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 教学要点

1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

11

问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关

33系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 11

(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移

33一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐

标是(1，2)

四、课堂练习： P13练习1、2、3、4。

对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即

y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11

五、小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 六、作业布置

教材P23 习题23.3 6，7，8，

23.3 二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

第四课时

教学目标：

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2

3．让学生经历探索二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线

的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐

bb4ac－b2

标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。

2a2a4a

教学过程： 一、提出问题 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

125

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x＋x－的图象的开口方向、对

22称轴和顶点坐标吗?

151

[因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对

222称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]

125

5．你能画出函数y＝－x＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

22二、解决问题

2

15

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口

22方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数15

y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。

22 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1 0 1 2 3 y … －4 －2 －4

111－6 －2 －2 222

4 1

－6 2

… …

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

15

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象。

22 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量

的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；

当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2 三、做一做

1

1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发

2现这个函数具有哪些性质吗? 教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

bbbbb

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c ＝a[x2＋x

aa2a2aab2b2

＋()]＋c－ 2a4a

b24ac－b2 ＝a(x＋)＋

2a4a

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。 b4ac－b2

对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－，)

2a4a

四、课堂练习： P15练习第1、2、3题。

五、小结： 通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 六、作业： 1．填空：

(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

5

(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；

2(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______； 1

(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；

2

(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______． 2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。 3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x (3)y＝－2x＋8x－8

2

12

(4)y＝x－4x＋3

2

4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

23.4二次函数与一元二次方程

第一课时

教学目标 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

教学重点

1、体会方程与函数之间的联系.

2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标. 教学难点

1、探索方程与函数之间的联系的过程.

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、复习

2

1、一元二次方程-5x+40x=0的根为： 。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方程 ； 当△﹤0时，方程 。

2

3、二次函数y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？

二、创设问题情境,引入新课 师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

三、活动探究

二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.

y=x2+2xy=x2-2x+22 y=x-2x+1

(1)每个图象与x轴有几个交点?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

师：还请大家先讨论后解答.

答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.

(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.

(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;

二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.

由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

四、课堂练习

1、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。

2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D、画出图象后才能说明 3、抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 、。 4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 5、（P28练习3）证明：抛物线y=x2-(2p-1)x+p2-p与x轴必有两个不同的交点。 6、（拓展练习）一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。

五、课堂小结

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标

2

就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax+bx+c=0的根。

六、作业布置 教材P29 1，2，3 其他：

23.4二次函数与一元二次方程

第二课时

教学目标

1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,进一步发展估算能

力。

2、通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图 象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力。

3、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程 的思路,体验数形结合思想。 教学重点 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、复习

提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

1、若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。

2

2、抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D、画出图象后才能说明 3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 二、创设问题情境,引入新课

师：上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐 标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

探究一：用图像法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）。

下图是函数y=x2+2x-1的图象。

22

师：从图象上来看,二次函数y=x2+2x-1的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-1=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决。

有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-2与-3之间,那这个根一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-2.1,-2.2,…,-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).

由于计算比较烦琐,所以要求学生可以用计算器进行计算。

从图象上看,可以估计x的取值是-2.4或-2.5 ,利用计算器进行探索,如下表： x … -2.4 -2.5 … y … -0.04 0.25 … 从上表可知,当x取-2.4或-2.5时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x得值使y=0，即有方程x2+2x-1=0的一个根。由于题目只要求精确到0.1，所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求。但是当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25（x=-2.5）更接近0.所以选x=-2.4。 因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4。 有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.（学生自行研究） 另一根为x=0.4 探究二：还有没有其他的解决办法？（针对程度较好学生） 引导学生将方程变形为x2=2x-1，从而将问题转化为求函数y= x2和y=-2x+1的交点横坐标，培养学生利用数形结合解题的思想。 如图所示 函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根。 探究三：你能否结合二次函数的图像，求出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0 时，x的取值范围？ 由图像可知，y=x2+2x-1>0的图像位于x轴上方，图像位于x轴上方的自变量 x取值范围是x<-2.4或x>0.4；y=x2+2x-1<0的图像位于x轴下方，图像位于轴 下方的自变量x取值范围是-2.423.5二次函数的应用 第一课时（最值问题）

教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 教学重点

二次函数在最优化问题中的应用 教学难点

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

由23.1节的问题1引入

在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？

问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。 二、讲授新课

在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。 总结：

得出解这类题的一般步骤：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解

1

上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－ gt2，其中h是物

2体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。

（1）问排球上升的最大高度是多少？

（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3(s),t2≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。 四、课堂练习

1、23.1节为题2中，你能用二次函数的性质求出每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？

2、P31练习1、2、3 五、课堂小结

本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。 六、布置作业 教材P34 1

23.5二次函数的应用 第二课时（抛物线型问题）

教学目标

1、通过图形之间的关系列出函数解析式

2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

教学重点：

用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题 教学难点

通过图形之间的关系列出函数解析式 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、创设情景

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1 图2 图3 图4 二、新课教学 【例题讲解】

例1、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。 （1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；

（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）

分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，

81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。

解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得

81.5=a•4502+0.5

解方程，得

a811 224525012x0.5（-450≤x≤450）。 250因而，所求抛物线的函数关系式为y（2）当x=450-100=350（m）时，得

y135020.549.5(m)； 250124000.564.5(m)。 250当x=450-50=400（m）时，得

y因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。

例2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．

(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域； (2)如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．(备用数据：2≈1.4，结果精确到1米) 解：

（1）由图(二)建立直角坐标系，可知C(0，0.9)，A(－2.5，0)，B(2.5，0)．

设函数表达式为y＝a(x－2.5)(x＋2.5)，将 (0，0.9)代入，得

0.9＝－6.25a

a＝

18

125

因而，所求函数关系式为

181829(x－2.5)(x＋2.5)＝－x＋（－2.5≤x≤2.5） 125125109(2)∵D、E的纵坐标为0.45=，

209182952． ∴＝－x＋．得x＝±

2012510459592，2，∴点D的坐标为(－)，点E的坐标为()．

2020445552－(－2)＝2． ∴DE＝442y＝

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

52×11000×0.01＝2752≈385(米)。 2

三、课堂练习

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为X轴建立直角坐标系（如图所示）.

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下. ．．．．

解：（1）M12,0,P6,6

（2）（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:yax66

2 ∵抛物线过O(0,0) ∴a(06)260

1 解得a

6∴这条抛物线的函数解析式为:y12x66 61即yx22x.

6 （法2）设这条抛物线的函数解析式 为:yax2bxc ∵抛物线过O(0,0),M12,0,P6,6 三点，

1ac062 ∴a6b6c6 解得：b2

a122b12c0c01∴这条抛物线的函数解析式为:yx22x.

