数学建模论文

一个基于长方形铁片做容器最大解的问题

在我们的实际生活中，往往会遇到一些要求我们利用一些简单的平面器材做成一些实用的立体容器。而当面积一定的时候，如何将容器的容量做的更大或是要做的容器容量一定如何更省材料等等这些节约资源的做法自然是值得我们去研究和探讨的！那么以下我们将用数学中常用的建模方法来对这类问题进行分析和求证，得到最优解以便我们在今后生活中更加灵活的应用！

首先，我们建立这样一个模型。设有这样的一个长方形，底为L、高为H（L≥H）。现在要将它设计成一个规则的立方体，所谓规则是指我们目前为止所学过或所接触过的一些常见立方体。如：正方体、长方体、圆柱、圆锥等等等等。其中圆锥的设计应该更加的灵活和多边，因为一个完整的规则的圆锥在实际生活中应用难度大。

其次，我们将对这些考虑设计的立方体进行分组，上面说到的每种立方体个一组，依次为方案一、二、三、四。而且要充分考虑剪下的废旧材料是否可以继续进行粘黏使用（说明：此处所说粘黏不包括正方体长方体的必需粘黏和圆柱体圆锥体的底剪下粘黏），能则为方法1，否为方法2。最后还要考虑是否用上面（即实际生活应用中的盖子），如不需要则定为第①种，否则就是第②种。再分别求出体积的最大值，即求出每组的最优解并让所有的方案进行比较。

最后，给出表格、供用户参考选择。 下面我们就对各种方案进行分析比较： 方案一：设计一个正方体

分析：要设计一个正方体，最重要的就是保证立方体的长宽高都相等，而将一个无盖正方体展开如下图，图中很明显，１、图中所有正方形边长都相等；２.ｃｈ＝ｇｄ＝ａｆ＝ｂｅ．因为Ｖ＝Ｘ１＾３，故其中求解目标为Ｘ１，Ｘ１最大，则Ｖ最大。

方法１：剪下材料可粘黏使用

① 无需顶盖；由上分析可知以下信息，无盖正方体展开面积Ｓ１＝５×Ｘ１＾２

显而易见只有当Ｓ１＝Ｓ时Ｘ１最大，此时Ｘ１＝√（ＬＨ／５）、Ｖ１Ｍａｘ＝（ＬＨ／５）＾（３／２） ② 需要顶盖；分析如①易知V2Max＝（LH/6）^（3/2） 方法２：剪下材料不可用

① 无需顶盖；由统筹分析给出的第２个信息量易知，要做这样的一个正方体，首先

需要一个正方形。且Ｘ１＝正方形边长／３.所以，要求Ｘ１最大，只需求正方

形最大。很明显，当把这个高为Ｈ、底为Ｌ且L≥H的长方形剪成一个边长为Ｈ的正方形时，边长最大。此时Ｘ１＝H/3，V3Ｍax＝（H/3）＾３ ② 需要顶盖；由下图易知当剪下合适的图形时ch=4/3af=4X1时，即可做成一个有

顶盖正方体容器。故当L≥4/3H时，易知当X1=H/3时可使的X1最大。此时V4Max=(H/3)^3。而当L＜4/3H时，易知当X1=L/4时最满足题意，即X1最大。此时V4Max’=(L/4)^3

方案二：设计一个长方形

分析：要设计一个长方形，要抓住的最重要的条件就是长方形的每对对面都是完全一样的！故如下图中的中的1、◇HILg≌◇JKcd ;2、◇abIJ≌◇LKfe ;3、◇IJKL≌◇cdmn。

又V=XYZ,而又2X+2Z≤L且Y+2Z≤H，所以做成长方体最大的好处就是无论是无材料浪费，因为只有当2X+2Z=L且Y+2Z=H时长方体体积V最大，故也就无需考虑方法一方法二的区别！

方法一：剪下材料可粘黏使用

① 无需顶盖；此种情况时，使得X+2Z=L,Y+2Z=H时V最大，此时V可用一个关

于Z的表达式表示即V=Z(L-2Z)(H-2Z)=1/2*2Z(L-2Z)(H-2Z)≤1/2*（

）^2(H-2Z)

方案三：设计一个圆柱

分析：如下图一个圆柱展开如下。在这个圆柱体中，高为AC底的周长为AB。所以圆柱

体积V=3.1415*(

)^2*AC。假设底盖也可以不要，那么毫无疑问就是当AB=L、AC=H

时圆柱体积最大。而后面就分情况而论吧！

方法一：剪下材料可粘黏使用

①无需上底；因为圆柱体的总面积S=2r^2+2rh