不定积分公式

§1、不定积分的概念与性质

1、 原函数与不定积分

定义1:若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。

① 连续函数一定有原函数；

② 若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)C也为f(x)的原函数；

事实上，

F(x)C'F'(x)③ f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。

f(x)

事实上，由

F1(x)F1(x)'F1'(x)F2'(x)，得F1(x)F2(x)C

f(x)f(x)0

故F(x)C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。

定义2：f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为数，x积分变量。

f(x)dx，积分号，f(x)被积函

显然f(x)dxF(x)C

①kdxkxC

②

11xCxdx1lnxC11

2、 基本积分表(共24个基本积分公式）

3、 不定积分的性质

①

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

②

kf(x)dxkf(x)dx⑤

(k0)

2

cscxcscxcotxdxcsc⑥

2xdxcscxcotxdxcotxcscxC

dxsin2xcos2x22sin2xcos2xsin2xcos2xdxcscxdxsecxdxcotxtanxC

⑦

cot2xdxcsc2x1dxcotxxC

§2、不定积分的换元法

一、 第一类换元法（凑微分法)

1、

11faxbdaxb,即dxdaxbaa

例1、求不定积分

faxbdx①

111sin5xd5x5xusinuducos(5x)C555

sin5xdx②

3

117712xdx12xd(12x)2112x71C112x8C27116

③

dx1dxa1xarctanCa2x2a1xa2aa(20)

④

dxa1xa22、

dxax22xarcsinCa(23)

例2、求不定积分

fxnxn1dx1fxndxn,即xn1dxdxnn

①

12x1xdx1x22d1x1221111x22211121C1x2332C

②

1x31x33edxeC33

2xxedx3 4

③

11111cosdxcosdsinCx2xxxx11dxdx2x ④

3、

cosxxdx2cosxdx2sinxC1dx2dxx

1dxdlnx,exdxdex,sinxdxdcosx,cosxdxdsinx,sec2xdxdtanx,x

1dxdarctanx,21x11x2secxtanxdxdsecx,xa2x2dxdarcsinx,dxda2x2,

①

sinxdcosxdxlncosxClnsecxCcosxcosxtanxdx②

(16)

cotxdxcosxdsinxdxlnsinxClncosxCsinxsinx(17)

5

③

secxdxsecxsecxtanxsecxtanxdxdsecxtanxsecxtanxlnsecxtanxC④

cscxdxcscxcscxcotxcscxcotxdxdcscxcotxcscxcotxlncscxcotxC⑤

1dxlnxdxlnxlnxlnlnxC

⑥

dxdtanx1cos2x1tanxtanx1lntanx1C

⑦

exdxd1ex1ex1exln1exC

⑧

dx1exex1ex1exxln1exC

6

(18)

(19)

⑨

exdexx1e2xdx1ex2arctaneC

⑩

x1x2例4、求不定积分

e1x2dxe1x2d1x2e1x2C

①

dx1111d(xa)d(xa)dxx2a22axaxa2axaxa

1xalnC2axa(21)(22)

②

x2x2x21x3x3dxdx1dx1x21x21x2

1dx21dx12x23xln1x3arctanxC22x121x

③

7

x412x261dx22x5dxdxdx3x22x5x1242x22x52x22x5

13x1lnx22x5arctanC222

④

1cos2x11111dxxcos2xd2xxsin2xC222224

2sinxdx⑤

111sin8xsin2xdxcos8xcos2xC2164

sin5xcos3xdx⑥

cotxcosxdxdsinxdlnsinxdxlnsinxsinlnsinxsinxlnsinxlnsinxlnlnsinxC

⑦

dx1sinxdcosx12dxsecxdxtanxC1sinxcos2xcos2xcosx

⑧

dxdx1cscxdxcosxsinx2sinx4244

8

1lncscxcotxC442

二、 第二类换元法

1、三角代换

例1、a2x2dx

解：令xasint(或acost)，则

a2x2acost,dxacostdt

原式=

1cos2ta21acostacostdtadtdtcos2td2t222

2a2a2a2xa2xa2x2tsin2tCarcsin2C242a4aa

12x1aarcsinxa2x2C2a2

例2、

dxa2x2dxa1xa2xarcsinCa

9

解：令xasint

原式=

acostdtxdttCarcsinCacosta

dxa2x2

例3、

解：令xatant(或acott)，则

a2x2asect,dxasec2tdt

原式=

x2a2xasec2tdtCasectsectdtlnsecttantClnaa

lnxx2a2C(24)