61（3）设点A的坐标为m,m22m

61∴OB=m，AB=DC=m22m

6根据抛物线的轴对称,可得:OBCMm ∴BC122m 即AD=12－2m

11∴l＝AB+AD+DC=m22m122mm22m

6611=m22m12=(m3)215 33∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米

四、课堂小结

本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

五、作业布置

教材P35 2，3

23.5二次函数的应用

第三课时（生活中的二次函数）

教学目标

学会利用二次函数解决实际问题 教学重、难点

利用二次函数解决实际问题 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、创设情境、引入新课

上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题 二、例题讲解

行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 制动时车速/km•h-1 制动距离/m

现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？

分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。

解：1、以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y

0 0 10 0.3 20 1.0 30 2.1 40 3.6 50 5.5 值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图

2、观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设

y=ax2+bx+c

在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入

0c所设函数关系式，得0.3100a10bc

1.0400a20bca0.002解方程组，得 b0.01

c0因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x 3、把y=46.5m代入函数关系式，得 46.5=0.002x2+0.01x

解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）

因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。

三、课堂练习

1、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条2件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，

3入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成

规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人3

水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水

5会不会失误？并通过计算说明理由

分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），2

顶点的纵坐标为。

3

解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），2且顶点A的纵坐标为。

3

∴ ∴

-b

>0， 2a

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴

2510

又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， ∴a=－，b=，c=0

63∴抛物线的解析式为：y=－

25210

x+x 63

338

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，

555y=(－

258108161614

)×()2+×=－， ∴此时运动员距水面高为：10－=<5， 6535333

因此，此次试跳会出现失误。

2、心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

x224x100 0x1010x20，如图所示 y240 7x380 20x40

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：（1）当x=5时，y=-52+24×5+100=175

当x=25时，y=-7×25+380=205

所以，讲课开始25分钟后，生的注意力更集中。

（2）由图像可知，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟。

（3）若0≤x≤10,当y=180时

180=-x2+24x+100

解方程得 x1=4，x2=20

由于0≤x≤10，所以x2=20不合题意，舍去； 若20≤x≤40，,当y=180时

180=-7x+380

4解方程得 x28

744∴28424

774∴学生注意力的持续时间为24分钟，大于讲题所需的时间

7所以，老师经过适当安排，能在学生注意力不低于180的状态下讲解完这道题目。

四、课堂小结

二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。

五、作业布置 教材P35 4，

23.6反比例函数 第一课时（反比例函数概念）

教学目标

1、使学生了解反比例函数的概念

2、使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式 3、会用待定系数法确定反比例函数的解析式 教学重点： 反比例的概念 教学难点：

用待定系数法确定反比例函数的解析式 教具准备 多媒体课件 教学过程

一、创设问题情境

提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？ 由学生先考虑及讨论一下.

答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

二、新课

看下面的几个问题（P36问题1、2、3）

1、某村有耕地200hm2，人口数量x逐年发生变化。干村人均占有的耕地面积yhm2与人口数量之间有怎样的关系？

2、某市距省城248km，汽车有该市驶往省城，汽车行驶全程所需时间th，与形式的平均速度vkm/h之间有怎样的关系？

3、当电压一定时，通过电阻的电流I与电阻R有怎样的关系？ 三个问题的两个变量之间都满足乘积一定，所以可以分别表示成：200248Uy,t和I（U是常数）。 xvRk上述函数关系式都具有y的形式，两个变量之间的关系就是小学学过的x反比例关系。由此给出反比例函数的概念： k一般地，函数y（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。 x即在上面的例3中，当电压U是常数时，电流I就是电阻R的反比例函数，能否说：电阻R是电流I的反比例函数呢？ k通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足y（kxU为常数，且k≠0）就可以。因此可以说电阻R是电流I的反比例函数，因为R(UI是常量），对于其他几个例子也是一样。 判断：下列函数中，哪些y是x的反比例函数？ x1xk18y，y，y，y2， xy = 5，y 3xx537x练习： P37练习1 例题：P37例1、已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系。当施工人数为4时，10天能完成这项工程。现要求8天完成这项工程，应选派多少人去施工？

k分析：根据人数y与时间x天成反比例，所以可以设解析式为y，根据

x题中条件利用待定系数法解出k，就可以得到关系式了。

三、课堂练习 1、P37练习2 2、已知y(m23m)xm2m7，若y是x的正比例函数，则m= ；若y是x

的反比例函数，则m= 。 3、（拓展练习）已知y-1与x-3成反比例，且x=4时，y=2，求x=5时，y的值。

四、课堂小结 k一般地，函数y（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。 x五、作业布置 教材P41 1，2，3

23.6反比例函数

第二课时（反比例函数图象及其性质）

教学目标

1、利用描点法画反比例函数图像

2、理解反比例函数的性质，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况 教学重点

结合图象分析总结出反比例函数的性质 教学难点

描点画反比例函数的图象 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、复习引入 师：上节课我们学习了反比例函数，首先我们复习一下反比例函数的概念。 k答：一般地，函数y（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。 x师：根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？ 答：图像。 注：通过这个问题，使学生对课本上给出的知识发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究。 二、新课 师：下面，我们就来研究反比例函数的图像。 66例2、画出函数y和y的图像 xx师：画函数图像的关键问题是什么？ 答：合理、正确地选值列表． 师：在选值时，你认为要注意什么问题？ 答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好； （2）不能选x=0，因为此时函数无意义； （3）选整数较好计算和描点． 注：这个问题中最核心的一点是关于x能否取0的问题，提醒学生注意。 师：你能不能自己完成这道题呢？ 学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线。 x 6x… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 3 25 6 56 … y … -1 6 3 -2 -3 -6 6 523 2 1 … y6x … 1 6 53 22 3 6 -6 -3 -2 63  25-1 …

然后就这名同学的连线加以评价、总结：

（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）这两条曲线不相交；

（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交。 关于（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？ 通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性

再让学生观察黑板上的图，提问：

1、当k>0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

2、当k<0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书： 对于双曲线

（1）当k>0时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少； （2）当k<0时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大。 3、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

填表分析正比例函数和反比例函数的区别 函数 解析式 图像形状 位一三 置 象限 正比例函数 y=kx（k为常数，且k≠0） 直线 一三 象限 y反比例函数 k（k为常数，且k≠0） x双曲线 k>0 增减性 y随x的增大而增大 二四 象限 y随x的增大而减小 位二四 置 象限 k<0 增减性 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 学习了反比例函数的图像后，我们可以解决与其图像有关的实际问题 例题：P40例3 三、课堂练习 1、P40练习2

m22、函数y的图像在二、四象限，则m的取值范围是 ____ 。

xk3、对于函数y，当x<0时，y随x的 而增大，这部分图像在第 象限。

2x4、反比例函数y=(2m+1)xm+2m-16, y 随 x 的减小而增大，则m= ____。

k5、已知k<0,则函数y1=kx,y2在同一坐标系中的图像大致是 ( )

x

6、已知k>0,则函数 y1=kx+k与y2k在同一坐标系中的图像大致是( ) x

8与一次函数y=-x+2的图像交于A、B两x点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。

四、课堂小结 提问：

1、反比例函数的图像是什么样的？ 2、反比例函数的性质是什么？

五、作业布置

7、（拓展练习）已知反比例函数y教材P41 5，6，7 其他：

六、个性化设计与课后反思：

第23章 相似形 23.1 比例线段 第一课时 相似多边形

目的要求：

1、理解相似多边形的概念.

2、理解相似多边形的相似比（相似系数）的概念.

3、培养将复杂问题转化为简单问题之一重要思想方法. 教学重点：相似多边形及相似比的概念. 教学难点：相似多边形的证明方法. 教学过程：

1、复习提问：

什么叫做全等三角形？ 2、新课讲解：

前面，我们研究了全等三角形，本节课我们将研究相似多边形的定义及应用定义判定两个多边形相似的方法. 带学生看书上的几个图片,总结：

①我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形

②在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形放大而成；或小的图形是由大的图形缩小而成。

如图：正方形ABCD和正方形A'B'C'D'形状相同，即为相似的图形，对于相似的两个图形有什么特征呢？

边长为3.2

边长为1.6

有图可知

AA',BB',CC',DD'; ABBCCDDA1.61 A'B'B'C'C'D'D'A'3.22③定义： 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）. 注：（1）两个多边形的边数不同一定不是相似多边形； （2）定义中“对应角相等”、“对应边成比例”是判定两个多边形是否相似的必备的条件，缺一不可；

（3）两个相似多边形的相似比是有顺序的.

