2021-2022学年浙江省宁波七中教育集团七年级（下）期中数学
试卷
1. 2022年，中国举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”
可以得到的图形是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( ) A. 𝑎3+𝑎4=𝑎7 B. (−2𝑎2)2=−2𝑎4 C. 𝑎5÷𝑎2=𝑎3 D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6
3. 下列各式中是二元一次方程的是( ) A. 3𝑥−6=𝑥 B. 𝑥=5
𝑦−1 C. 2𝑥−3𝑦=𝑥2 D. 3𝑥=2𝑦
4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A. 𝑥2+2𝑥−1=𝑥(𝑥+2)−1 B. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2 C. 𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2 D. 𝑎𝑥2−𝑎=𝑎(𝑥2−1)
5. 如图，已知直线𝑎//𝑏.直角三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点𝐶在直线𝑏上，若∠1=50°，则∠2=( )第1页，共19页
A. 40° B. 60° C. 55° D. 50°
6. 下列选项中，说法错误的是( )
A. 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 B. 两直线平行，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 经过直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行
𝑦的二元一次方程组{的解也是二元一次方程2𝑥+3𝑦=6的解，则𝑘的7. 若关于𝑥，
𝑥−𝑦=9𝑘值为( )
𝑥+𝑦=5𝑘
A. −4
3
B. 4
3
C. 3
4
D. −3
4
8. 某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材
生产一批桌椅(不考虑板材的损耗)，设用𝑥块板材做桌子，用𝑦块板材做椅子，使得恰好配套(一张桌子两把椅子)，则下列方程组正确的是( )
A. {𝑥=3𝑦
𝑥+𝑦=100
B. {3𝑥=𝑦
1
𝑥+𝑦=100
C. {2𝑥=3𝑦
𝑥+𝑦=100
D. {𝑥=6𝑦
𝑥+𝑦=100
9. 已知2𝑎=5，16𝑏=10，则(𝑎+4𝑏+1)3的值是( ) A. −1
B. 0
C. 2
1
D. 1
10. 如图，有三张正方形纸片𝐴，𝐵，𝐶，它们的边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，将三张纸片按图1，图
2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为𝑙1，面积为𝑆1，图2中阴影部分周长为𝑙2，面积为𝑆2.若𝑆2−𝑆1=(12)2，则𝑏：𝑐的值为( )
2
𝑙−𝑙
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A. 2
3
B. 2
C. 2
5
D. 3
11. 目前世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的
无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为______．
12. 因式分解：𝑥2−9=______．
13. 如果(2𝑥+𝑚)(𝑥−5)展开后的结果中不含𝑥的一次项，那么𝑚=______． 14. 已知𝑎+𝑏=2，𝑎𝑏=1，则𝑎2𝑏+𝑎𝑏2的值为______．
15. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐹=50°，∠𝐶𝐷𝐹=60°，则
∠𝐵𝐸𝐷=______．
16. 如果有一个角的两边和另一个角的两边分别平行，其中一个角为(𝑥+10)°，两一个角为
(2𝑥−40)°，则这两个角的度数为______．
17. (𝑥+1)2𝑥−1=1，则𝑥=______．
18. 二元一次方程组{𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝的解为{𝑦=2，则{𝑚(𝑥+𝑦)+2𝑚𝑦=5𝑝的解为______．
𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑥=1
𝑎(𝑥+𝑦)+2𝑏𝑦=5𝑐
19. 计算：
(1)−12015+(3)−2−(𝜋−√2)0；
(2)(2𝑚2+6𝑚2𝑛−𝑚3)÷(−2𝑚2).