例4、

xdxx24

解：令xatant(或acott)，则

x242sect,dx2sec2tdt

10

原式=

x2a2xasec2tdtCasectsectdtlnsecttantClnaa dxx2a2

例5、

解：令xasect(或acsct)，则

x2a2atant,dxasecttantdt

原式=

xasecttantdtatantsectdtlnsecttantClnax2a2ac

lnxx2a2C(25)

例6、

x29dxx

解：令xasect,则

x293tant,dx3secttantdt

11

原式=

3tant223secttantdt3tantdt3sec3sectt13tanttC

x29333arccosCx293arccosC3xx

a2x2xasint22xaxatant22xasectxaf(x)小结：中含有可考虑用代换

2、无理代换

dx3例7、

1x1

解:令

3x1t,则xt31,dx3t2dt

原式=

t23t2dtt21113dt3t1dt3tln1tC1t1t1t2

33x1233x13ln13x1C2

 12

例8、

x13x

dx解：令

6xt,则xt6,dx6t5dt

原式=

6t5dtt216dt61dt6tarctantCt31t21t21t2

66xarctan6xC

11xxxdx例9、

解：令

1x12tdtt,则x2,dx2xt1t21

原式=

2tdtt1tt21222t11t12dt21dt2tlnC2t21t12t1

13

21x1xxlnCx1xx

例10、

dx1ex

解：令

2tdtt21

1ext,则xlnt21,dx原式

12tdt1t11ex12dt222lnClnCxtt12t1t11e1

4、 倒代换

dxxx64例11、

解：令

11t7dtx,则6,dxtxx114t6t2

原式

t6dt1d4t6111x66ln4t1Cln6C66242424x414t4t1

 14

11lnxlnx64C424

§3、分部积分法

分部积分公式：

，故

例1、xcosxdx

例2、xexdx

例3、lnxdx

UVUVUV,UVUVUV

UVdxUVdxUVdx

UdVUVVdU

(前后相乘）（前后交换）

xdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxCxdexxexexdxxexexC

15

1xlnxxdlnxxlnxxdxxlnxxCx

tlnxt,xe或解:令

原式

tdettetetdttetetCxlnxxC

例4、arcsinxdx

x1x2xarcsinxxdarcsinxxarcsinxdx1d1x2xarcsinxxarcsinx1x2C21x2

或解：令arcsinxt,xsint

原式

tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinx1x2C

例5、

xesinxdx

sinxdexexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexcosxexdcosxexsinxcosxexsinxdx

故

16

xesinxdx1xesinxcosxC2

xdx2例6、cosx

xdtanxxtanxtanxdxxtanxlnsecxClnx例7、

1x2dx

xlnxxlnx1xx1x221x1x22x1xdxxlnx1x2x1x2dx1x2C

§4、两种典型积分

一、有理函数的积分

有理函数

P(x)anxnan1xn1a1xa0R(x)Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0

可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

x3x3dx22x5x6x5x6例1、将化为部分分式，并计算

解：

17

故

或解：

例2、

x3x25x6x3x2x3Ax2Bx3ABx3A2Bx2x3 AB13A2BA53B6

x3x25x6dx5dxdxx26x35ln(x2)6ln(x3)CI12x5111dx25x611dx2x25x6dx2x25x62x25x6

12lnx25x61121x31x2dx

111x32lnx25x62lnx2C

dxx(x1)2x1xx(x1)2dx11x(x1)(x1)2dx

18

111x1dxlnCx1x(x1)2x1x1

例3、

111dx12x2x11xxdxxCdxarctanx41211222x2x2xx

例4、

dx1x41211112222x1x11xdxxdxdx41221x12xxx2x2 1111dxdxxx21xx11x1lnxC2arctan2222222x121x12x2xxx

1x211x212xarctanCln2222x2x12x

二、三角函数有理式的积分

IRsinx,cosxdx对三角函数有理式积分,令

xutan,则x2arctanu2

19

，

2u1u22sinx,cosx,dxdu1u21u21u2

，故

2u1u22IR1u2,1u21u2du

，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。

dx例5、35cosx

解：令

xutan,则x2arctanu2

，

1u22cosx,dxdu1u21u2

原式

x12du12u12CdulnCln222x222u41u1u4u2tan3521u2

2tan

20

dx例6、2sinxcosx5

解：令

xutan,则x2arctanu2

，

2u1u22sinx,cosx,dxdu2221u1u1u

原式

12dudu3u22u22u1u21u225221u1u

11xduu3arctan111333C1arctan2arctanC233555515u339

1sinxdx例7、1cosx

2u21u22du1u2udu1u21u2u2(u21)11u2 1 21

121u1du2du2u2u(1u2)uu1u 1xx2lnuln1u2Ccot2lnsinCu22

 22