课堂练习:

课堂小结：

（1）理解并记忆相似多边形与相似比的概念；

（2）相似多边形的定义，也是它的性质，及“相似多边形的对应角相等，对应边成比例.” 课外作业：

第二课时 比例线段（一）

教学目的：

1、理解比例线段的概念

2、掌握比例线段的判定方法及第四比例项的求法. 3、理解比例的基本性质并掌握它的初步应用，培养学生用方程思想解决问题. 教学重点：

比例线段及其性质的应用. 教学难点：

应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程：

一、建立比例线段的概念

1、复习两条线段比的定义. 引例：如图：AB=50，BC=25

ABABA＇B＇=20 B＇C＇=10 求 BC，BC

DCDCABAB

AB50AB2022ABA'B'BC25BC10解：∵ ∴

BCB'C'用同一个长度单位去度量两条线段，得到他们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比

2、分析引例得出四条线段AB、BC、A＇B＇、B＇C＇是成比例线段.

⑴题目的已知中共有几条线段？分别是哪4条？ ⑵其中的两条线段AB、BC的比是多少？ 另外的两条线段A＇B＇，B＇C＇的比是多少？

ABABA'B'其中的两条线段BC的比与另外的两条线段的比有何关系？ BCB'C'⑶我们称AB、BC、A＇B＇、B＇C＇这四条线段是成比例线段，简称比例线段. ⑷请同学们根据这个例子想一想什么样的四条线段叫做成比例线段？ ⑸学生叙述，教师板书比例线段的定义： 二、比例线段（成比例线段）

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

ac注：①如果四条线段a,b,c,d,且（或a:bc:d)，则a、b、c、d四条

bdac线段成比例；反之a、b、c、d四条线段成比例，则有（或a:bc:d)

bdac②如果（或a:bc:d)，则a、b、c、d叫做组成比例的项，b、c

bd叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.

ab③若作为比例内项的是两条相同的线段.即（或a:bb:c)，那么线段b

bc叫做线段a、c的比例中项. 三、比例的基本性质：

两条线段的比是他们长度的比，也就是两个数的比，因此也因具有关于两个数成比例的性质。 （1）基本性质

ac 如果（或a:bc:d)，那么adbc(b,d0)

bdac 反之也成立，即：如果adbc，那么（或a:bc:d) (b,d0)

bd （2）合比性质

abcdacbd，即 如果，等式两边同时加上1，可得

bdabcdacd，(b,d0) 如果，那么bbd（3）等比性质

aa1a2a3nbn，且b1b2b3bn0， 如果b1b2b3a1a2a3a1b1 那么，b1b2b3四、比例线段和比例的基本性质的应用

导语：刚才我们研究和学习了比例线段的概念及比例的基本性质，下面我们利用它们解决具体的问题，请看下面的例题.

例1、已知a、b、c、d是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？

⑴a=1mm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm

11⑵ a1cm，b=0.4cm c=40cm d3cm

72解：⑴法一：利用比例线段的定义

∵ a=1mm=0.1cm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm

∴ d＞b＞a＞c

a0.1dad455∴ b0.8 c0.02 ∴ bc

∴ d、b、a、c四条线段是成比例线段. ⑴法二、利用比例的基本性质

∵dc=4×0.02=0.08 ab=0.1×0.8=0.08

∴ab=dc ∴a、b、c、d四条线段是成比例线段. 第⑵小题让学生练习， 解题小结：

①统一单位；

②从大到小（从小到大）排列； ③通过做比例或求积判断. 例2 ⑴求2，3，2的第四比例项.

5⑵求3和515的比例中项.

⑶已知y：（x+2y）=3：7，求x：y

分析：设所求的项为x，根据比例的基本性质，把含x的比例式转化为方程，用解方程的思想求解.

例3 在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50米，同时，高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么古塔的高是多少米？ 五、学生练习：

1、判断下列四条线段是否成比例

⑴ a=2 b=5 c=15 d=23 ⑵ a=2 b=3 c=2 d=3 ⑶ a=4 b=6 c=5 d=10 ⑷ a=12 b=8 c=15 d=10 2、⑴

xabc（使x为第四比例项）

⑵ 已知：线段a=23, b=3, 求a、b的比例中项 ⑶ 已知：线段a=2 ， b=5， c=15，

①求 a、b、c的第四比例项；②求 c、b、a的第四比例项.

3、⑴若a=8cm,b=6cm，c=4cm，则a、b、c的第四比例项d为 ，a、c的比例中项x＝ .

. 六、课堂小结：

1、比例线段的概念及判定方法. 2、比例的基本性质及初步应用. 七、课堂作业： 八、教后反馈：

第三课时 比例的性质(二)

教学目的：

1、能熟记比例的基本性质、合分比性质和等比性质.及黄金分割 2、能应用上述性质解决有关实际问题.以及黄金分割的应用

3、此外，通过结合图形，运用比例的性质来证明有关问题，培养学生数形相结合的思想和逻辑推理的能力. 重点：比例的性质应用及黄金分割 难点：比例变形的书写.及黄金分割 教学过程： 一、复习引入：

⑴、四条线段m、n、p、q在什么情况下是成比例线段？写出比例式. ⑵、在此比例式中说出比例外项，比例内项，第四比例项. ⑶、若线段是线段和的比例中项，试写出比例式.

⑷说出比例的基本性质、合分比性质和等比性质，并用符号语言表示出来. 二、新授：

（一）思考并回答下列问题： 1、已知4a=7b，你能计算出下面各式的值吗？并说明你计算的根据是什么？ 2、“在相同时刻的物高与影长成比例”这句话的意义：“即在同一时刻，两物体高的比等于它们的 的比. （二）、例题评析与黄金分割 例1：在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50米，同时，高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么古塔的高为多少米？

例4：课本58页例3

把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，其中比值为

510.618叫做黄金数 2（三）课堂练习：

课本59页练习

（四）小结

1、注意灵活应用比例的有关性质.

2、认真观察图形，特别注意图形中线段的和、差，巧妙地与合比性质结合起来.

3、要运用方程的思想来认识比例式，设出未知数，列出比例式，化为方程来解.