1
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20. 解下列方程组：
𝑥=5−2𝑦(1){；
3𝑥−4𝑦=5𝑥−3(𝑦−1)=3(2){𝑥𝑦−1．
+=123
21. 先化简再求值：(3𝑥+2)(3𝑥−2)−5𝑥(𝑥−1)−(2𝑥−1)2，其中𝑥=9． 22. 如图，在所给的网格图(每个小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题：
(1)作出三角形𝐴𝐵𝐶向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形𝐴1𝐵1𝐶1； (2)求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
1
我市某小区准备用3600元购买医用口罩和洗手液发放给本23. 为了防治“新型冠状病毒”，
小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还剩余200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)小王到药店购买小区同款医用口罩和洗手液，两样都买，共花了100元，有哪几种购买方案？
24. 因为𝑥2+2𝑥−3=(𝑥+3)(𝑥−1)，这说明多项式𝑥2+2𝑥−3有一个因式为𝑥−1，我们
把𝑥=1代入此多项式发现𝑥=1能使多项式𝑥2+2𝑥−3的值为0． 利用上述阅读材料求解：
(1)若(𝑥+3)是多项式𝑥2+𝑘𝑥+12的一个因式，求𝑘的值；
(2)若(𝑥−3)和(𝑥−4)是多项式𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛的两个因式，试求𝑚，𝑛的值． (3)在(2)的条件下，把多项式𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛因式分解．
25. 如图，已知𝐴𝑀//𝐵𝑁，点𝑃是射线𝐴𝑀上一动点(与点𝐴不重合)，𝐵𝐶、𝐵𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝑃
和∠𝑃𝐵𝑁，分别交射线𝐴𝑀于点𝐶，𝐷．
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(1)①当∠𝐴=50°时，∠𝐴𝐵𝑁的度数是______ ； ②∵𝐴𝑀//𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠ ______ ；
(2)当∠𝐴=𝑥°，求∠𝐶𝐵𝐷的度数(用𝑥的代数式表示)；
(3)当点𝑃运动时，∠𝐴𝐷𝐵与∠𝐴𝑃𝐵的度数之比是否随点𝑃的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
(4)当点𝑃运动到使∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐷时，请直接写出2∠𝐷𝐵𝑁+∠𝐴的度数．
2
1
26. 已知𝑥为自然数，且𝑥+11与𝑥−72都是一个自然数的平方，则𝑥的值为______． 27. 我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．如完全平方公式可以用图
1的面积表示．
(1)根据图2写出一个代数恒等式______；
(2)其实图形的面积也可以解释不等式的正确性．如已知正数𝑎、𝑏、𝑐和𝑚、𝑛、𝑙，并且满足𝑎+𝑚=𝑏+𝑛=𝑐+𝑙=𝑘.试构造边长为𝑘的正方形，利用其来说明𝑎𝑙+𝑏𝑚+𝑐𝑛<𝑘2的正确性．请你画出图形，并简单解释．
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】【解析】
解：根据平移的性质，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是
．
故选：𝐵．
根据平移的性质进行判断．
本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同、各个部分的方向不会变．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、𝑎3+𝑎4，无法计算，故此选项错误； B、(−2𝑎2)2=4𝑎4，故此选项错误； C、𝑎5÷𝑎2=𝑎3，故此选项正确； D、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项错误； 故选：𝐶．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.是一元一次方程，故A不符合题意； B.不是整式方程，故B不合题意；
C.含有两个未知数，但未知数𝑥的最高次数是2，故C不符合题意； D.是二元一次方程，故D符合题意； 故选：𝐷．
根据二元一次方程的定义求解即可．
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(1)方程中只含有2个本题考查了二元一次方程的定义，注意二元一次方程必须符合以下三个条件：未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
4.【答案】𝐶
【解析】 【分析】
本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解的意义即因式分解后右边是整式积的形式，且每一个因式都要分解彻底．
