2015年湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试数学试题

2015年湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试

试数学试题

欢迎你参加考试！做题时要认真审题，积极思考，细心答题，充分发挥你的水平

(时量： 60分钟；满分：100分 注意合理分配时间 )20110809

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）

１、平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m个，最少有n个，则m－n=（ ） A．7 B．5 C．4 D．3

2、若（x－1）2的算术平方根是x－1，则x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1

3、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（ ） A．1

B． 2

C

E B A

2015年长郡中学初一实验班分班考

7C．

43D．

26 8 （第3题）

4、下列五个命题：

（1）若直角三角形的两条边长为3和4，则第三边长是5；

D

（2）a＝a（a≥0）；

＇

（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（－a，－b＋1）在第一象限； （4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。 其中正确命题的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5、已知抛物线yxbxc的系数满足2bc5，则这条抛物线一定经过点（ ) A．(2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(2,1) 6、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ） A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组 二.填空题：(每题5分，共30分)

7、观察分析下列数据，寻找规律：已知一列实数１、5、3、13、17、……，则第n个数是__________； 8、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ） 9、如图，在RtABC中，D为斜边AB上一点，AD＝5，BD＝4，四边形CEDF为正方形，则图中阴影部分的面积为 ；

第8题图 第9题图

第10题图

10、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为

2211、若不论x取何值时，分式

1总有意义，则m的取值范围是_________ 2x2xm312、以O为圆心的两个同心圆的半径分别为32cm和32cm，⊙O1与这两个圆都相切，

则⊙O1的半径是 （仔细想想）

三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）

13、某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表： 成本（万元/套） 售价（万元/套） A 25 30 B 28 34 22（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？

14、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后该轮胎报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后该轮胎报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶多少千米？（假设每个轮胎报废时总磨损量为k时，轮胎报废）

15、如图，已知抛物线与x轴交于A(－4，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)，矩形DEFG的一条边DG在线段AB上，顶点E、F分别在线段AC、BC上． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并写出m的取值范围； （3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接GE并延长至点M，使ME＝k·GE，若点M不在抛物线上，求k的取值范围．

y

D G

x A O B F E C

参考答案及评分标准： 一．选择题：（每题6分，共36分）

1-6：BDC, CAC

二．填空题：（每题5分，共30分）

5+1

7、4n3 8、 9、10

2

10、16 11. m>4 12. 5或26

三、解答题：（13、14每题11分，15题12分，共34分） 13 解：（1） 设A种型号的仪器造x套,则B种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:209025x2880x2096

解之得:48x50

所以 x=48、49、50 三种方案：

即：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套。………………4分 （2）该厂制造利润W（万元）由题意知：W5x680x480x 所以当x=48时，W最大＝432 （万元），

即：A型48套，B型32套获得利润最大；…………………………7分

（3）由题意知W5ax680x480a1x ………………8分 所以：① 当0a1时，x=48，W最大，即A型48套，B型32套；…………………9分

② 当a1时，a10三种制造方案获得利润相等；…………………………10分 ③ 当a1时，x=50，W最大，即A型50套，B型30套…………………………11分

k14、解 设每个轮胎报废时总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为 ，安装在后轮的

5000k

轮胎每行驶1km的磨损量为 ，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，分别以一

3000

kykxkk（xy）k（xy）50003000；两式相加得2k 个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有50003000kykxk50003000则x+y=3750 ∴这辆自行车将能行驶3750千米

15、解：（1）由题意，可设抛物线的函数关系式为y＝a(x－2)(x＋4) ······················ 1分

把C(0，－4)代入，得

1． ···················································· 2分 21∴抛物线的函数关系式为y＝(x－2)(x＋4)

212

即y＝x＋x－4． ······································································ 3分

2－4＝a(0－2)(0＋4)，∴a＝

（2）由题意，

又

ADDE，又AO＝OC＝4，AD＝4＋m，∴DE＝4＋m． ······· 4分 ＝

AOOCBGGFm，BO＝2，GF＝DE，∴BG＝2＋． ···························· 5分 ＝

BOOC2m)] 2∴DG＝(AO＋BO)－(AD＋BG)

＝(4＋2)－[(4＋m)＋(2＋＝－

3············································································ 6分 m ·2332m·(4＋m)＝－m－6m（－4＜m＜0） ················· 7分 22

∴S＝DG·DE＝－（3）∵S＝－

2323m－6m＝－(m＋2)＋6 22∴当m＝－2时，矩形的面积最大，此时E(－2，－2)，G(1，－2)． ····· 8分 设直线EG的解析式为y＝kx＋b，易求得k＝∴y＝令

22，b＝－． 3322x－． ······················································· 9分 33

y 22212

x－＝x＋x－4，整理得3x＋2x－20＝0． 332H D A E N O G B F C x 解得x1＝

－1＋61－1－61＞0（舍去），x2＝． ··········· 10分 33－1－61设射线GE与抛物线相交于点N，则点N的横坐标为． 3过N作x轴的垂线交x轴于H，则

NEHD＝＝DGGE－2－－1－61－5＋613 ········································· 11分 ＝

93－5＋61． 9∴若点M不在抛物线上，即点M不与N重合时，k的取值范围是k＞0且k≠

············································································· 12分