（五）课后练习：

（六）作业

第四课时 平行线等分线段定理

教学目标

1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． 4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

重点、难点

1．教学重点：平行线等分线段定理 2．教学难点：平行线等分线段定理 教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？ 【引入新课】

1、由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

2、带学生一起学习课本上的例4

（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到如下定理）

定理1、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例

有上面的定理可推广到一般形式： 定理2、（平行线分线段成比例定理）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。

ABDE1时，有1,即，当ABBC时，有DEEF,可得 在定理二中，当BCEF定理3（平行线分线段定理）两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等

由此，我们可以得到几个推论：

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰． 再引导学生观察下图，在

，由此得出推论2．

中，

，

，则可得到

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段． 例 已知：如图，线段 ． 求作：线段的五等分点．

作法：①作射线 AC ． ②在射线上以任意长顺次截取

AA1A1A2A2A3A3A4A4C任意长 ．

③连结CB ．

④过点A1,A2,A3,A4 分别作CB的平行线交AB于点 B1,B2,B3,B4

B1,B2,B3,B4就是所求的五等分点．

课堂练习：

课本62页练习 课堂小结：

（l）平行线等分线段定理及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

（4）应用定理任意等分一条线段． 布置作业

第五课时 比例线段练习（本节练习）

选择题

1、若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是 （ ）

xy11xy1xy655 C、xyy5 B、yyxA、 D、

2、已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（ ）

A、36 B、6 C、-6 D、6或-6

3、在比例尺1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，它的实际长度约为 （ ）

A、0．226km B、2.66km C、26.6km D、266km 4、已知点C是线段AB的黄金分割点（AC﹥BC），若AB=4cm，则AC的长为 （ ） A、(252)cm B、 C、 D、 5、若a：b=3：5，且b是a、c的比例中项，那么b：c的值是（ ） A、3：2 B、5：3 C、3：5 D、2：3

6、若三角形三边长之比为a：b：c=3：4：5，且a-b+c=12.则这个三角形的周长

(625)cm(51)cm(35)cm等于（ ）

A、12 B、 24 C、 18 D、36 二、填空题

7、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之与已知的三个数成比例，则这个数可以是 .

8、一本书的长与宽之比为黄金比，已知它的长14，则宽为 .

xyzxyz,则1089yz9、若 .

10、已知线段b是a，c的比例中项，且，则b= .

11、据有关实验测定，当气温与人体正常体温（37°C）的比是黄金比时，人体感到最舒适，这个气温约为 °C.

12、已知P是线段AB延长线上一点，且AP：PB=2 则AB：PB= . 三、解答题

a21,c21xyz03413、已知2求下列式的值.

（1）

x2y3xyzx （2）

14、朝阳中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m，宽

为12m.（1）在玻璃尺为1：100的平面图上，这个矩形的长和宽各是多少cm？（2）在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？（3）花坛的长和宽实际比是多少？（4）你发现这两个比有什么关系？

15、已知正方形ABCD的边长为1，请你以CD为短边，用尺规作一个黄金矩形，要求保留作图痕迹并简要写出作法，不需要证明.

23.2 相似三角形的判定（一）

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、重点、难点

1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 三、课堂引入 1．复习引入

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且

ABBCCAk． ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，

则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且

ABBCCA． ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P63的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】

三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 四、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有

ADAEDEAD，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长． ABACBCAB解：略（DE六、课堂练习

10）． 31．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（ CD= 10） 七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

教学23.2 相似三角形的判定（二）

一、教学目标

1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．

2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．

3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点

1.重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似． 2.难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

三、课堂引入 1．复习提问：

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

BCB'AA'C'(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

有我们前面学过的预备定理知道：

三角形相似的判定方法 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领学生画图探究； （3）【归纳】

三角形相似的判定方法2 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．

3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）教师带领学生探求证明方法．

4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：

（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让学生画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】

三角形相似的判定方法3 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 五、例题讲解

例1（教材P67页例1）

分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．

解：略

※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=71，求AD的长． 2分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出

ABCD，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于CDACCDACAD的比例式，从而求出AD的长． ACAD25解：略（AD=）．

4六、课堂练习 1．教材P65

2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？

3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 七、课后练习 1．教材P66

2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED． ※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD， 求证：△ADC∽△CDP．

教学反思

23.2 相似三角形的判定（三）

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点

1．重点：三角形相似的判定方法 2．难点：三角形相似的判定方法的运用． 三、课堂引入 1．复习提问：

（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB， 那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．

（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B， 那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题． 五、例题讲解

例（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．

分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．

解：略（DF=

10）． 3六、课堂练习 1．教材70联系

2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 3．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 七、课后练习

1． 已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F． 求证：

AFEF． BFFD23.3相似三角形的性质

第一课时

教学目标

1、掌握相似三角形的性质定理1的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。

2、能运用相似三角形的性质定理1来解决有关问题。

3、通过与“全等三角形的对应线段相等”进行类比，渗透类比的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质。

教学重点：理解相似三角形的性质定理l并能初步运用 教学难点：相似三角形的性质定理l的证明 教具准备：多媒体课件 教学过程 一、复习回顾与思考 1、三角形有哪些主要线段？

2、到目前为止，我们已经学习了相似三角形的哪些性质？什么是相

似比？

3、如下图，△ABC≌△DEF，AH、DG是对应高，请说出这两个全等三角形的有关性质。

教师重点关注：学生能否准确回忆相似三角形对应角相等，对应边成比例；能否理解两个全等三角形的对应边上的高相等。 二、类比与猜想

1、因为“全等”是“相似”的特例，请猜想：

如下图，△ABC∽△DEF，它们的相似比为k，AH、DG是对应高，请说说AH与DG的关系

2、因为“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”时一步猜想：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也都等于相似比吗？

引导学生：从全等三角形相关性质入手，通过类比，猜想出相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比也都等于相似比。

再进一步：如何证明你所发现的结论？ 三、探究性质的证明

定理1：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

先引导学生证明对应高的相似性质：鼓励学生自己画图，并写出“已知、求证”，教师点拨纠正。

如上图，已知，△ABC∽△DEF，它们的相似比为k，AH、DG是对应高。 求证：

AHABk DGDE证明思路：寻找两个三角形相似所欠缺的条件，根据已有相似三角形的性质得到。

再鼓励学生按上述方法，因类比证明对应中线、对应角平分线的相似性质。 四、应用举例：

例1：已知：△ABC∽△DEF，BC=3.6cm，EF=6cm，AH是△ABC的一条中线，且AH=2.4cm， 求：△DEF的中线DG的长。

分析：教师与学生一起边画图，边分清求解中各线段的含义，重点关注学生能否主动利用相似三角形性质定理1答题。

答完后，教师可再给出一些变式题，如本题中的AH、DG分别改为相应的高或角平分线时的求法。

*例2：如图，△ABC中∠ACB=90º，AD⊥AB于D，AE是∠CAB的平分线，交CD于点F，交CB于点E。 求证：

AFCD。 AECB

本题的已知条件和图形都比较复杂，引导学生认真读题，理清条件，主动联想本节课所学新知识。（只要证明△ACD∽△ABC） 五、本节内容小结

本节主要学习了性质定理1及其证明，重点要掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法，解题运用时要注意“对应”。

*教师指出：相似三角形的其他对应线段的比也都等于相似比，如：对应中位线的比，今后要学习的外接圆半径的比，内切圆半径的比等等。 六、作业： 教材P77 3，5，6

23.3相似三角形的性质

第2课时

教学目标

1、掌握相似三角形的性质定理2和性质定理3的内容及证明。 2、能熟练运用相似三角形的性质定理2和定理3解决有关问题。 教学重点：相似三角形的性质定理2和定理3的初步运用 教学难点：相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用 教学过程 一、复习回顾

1、相似三角形的性质定理1的内容是什么？

2、全等三角形的对应周长（属于线段的范畴）是相等的，全等三角

形的面积也是相等的，那么相似三角形的对应周长以及相似三角形的面积又有怎样的关系呢？

二、探究全等三角形的对应周长的关系

如果△ABC∽△DEF，且它们的相似比为k，那么：

ABBCACk DEEFDF由等比性质，得：

ABBCACABk

DEEFDFDE因此：

定理2（相似三角形周长比定理）：相似三角形的对应周长的比等于相似比。

三、探究全等三角形的对应面积的关系

猜想：我们知道三角形的面积是由底与高的积的一半得到，面底是线段、高也是线段，所以我们有理由考虑到两个三角形面积比与两条对应线段的乘积有关，而对应底的比等于相似比，对应高的比也等于相似比，那么相似三角形面积比不就是相似比的平方吗？