根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案． 【解答】
解：𝐴、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、符合因式分解的定义，故本选项正确；
D、右边分解不彻底，不是因式分解，故本选项错误； 故选：𝐶．
5.【答案】𝐴
【解析】解：∵直线𝑎//𝑏，∠1=50°， ∴∠3=50°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠2=∠𝐴𝐶𝐵−∠3=90°−50°=40°． 故选：𝐴．
根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据∠2=∠𝐴𝐶𝐵−∠3即可得出答案． 此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解题的关键．
6.【答案】𝐶
【解析】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线， 故A正确，不符合题意； 两直线平行，同位角相等， 故B正确，不符合题意；
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在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行， 故C错误，符合题意；
经过直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行， 故D正确，不符合题意； 故选：𝐶．
根据平行线的判定与性质、平行公理及推论求解判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．
7.【答案】𝐵
【解析】解：{
𝑥+𝑦=5𝑘 ①
，
𝑥−𝑦=9𝑘 ②
①+②得：2𝑥=14𝑘，即𝑥=7𝑘，
将𝑥=7𝑘代入①得：7𝑘+𝑦=5𝑘，即𝑦=−2𝑘， 将𝑥=7𝑘，𝑦=−2𝑘代入2𝑥+3𝑦=6得：14𝑘−6𝑘=6， 解得：𝑘=． 故选：𝐵．
将𝑘看做已知数求出𝑥与𝑦，代入2𝑥+3𝑦=6中计算即可得到𝑘的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
34
8.【答案】𝐶
【解析】解：设用𝑥块板材做桌子，用𝑦块板材做椅子， ∵用100块这种板材生产一批桌椅， ∴𝑥+𝑦=100 ①，
生产了𝑥张桌子，3𝑦把椅子， ∵使得恰好配套，一张桌子两把椅子， ∴2𝑥=3𝑦 ②， ①和②联立得：
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𝑥+𝑦=100{， 2𝑥=3𝑦故选：𝐶．
设用𝑥块板材做桌子，用𝑦块板材做椅子，根据“用100块这种板材生产一批桌椅”，即可列出一个二元一次方程，根据“每块板材可做桌子1张或椅子3把，使得恰好配套，一张桌子两把椅子”，列出另一个二元一次方程，即可得到答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】𝐵
【解析】解：∵2𝑎=5，16𝑏=∴2𝑎×16𝑏=5×10， ∴2𝑎×24𝑏=， ∴2𝑎+4𝑏=2−1， ∴𝑎+4𝑏=−1，
∴(𝑎+4𝑏+1)3=(−1+1)3=0， 故选：𝐵．
由2𝑎=5，16𝑏=，得出𝑎+4𝑏=−1，代入(𝑎+4𝑏+1)3进行计算，即可得出答案．
10本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
1121
1
， 10
10.【答案】𝐷
【解析】解：设大长方形的宽短边长为𝑑， ∴由图2知，𝑑=𝑏−𝑐+𝑎，
∴𝑙1=2(𝑎+𝑏+𝑐)+(𝑑−𝑎)+(𝑑−𝑐)+(𝑎−𝑏)+(𝑏−𝑐)=2𝑎+2𝑏+2𝑑， 𝑆1=𝑑(𝑎+𝑏+𝑐)−𝑎2−𝑏2−𝑐2，
𝑙2=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑎+𝑐+(𝑎−𝑏)+(𝑏−𝑐)=3𝑎+𝑏+𝑐+𝑑， 𝑆2=𝑑(𝑎+𝑏+𝑐)−𝑎2−𝑏2+𝑏𝑐， ∴𝑆2−𝑆1=𝑏𝑐+𝑐2， 𝑙1−𝑙2=𝑏−𝑐−𝑎+𝑑，
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∴𝑏𝑐+𝑐2=(
𝑏−𝑐−𝑎+𝑑2
)， 2∴𝑏𝑐+𝑐2=(𝑏−𝑐)2， ∴3𝑏𝑐=𝑏2， ∴𝑏=3𝑐， ∴𝑏：𝑐的值为3， 故选：𝐷．
根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为𝑑，表示出𝑆2，𝑆1，𝑙1，𝑙2，再代入𝑆2−𝑆1=(12)2
2即可求解．
本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
𝑙−𝑙
11.【答案】7.6×10−8
【解析】解：0.000000076=7.6×10−8． 故答案为：7.6×10−8．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】(𝑥+3)(𝑥−3)
【解析】 【分析】
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式分解即可． 【解答】
解：原式=(𝑥+3)(𝑥−3)， 故答案为：(𝑥+3)(𝑥−3)．
13.【答案】10
【解析】
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【分析】