定理3（相似三角形的面积比定理）：相似三角形的面积比等于相似比的平方

先引导、鼓励学生自己画图，并写出“已知、求证”，教师点拨纠正。 如图，已知，△ABC∽△DEF，它们的相似比为k，AH、DG是对应高。 求证：

SABCk2 SDEF引导、鼓励学生分析、证明。 四、应用举例：

例1：如图，△ABC中，AD：DE：EB=2：3：4，且DF∥EG∥BC，S梯形DFGE9cm2，EG=6cm，求：（1）DF，BC；（2）SADF，SABC。

例2（教材P76）：一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上，求这个矩形零件的长与宽。

通过讲解例题，要求学生：

（1）对要使用的定理，严格把关，不能报导条件与结论用错； （2）书写要以书上写法为准。 五、巩固练习： 教材P76 2，3，4 五、本节内容小结

学习完相似三角形的性质后，我们可以把性质分成两类：一类是线段类，一类是面积类。应用相似三角形面积比时一定要注意何时用平方？何时又用开平方。 六、作业：

教材P77 1，2，4，7

23.3相似三角形的性质

第3课时

教学目标

1、系统归纳相似三角形的性质，注意对应关系。 2、能熟练综合运用相似三角形的性质解决相关问题。 教学重点：相似三角形的性质的综合运用 教学难点：相似三角形的性质的综合运用 教学过程 一、复习回顾

相似三角形的性质内容有哪些？

归纳相似三角形的性质，要求学生利用似三角形的性质解题时，注意对应关系，如果根据题目给出的条件，对应关系不确定，应进行分类讨论。

二、相似三角形的性质应用举例 1、利用相似三角形的性质进行证明

例1：如图，△CED∽△CAB，AD是△ABC的角平分线， 求证：

解题流程：

、判断已知相似三角形性质对应角相等、对应边成比例转换结论

CDDE1 CBCA

2、利用相似三角形的性质进行计算 例2：如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF。 （1） 求证：EF∥BC；

（2） 若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积。

解题流程：

已知转换比例线段判定相似三角形性质结论

3、与平行四边形有关的相似三角形

例3（安徽中考题）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、O。 （1）请写出图中各对相似三角形（相似除外）；

（2）求BP：PO：OR。

分析：（1）相似三角形共有四对：

△ BCP∽△BER，△PCO∽△PAB，△PCO∽△RDO，△PAB∽△RDO； （2）先证△PCO∽△RDO，再由相似三角形性质可得：BP：PO：OR=3：1：2。

比为1

三、巩固练习： 教材P78 12，13

四、本节内容小结

对应高、中线、角平分线的比等于相似比相似三角形性质周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方 应用 五、作业：

教材P77 8，9，10，11

23.4相似多边形的性质

第1课时

教学目标

1、掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系； 2、掌握相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用； 3、经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力。 教学重点：

1、掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的推导； 2、运用相似多边形的比例关系解决实际问题。

教学难点：掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的推导和应用

教学过程 一、情景故事

很久以前，某地发生大旱，地里的庄稼都干死了，于是大家到庙里向神求雨，神说，如果你们做一个比现在的方桌大一倍的方桌来祭我，我就给你们降水。于是大家重新做了一个边长是原来2倍的新方桌摆放祭品，可是神愈发怒了。 问：（1）神为什么会发怒？

（2）边长扩大2倍，面积也扩大2倍吗？

利用展现故事，创设情景，让学生内心产生对问题答案的求知，激发学习兴趣。 二、新课引入： 做一做：

如图，△ABC∽△DEF，它们的相似比为k， （1）写出图中所有成比例线段；

（2）写出两个相似三角形的周长比和面积比。

三、探究相似多边形的性质 议一议：

如图，已知多边形ABCDE∽多边形A’B’C’D’E’，相似比为k。 （1）这两个多边形的周长比是多少？

（2）过对应顶点作对角线AC、AD和A’C’、A’D’，此时，△ABC和△A’B’C’有什么关系？其他对应三角形的关系呢？

（3）这两个多边形的面积比是多少？

（1）由相似多边形的定义及等比性质可知，两个多边形的周长比是k； （2）由多边形ABCDE∽多边形A’B’C’D’E’，得∠B’

所以，△ABC∽△A’B’C’ 于是得到：

ABAC A'B'A'C'ABBC，∠B=A'B'B'C'进一步可得其他对应三角形都相似。

（3）由相似三角形的面积比等于相似比的平方及等比性质可得，这两个多边形的面积比等于相似比的平方。 类似，由学生小结相似多边形的性质： 定理1：相似多边形的周长比等于相似比。 定理2：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 四、应用举例：

例1（教材P80）：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，EF∥BC，且EF分别交AB、DC点E、F。

（1）若梯形AEFD∽梯形EBCF，求EF的长；

（2）求满足（1）条件下的梯形AEFD与梯形EBCF的周长比。

于

引导学生如何利用已知两个梯形相似，找出对应成比例的线段，列出比例式后即可把问题解决；求周长的比，可直接利用相似多边形的性质。

例2（教材P80）：如图，△ABC中，∠ACB=90º，以它的边为对应边，在三角形外分别作三个相似多边形，问斜边一多边形的面积S1与两直角边上多边形面积之和（S2S3）有什么关系？为什么？ 引导学生：

相似多边形的面积比等于什么？ 可以写出比例式吗？ 怎样得到S2S3？ 能否用等比定理？ 直角三角形有什么性质？ 五、巩固练习 教材P81 1，2 六、本节内容小结

由学生自已总结复述本节课的主要内容：相似多边形的性质及研究方法，即把多边形分割成若干个三角形进行研究。 六、作业：

教材P81 1，2，4，5w.xk b1.co

23.4相似多边形的性质

第2课时

教学目标

1、理解相似多边形及其相似比的意义； 2、掌握相似多边形的性质；

3、经历应用相似多边形的性质，培养学生的应用能力。 教学重点：

1、熟练运用相似多边形的比例关系解决实际问题。 教学难点：掌握相似多边形的性质的应用 教学过程 一、复习与回顾

1、依据相似多边形的定义，相似多边形本身有哪些性质？ 2、关于相似多边形的周长有哪些性质？ 3、关于相似多边形的面积有哪些性质？

4、相似多边形的对应线段（边、中线、高线、角平分线、对角线等）与相似比的关系如何？相似多边形的对应图形（三角形等）关系如何？相似比与相似多边形的相似比的关系如何？ 二、新课引入：

类似，由学生小结相似多边形的性质： 定理1：相似多边形的周长比等于相似比。 定理2：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 三、应用举例：

例1： 在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的6cm变成2cm，如果原来的面积等于90cm2，那么这次复印现来

的多边形图案面积是多少？ 解答：面积是10cm2。

引导学生：遇到相似多边形的相关计算一定要从其性质出发，依据其性质列式解答或证明。

例2：如图，两个七边形相似，AB=9，BG=20，A’B’=4，七边形ABCDEFG的面积等于8100，求：（1）第二外七边形的面积； （2）B’G’的长。

分析：本题是研究相似多边形的对应线段与相似比的关系的题型，依据多边形的性质可直接求答：面积是1600；长

809

足分别

例3：（1）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂为B，D，AD，BC相交于点E，EF⊥BD， 求证：

（2）若将上题中的垂直改为斜交，且AB∥EF∥CD，试问：还成立吗？请说明理由。

（3）试找出△ABD，△BED和△BCD三者面积之间的关系。

111 ABCDEF111ABCDEF分析：本题是研究与相似有关的过渡量问题，借公共边中的部分与整

体的关系转化为倒数关系。

五、巩固练习 教材P82 8 六、本节内容小结

由学生自已总结复述本节课的主要内容：应用相似多边形的性质，我们可以解决的相关问题。 六、作业： 教材P82 5，6，7

23.5位似图形 第1课时

教学目标

1、理解相似变换及位似相关的概念； 2、掌握位似变换的性质； 2、会利用位似进行图形的缩放； 教学重点：

掌握位似变换的性质，掌握利用位似进行图形的缩放； 教学难点：利用位似进行图形的缩放； 教具准备：多媒体课件 教学过程 一、回顾与反思 1、什么叫相似多边形？

2、什么叫相似多边形的相似比？ 3、判断两个三角形相似有哪些方法？ 二、概念的引入 展示图片：

上面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗? 引入概念：

如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 练一练：

在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图形不是

位似图形.分别指出图(1),(3)各自的位似中心.

三、探究位似图形的性质 议一议：

在如图中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离,它们的比与位似比有什么关系?

在图(3)中再试一试,还有类似的规律吗?

位似图形的性质：

的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 四、应用位似进行图形的缩放： 按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的1/2:

如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点

D,E,F; △DEF的三边就是△ABC相应三边的1/2. 实际上△ABC与△DEF是位似图形. 做一做：

任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试. 四、应用举例：

例1：(1)如果在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB,OF=2OC,那么,结果又会怎样?

结果会得到一个放大了的△DEF,且△DEF的三边是△ABC三边

位似图形上

的2倍.即它们的位似比是2∶1.

(2)如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F使

DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么,结果又会怎样呢?结果会得到一个与△ABC全等的△DEF,.即它们的位似比是1∶1.

（3）如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么,结果又会怎样呢? 例2：如图所示,作出一个新图形，使新图形与原图形对 应线段的比是2∶1.

五、巩固练习 教材P84 练习 六、本节内容小结 位似多边形:

1、如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时

的相似比又称为位似比.

2、位似比的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

3、如何作位似图形(放大与缩小;正像与倒像).

六、作业： 教材P86 1，2，3

23.5位似图形 第2课时

教学目标

1、理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质； 2、会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；

2、了解伸缩变换与反向位似图形的概念； 教学重点：

图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质； 教学难点：

在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，以及平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；

教学过程 一、回顾与反思

1、几何变换，相似变换，位似变换三者之间有何关系？

相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似变换是具有特殊位置关系的相似图形。 2、如何作一个图形的位似图形？

位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形的同侧，或在两图形之间，或在图形内，或在边上，也可是顶点。 二、图形在平面直角坐标系中的相似变换

图形在平面直角坐标系中的相似变换时，它们的坐标有何关系吗？ 如图，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，2），C（4，1），以原点O为位似中心，相似比为k=3，作△ABC的

位似图形（学生在草稿本上完成），观察对应顶点的坐标变化，你能有什么发现？

A（1，1）→A’(3,3)；B（3，2）→B’(9,6)；C（4，1）→C’(12,3)， 你能证明所得到的结论吗？

由学生依据相似三角形的判定和性质加以证明； 以原点O为位似中心的同向位似变换性质：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0），原图形上点的坐标为（x，y），那么同向位似图形对应点的坐标为（kx，ky）。 三、应用举例

例1：△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，2），C（4，1），按（x，y）→（x，y）的方式变换，求变换后所得图形中对应点的

1212坐标，画出变换后的图形，并比较它与原图形的关系？

（让学生通过实践操作、观察、发现并总结变化规律，加深对位似变换的认识） 思考：

在上述图形变换中，如果取相似比k=-3，对△ABC进行变换，请动手操作，看看结果如何？它与k=3时的变换结果又有什么不同？ （关于原点成中心对称）

我们把相似比k<0时的变换得到的图形称为反向位似图形。 四、伸缩变换的概念

把例1的内容改一改：△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，2），C（4，1），按（x，y）→（3x，y）或按（x，y）→（3x，2y）的方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标，画出变换后的图形，并比较它与原图形的关系？

只是一般的几何变换，与原图形不相似。 伸缩变换的概念：

在平面直角坐标系中，作（x，y）→（ax，by）变换时，当a=b≠0时，为相似变换；当a≠b时不是相似变换，这时的变换叫做伸缩变换。 五、巩固练习 教材P86 练习1 六、本节内容小结

1、图形在平面直角坐标系中的相似变换分别就k>0和k<0时的坐标有何性质？

2、伸缩变换有何性质？ 六、作业： 教材P86 练习2

第24章 解直角三角形

24.1 解锐角三角函数

第一课时

教学目标：

1、经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义。

2、能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算。 教学重难点：

1、重点：理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度。 2、难点：从现实情境中理解正切的意义 教学过程： 1、问题引入：

在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?猜一猜,这座古塔有多高?那你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?

1 2

A

B

2、探究新知：从梯子的倾斜程度谈起

梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

问题1：小明的问题,如图:

梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？

5

B 5

E

2

F

2.5

C

问题2：小丽的问题,如图:

梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？

问题3：小亮的问题,如图

梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？

B

A

D5

C

E

62

F

2 A

D

4

B

6

E F D

问题4：小颖的问题,如图:

梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？

2 C

3

A

4

B 3.5

E

小明和小亮这样想,如图:

小明想通过测量B1C1及AC1,算出 它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;

而小亮则认为,通过测量B2C2及 AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的 倾斜程度

你同意小亮的看法吗?

1.5 C

1.3

F

B2

B1 A C1

C2

问题5：(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

(2).B1C1BC和22有什么关系?AC1AC2 总结：

直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数

在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定

在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

A的对边tanA A的邻边B

∠A的对边

A ∠ A的邻边

C

B1

B2 问题6：如图：梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?

与∠A有关吗?

A C1

C2

与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡. 3、例题

例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?

5tan.解:甲梯中, 2212135

乙梯中, tan63.84 ∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.

513m 甲5m 乙 6m 8m

如图,正切也经常用来描述山坡的坡度. 山坡垂直高度为h m与水平长度为l m 的比叫做坡面的坡度（或坡比）

 坡面与水平面的夹角称为坡角，记做 ,于是

hilitanhl垂直高度h

水平长度l

就越大，坡面就越陡。 itan）越大，坡角 显然，坡度（

例2 在RT△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB 解： tanABC3,tanBAC4

1.鉴宝专家——是真是假：

BCtanA(1).如图 (1) （ ）

ACA

(1)

ACBCAC4BC34、练习：书本98页练习

B

A C

B

10m 7m C

(2)

tanAtanA(2).如图 (2) （ ） （ ） BCAB

10tanB （ ） （ ） tanA0.77

tanA0.7,tanA0.7或tanA0.7 ( )

2.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB

5(2)BC=3,tanA= ,12求AC和AB.