此题考查了多项式乘多项式有关知识，原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含𝑥的一次项，即可确定出𝑚的值． 【解答】
解：(2𝑥+𝑚)(𝑥−5)=2𝑥2−10𝑥+𝑚𝑥−5𝑚=2𝑥2+(𝑚−10)𝑥−5𝑚， ∵结果中不含有𝑥的一次项， ∴𝑚−10=0，解得𝑚=10． 故答案为10．
14.【答案】2
【解析】解：∵𝑎+𝑏=2，𝑎𝑏=1， ∴𝑎2𝑏+𝑎𝑏2=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)=2． 故答案为：2
所求式子提取公因式化为积的形式，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
15.【答案】140°
【解析】解：过点𝐸作直线𝑀𝐸//𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐸𝐵𝐹，∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐸𝐷𝐹， 又∵𝑀𝐸//𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝑀+2∠𝐴𝐵𝐹=180°，∠𝑀𝐸𝐷+2∠𝐶𝐷𝐹=180°，
∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝑀+∠𝑀𝐸𝐷=180°−2×50°+180°−2×60°=140°， 故答案为：140°．
过点𝐸作𝑀𝐸//𝐴𝐵//𝐶𝐷，根据角平分线及平行线的性质，可得∠𝐵𝐸𝑀+2∠𝐴𝐵𝐹=180°，∠𝑀𝐸𝐷+2∠𝐶𝐷𝐹=180°，进而解答即可．
本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行内错角相等，角平分
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线的性质，四边形的内角和为360°．
16.【答案】60°和60°或80°和40°
【解析】解：∵两个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补，
则𝑥+10=2𝑥−40或𝑥+10+2𝑥−40=180， 解得𝑥=50或𝑥=70，
∴这两个角的度数分别为：60°和60°或80°和40°． 故答案为：60°和60°或80°和40°．
由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，据此列方程，解方程即可求得这两个角的度数．
此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
17.【答案】0或2 2𝑥−1=0，𝑥+1≠0，【解析】解：根据任何不为0的零次幂都等于1可得，解得𝑥=，而𝑥=时，22因此𝑥=符合题意；
2
由1的任何次幂都等于1可得，𝑥+1=1，解得𝑥=0，因此𝑥=0符合题意；
2𝑥−1=−5不是偶数，由−1的偶次幂等于1可得𝑥+1=−1，解得𝑥=−2，当𝑥=−2时，因此𝑥=−2不符合题意； 综上所述𝑥=0或𝑥=， 故答案为：0或．
根据任何不为0的零次幂都等于1，1的任何次幂都等于1，−1的偶次幂等于1分别进行计算即可． 1的任何次幂都等于1，本题考查零指数幂以及有理数的乘方，理解“任何不为0的零次幂都等于1，−1的偶次幂等于1”是解决问题的关键．
1
2
121
1
1
1
18.【答案】{𝑦=5
𝑥=0
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+=𝑐𝑎(𝑥+𝑦)+2𝑏𝑦=5𝑐55【解析】解：我们将方程组{，变形为{𝑚(𝑥+𝑦)2𝑚𝑦，
𝑚(𝑥+𝑦)+2𝑚𝑦=5𝑝+=𝑝
55𝑎(𝑥+𝑦)2𝑏𝑦
𝑥=1𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
∵二元一次方程组{的解为{，
𝑦=2𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝
𝑥+𝑦𝑎(𝑥+𝑦)2𝑏𝑦
=1+=𝑐555∴方程组{𝑚(𝑥+𝑦)2𝑚𝑦，有{2𝑦，
=2+5=𝑝55𝑥+𝑦
=1 𝑥=05{解方程组2𝑦得{，
𝑦=5=2
5
𝑎(𝑥+𝑦)+2𝑏𝑦=5𝑐 𝑥=0
∴方程组{的解为{．
𝑦=5𝑚(𝑥+𝑦)+2𝑚𝑦=5𝑝
𝑎(𝑥+𝑦)2𝑏𝑦
+=𝑐𝑎(𝑥+𝑦)+2𝑏𝑦=5𝑐55可以用整体法求解．我们将方程组{，变形为{𝑚(𝑥+𝑦)2𝑚𝑦，因为二元
𝑚(𝑥+𝑦)+2𝑚𝑦=5𝑝+=𝑝
55
𝑥=𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
一次方程组{的解为{
𝑦=𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝
𝑥+𝑦𝑎(𝑥+𝑦)2𝑏𝑦
=1+=𝑐1555，所以方程组{𝑚(𝑥+𝑦)2𝑚𝑦，有{2𝑦，进而可求2=2+5=𝑝55
𝑥+𝑦
=1𝑎(𝑥+𝑦)+2𝑏𝑦=5𝑐5方程组{2𝑦的解，所得解即为方程组{的解．
𝑚(𝑥+𝑦)+2𝑚𝑦=5𝑝=2
5本题考查学生对二元一次方程组的解的理解以及对方程整体法的应用，综合性比较强．
19.【答案】解：(1)原式=−1+9−1
=7．
(2)原式=2𝑚2÷(−2𝑚2)+6𝑚2𝑛÷(−2𝑚2)−𝑚3÷(−2𝑚2) =−1−3𝑛+2𝑚.