33.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA= , 求AC和BC. 44.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10,求tanB

5、小结：

本节课从梯子的倾斜程度谈起，通过探索直角三角形中边角关系，得出了直角三角形中的锐角确定后，它的对边比邻边的比也随之确定，在直角三角形中定义了正切的概念，接着，了解了坡面的倾斜程度与正切的关系，

6、作业：习题3，4，6 7、个性化设计与反馈：

24.1 解锐角三角函数

第二课时

教学目标：

1、经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，理解角度与数值之间一一对应的函数关系。 2、能够正确地运用sinA,cosA,tanA表示直角三角中两边之比。 教学重难点：

1、重点：正确地运用三角函数值表示直角三角中两边之比 2、难点：理解角度与数值之间一一对应的函数关系 教学过程： 1、复习回顾：

 直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数

 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.

 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

B A的对边tanA斜边 A的邻边∠A的对边

2、探究新知

如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?

在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠ A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.

在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即

sinAA的对边斜边 A ∠A的邻边 C

在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即

A的邻边 斜边锐角A的正弦,余弦和正切都是做∠A的三角函数

cosA3、例题

例1、 如图:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.

解:在Rt△ABC中,

sinABCBC0.6,AC200200 C B

BC2000.6120.A 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?

例2、如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, cosA12.13求:AB和sinB的值.

sinBAC1012.AB65136解:cosAAC1012.ABAB13B C A

AB101365.12610

4、练习：

课本99页，练习1 ，2

1.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB

32.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= ,求AC和BC.

53.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10, 求sinB,cosB. A 5(2)BC=3,sinA= ,求13AC和AB.

4.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 提示:过点A作AD垂直于BC于D. 5.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, 求:△ABC的周长. 5、小结：

锐角三角函数定义:

A的对边sinA 斜边

A的邻边cosA 斜边B 斜边 5 B 6

5 C

tanAA的对边∠A的对边 A的邻边C ∠A的邻边

A

 定义中应该注意的几个问题:

1.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造

直角三角形).

2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.

4.sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等. 6、作业

课本100页，习题1，2，5

7、个性化设计与反馈：

24.2 锐角的三角函数值

第一课时

教学目标：

1、运用三角函数的概念，自主探究求出角的三角函数值

2、熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确的加以运用，即给出特殊角能说出它的三角函数值，反过来，给出特殊角的数值，能说出相应的锐角的度数。 教学重难点：

1、重点：三个特殊角的三角函数值极其运用 2、难点：特殊角三角函数值的应用 教学过程： 1、复习回顾：

 直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.

在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比

B 值也随之确定

asinA,cbsinB,cb,cacosB,ccosAtanAabcA a b C

tanBba2、探究新知： 观察一副三角板:

它们其中有几个锐角?分别是多少度? (1)sin30°，sin45°,sin60° 等于多少?

(2)cos30°，cos45°,cos60° 等于多少?

30°

45° (3)tan30°，tan45°,tan60° 等于多少?

你能对一直伴随我们学习的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价？

根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>

特殊角的三角函数值表

三角函数锐角α 30° 45° 60° 3、例题: 例1 计算:

(1)sin30°+cos45°;(2) sin260°+cos260°-tan45°. 解: (1)sin30°+cos45° 4、练习 1.计算:

(1)sin60°-cos45°; (2)cos60°+tan60°;

122212.245° 60°

正弦sinα 1 22 2余弦cosα 正切tanα 3 2 2 21 23 3 1 3 3 2(2) sin260°+cos260°-tan45°

3121223110442 老师提示:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2,其余类推.

32sin450sin6002cos450.24220sin30cos26002cos2450.2

2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?

5、小结：（以提问抢答的方式回忆）

 特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

6、作业： 课本106页 1，4

1）如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高A ?

2）如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹角∠BCA=600.

求B,C间的距离(结果精确到1m).

┐ B C

思考问题：如果∠A,∠B互余，那么sinA和cosB有什么关系?

24.2 锐角的三角函数值

第二课时

教学目标：

1、理解任意两个锐角角度互余时，正、余弦之间的关系。 2、利用这个性质进行简单的三角变换和相应的计算。 教学重难点：

1、重点：两个锐角角度互余时正、余弦之间的关系 2、难点：运用性质进行三角变换和简单的运算 教学过程： 1、复习回顾：

在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.

ab sinA,cosA,cc absinB,cosB, ccB

abbtanBatanAc A a

C

b特殊角的三角函数值表

三角函数锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 30° 45° 60°

2、探究新知：

1 22 23 2 2 21 23 3 1 3 3 2问题：由上可知sinA和cosB有什么关系?

sinB和cosA又有什么关系?

回答：sinA=cosB, sinB=cosA,

即：任意锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。 sinA=cos（90°-A）,

cosA=sin(90°-A) (∠A是锐角) 问题:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. 求证:sinA+cosA=1,

注意：

 sin2A+cos2A=1,它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发. 3、例题：

在△ABC中，∠C=90°,sinA=0.25,求cosA的值。 解：∵ ∠C=90°

∴ sin2A+cos2A=1

2

2

2

2

B

cA a

b

C

sinAtanA,cosAB

15 ∴cosA=1-0.25= 1615

cosAA C

44、练习:

课本103页 1、2两题 5、小结：

本节课从我们应该熟记的三个特殊角的三角函数值开始进行探究，找出两个互余锐角的正余弦之间的关系，并应用这个性质可以进行一些简单的运算。

6、作业：

24.2 锐角的三角函数值

第三课时

教学目标：

1、熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相应的锐角。

2、能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在0与1之间。 教学重难点:

1、学会应用计算器求三角函数值。 2、能够进行简单的三角函数式的运算。 教学过程： 1、复习回顾：

特殊角30°,45°,60°角的三角函数值： 三角函数锐角α 30° 45° 60°

2、新课探究：

特殊三角函数值我们都已熟记，那不是特殊角三角函数我们该怎么去求呢？

比如这样的问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin16° 你知道sin16°等于多少吗?

我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？ 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的

☆ 用科学计算器求锐角的三角函数值

正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 1 22 23 2 2 21 23 3 1 3 3 2例如,求sin16°,cos42°, tan85°和sin72° 38′25″的按键盘顺序如下: sin16° cos42° tan85° 按键的顺序 ssiinn 显示结果 11 44 88 77 ....DDMMSS 66 22 55 ....DDMMSS 0.275 637 355 0.743 144 825 11.430 052 3 ccooss ttaann sin72°38′ 25″ ssiinn 88 22 22 33 ....DDMMSS 0.954 450 312 55 对于本节一开始提出的问题,利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12

当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由此你还能计算什么? ★老师提示:

用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位.本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位

请同学们计算：sin0°,cos0°,tan0°,sin90°,cos90°,tan90°的值，并观察其正余弦数值的特点。

特点：正余弦值都在0到1之间

注意：0°，90°的三角函数值我们也要牢记， 那么如果已知三角函数值能利用计算器求出角的度数吗？ 已知三角函数值求角度,要用到 键的第二功能 1 s2 键siinn-1 ccooss-1 ttaann-和2nnddff --11 --11 --11 ssiinn ccooss ttaann 例：已知三角函数值，用计算器求锐角A:

sinA=0.9816 ,cosA=0.8607 ,tanA=0.1890 ,tanA=56.78 按键的顺序 显示结果 78.991 840 39 30.604 730 07 10.702 657 49 sinA=0.9816 df 2n2ndfssiinn 09 88 11 66 == 0 .. 9 2cosA=0.8607 2nnddff tanA=0.1890 ccooss 00 .. 88 66 00 77 == 22nnddff t1 88 99 00 == taann 00 .. 1tanA=56.78 22nnddff ttaann 55 66 .. 77 88 == 88.991 020 49 ★ 老师提示:上表的显示结果是以度为单位的,再按 .键即可显示以.....“度,分,秒”为单位的结果. 3、练习

（1）用计算器求下列各式的值:

(1)sin56°,(2) sin15°49′,(3)cos20°,(4)tan29°, (5)tan44°59′59″,(6)sin15°+cos61°+tan76° (2)根据下列条件求∠θ的大小:

(1)tanθ=2.9888; (2)sinθ=0.3957; (3)cosθ=0.7850; (4)tanθ=0.8972

（3）一个人由山底爬到山顶,需先爬40°的山坡300m,再爬30° 的山坡100m,求山高(结果精确到0. 1m).

（4）求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).

4、小结：

本节课我们学习了怎样应用计算器进行三角函数的相关运算，并牢记0°，90°的三角函数值，以及了解正余弦值都在0到1之间。 5、作业：

课本106页 2，3，6

DDMMSS 24.3 解直角三角形及其应用

第一课时

教学目标：

1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。 2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。 教学重难点：

1、重点：会利用已知条件解直角三角形。

2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。 教学过程： 1、复习回顾

＊直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.

直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°. ＊直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数

asinAcosBcbcosAsinBcB

c A ＊互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB. ＊同角之间的三角函数关系: cos2Asin2B1tanAsinA.cosAa

C

b

＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 2、新课探究：

有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例1 在RT△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。 解：∠A=90°-42°6′=47°54′

a由cosB,得 a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3

cb b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7 由sinB,得

c例2 在△ABC中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积 （精确到0.1cm2） SABC解：如图，作AB上的高CD，在RT△ACD中，CD=AC·sinA=b·sinA. 11 SABCDbcsinAABC22

当∠A=55°，b=20cm,c=30cm时，有

3、练习：

11

SABCbcsinA2030sin5522120300.81922245.843，解此直角三角(1)在RT△ABC中，∠C=90°,AC=6, ∠BAC的平分线AD= 形。

(2)如图,根据图中已知数据,求△ABC

4cm

其余各边的长,各角的度数和△ABC 的面积

(3)如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和 △ABC的面积. 4、小结：

B B 450

A

300 C

A

30° 45° 4cm C

D

本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础。 5、作业：

课本108页 练习1、2、3

24.3 解直角三角形及其应用

第二课时

教学目标：

1、了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义。

2、将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。 教学重难点:

1、重点：将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念。 2、难点：实际情景和平面图形之间的转化。 教学过程： 1、复习回顾：

＊直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°. ＊直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数

＊互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB. ＊同角之间的三角函数关系:

tanAsinA.cosAccB

c A cos2Asin2B1a

C

b

＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

2、探究新课：

例如，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).  你能完成这个任务吗?  请与同伴交流你是怎么想的?  准备怎么去做?

这个图形与前面的图形相同,因此解答如下: 解:如图,根据题意可知,∠A=30°, ∠DBC=60°,AB=50m.求CD的长 设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,

tanADCD

ACBC,tanBDC,xx ACxtan60,BCxtan30,300

A

3325343m.600

B

C xtan600xtan30050.

x50m

50tan600tan300503答:该塔约有43m高.

老师提示:解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。

在进行高度测量时，视线与水平线所成角中，当视线在水平线上方时叫做仰角，当视线在水平线下方时叫做俯角

3、例题：

某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确

到0.01m).

这个问题我们也应该数学化，根据题意可以画图为： 解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m. (1)AB-BD的长,(2)AD的长. sin400BC,BD

0 BCBDsin40.

sin350BC,ABB

4m

35°40°

A D C 0 ABBCBDsin4540.64284.48m.00sin35sin350.5736

ABBD4.4840.48m.

答:调整后的楼梯会加长约0.48m.

（AD的长度请学生们共同讨论并计算，答案： AD0.61m）

4、练习：

（1）有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).

（2）书本109页 练习：1、2、3

5、小结：

本节课学习了解决实际问题的重要方法：实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。并且了解了仰角，俯角的概念。

6、作业：

24.3 解直角三角形及其应用

第三课时

教学目标：

1、航海方位角的概念，并学会画航行方位图，将航海问题转化成数学问题。 2、通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景，从而培养空间想象力。 教学重难点：

1、重点：学会画航行的方位图，将航海问题转化成数学问题。 2、难点：将航海的实际情景用航行方位图表现出来。新 课 标第 一网 教学过程： 1、复习回顾

如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面 成40°角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固 另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.01m).

解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°，EC=2m,DB=5m.求DE的长.

tan400BC,BCBDtan400.BDE 2m C

BEBC2BDtan40026.1955(m).BE5tan4002tanBDE1.24. BD5∴∠BDE≈51.12°.

DB

cos51.120,DE

40°

D 5m

B

DEDB57.97m.0cos51.120.6277答:钢缆ED的长度约为7.97m.

2、探究新课：

如图,海中有一个小岛A,该岛四周 10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航 行,开始在A岛南偏西550的B处,往东

北 东 A B C D

行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.  你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图: 请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?

解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°∠CAD=25°BC= 20海里.设AD=x,则

BDCD

tan550,tan250,xx

BDxtan55,CDxtan25.00北 东 A xtan550xtan25020. x202020.67海里.00tan55tan251.42810.4663

B C D 答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.

3、例题：

如图：东西两炮台A、B相距2000米， 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在 它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰

C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离. （精确到1米） 解 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50°， BCtanCABAC

∴BC＝AB•tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384(米).

ABcos50又∵ AC ，

AB20003111∴AC＝

cos50cos50

答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 4、练习：

课本111页 练习1、2

5、小结:

本节课我们学习了航海方位角的概念，并学会根据航海实际情景来画航行方位图，将航海问题转化成数学问题来解决。 6、作业：

课本113页 3、5、8

24.3 解直角三角形及其应用

第四课时

教学目标：

1、加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。 2、能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。 教学重难点：

1、重点：对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决。 2、难点：对坡度、坡角、坡面概念的理解。 教学过程： 1、复习回顾：

修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作

hi ,即i = . l坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，

h有i＝ = tan a 。

l 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡

2、探究新课：

如图，铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，路基上底宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡的坡度为1：1.6.求路基的下底宽（精确到0.1）与斜坡的坡角。

BE1解： BE5.8,

AE1.6i=1：1.6 B 9.8

AE

C

8m D

AE1.65.89.28mAD2AEBC29.289.828.6m tani1,得1.6

32

因而，铁路路基下底宽约为28.4，坡角约为32°. 3、例题：

如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°

 1)求坡角∠ABC的大小;

 (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).

解:如图，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F. 1） 则ECDEDCtan45042,

AFDE42,BF3042.

A6m

tanABCAF420.2324.BF3042D 135°

8m

C

∴∠ABC≈13°. 答:坡角∠ABC约为13°.

2） 由梯形面积公式S

B F30m E

ADBCAF得,2S3642722.2 V100S10072210182.34m3.

答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3. 4、练习：

如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mm).

5、小结：

本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。 6：作业：

课本113页 6

2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).

3、如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,

A D B C

求:(1)原背水坡的坡角 宽后的背水坡的坡角 ;  (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01) C

1:2.5

1:2 A B

D

E F