【解析】(1)根据乘方运算、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义即可求出答案． (2)根据整式的除法运算即可求出答案．
本题考查实数的运算以及整式的除法运算，解题的关键是熟练运用乘方运算、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及整式的除法运算，本题属于基础题型．
1
20.【答案】解：(1){
𝑥=5−2𝑦①
，
3𝑥−4𝑦=5②
把方程①代入②得，3(5−2𝑦)−4𝑦=5，
第13页，共19页
解得𝑦=，
5
把𝑦=代入方程①，得𝑥=5−2×，
55解得𝑥=， 5𝑥=5∴原方程组的解为{13；
𝑦=
56
136
6
6
(2)整理，得{
𝑥=3𝑦①
，
3𝑥+2𝑦=8②
把方程①代入②得，3×3𝑦+2𝑦=8， 解得𝑦=，
11把𝑦=
8
代入方程①，得𝑥1124， 1124
8
=3×
8
， 11解得𝑥=
𝑥=11∴原方程组的解为{8．
𝑦=11【解析】(1)运用代入法进行消元计算；
(2)将方程𝑥−3(𝑦−1)=3变形为𝑥=3𝑦后，再代入到第2个方程进行计算求解． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目合理消元、求解．
21.【答案】解：(3𝑥+2)(3𝑥−2)−5𝑥(𝑥−1)−(2𝑥−1)2
=9𝑥2−4−5𝑥2+5𝑥−4𝑥2+4𝑥−1 =9𝑥−5，
当𝑥=时，原式=9×−5 99=1−5 =−4．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把𝑥的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1
1
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22.【答案】解：(1)如图，𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)△𝐴𝐵𝐶的面积=3×3−×2×3−×1×2−×1×3=3.5． 222【解析】(1)根据平移的性质即可作出三角形𝐴𝐵𝐶向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)根据网格利用割补法即可求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
本题考查了作图−平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
111
23.【答案】解：(1)设医用口罩的单价为𝑥元，洗手液的单价为𝑦元，
800𝑥+120𝑦=3600+200依题意得：{，
1200𝑥+80𝑦=3600𝑥=1.6
解得：{，
𝑦=21
答：医用口罩的单价为1.6元，洗手液的单价为21元． (2)设购买医用口罩𝑚个，洗手液𝑛瓶， ∵两样都买，共花了100元， ∴1.6𝑚+21𝑛=100， ∵𝑚、𝑛均为正整数， ∴{
𝑚=10
，
𝑛=4
∴只有一种购买方案，即购买医用口罩10个，洗手液4瓶．
【解析】(1)设医用口罩的单价为𝑥元，洗手液的单价为𝑦元，根据“某单位准备用3600元购买医用口罩和洗手液．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则还缺200元钱：若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；
(2)设购买医用口罩𝑚个，洗手液𝑛瓶，利用总价=单价×数量，可得出关于𝑚，𝑛的二元一次方程，结合“𝑚，𝑛均为正整数，即可得出答案．
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本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】解：(1)∵𝑥−3是多项式𝑥2+𝑘𝑥+12的一个因式，
∴𝑥=3时，𝑥2+𝑘𝑥+12=0， ∴9+3𝑘+12=0， ∴3𝑘=−21， ∴𝑘=−7， ∴𝑘的值为−7．
(2)(𝑥−3)和(𝑥−4)是多项式𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛的两个因式， ∴𝑥=3和𝑥=4时，𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛=0， ∴{
27+9𝑚+36+𝑛=0
，
64+16𝑚+48+𝑛=0
𝑚=−7解得{，
𝑛=0
∴𝑚、𝑛的值分别为−7和0． (3)∵𝑚=−7，𝑛=0，
∴𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛可化为：𝑥3−7𝑥2+12𝑥， ∴𝑥3−7𝑥2+12𝑥， =𝑥(𝑥2−7𝑥+12) =𝑥(𝑥−3)(𝑥−4)．
【解析】(1)由已知条件可知，当𝑥=3时，𝑥2+𝑘𝑥+12=0，将𝑥的值代入即可求得； (2)由题意可知，𝑥=3和𝑥=4时，𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛=0，由此得二元一次方程组，从而可求得𝑚和𝑛的值；
(3)将(2)中𝑚和𝑛的值代入𝑥3+𝑚𝑥2+12𝑥+𝑛，提取公因式𝑥，则由题意知(𝑥−3)和(𝑥−4)也是所给多项式的因式，从而问题得解．
本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
25.【答案】130° 𝐶𝐵𝑁
【解析】解：(1)①∵𝐴𝑀//𝐵𝑁，∠𝐴=50°， ∴∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑁=180°，
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∴∠𝐴𝐵𝑁=130°； ②∵𝐴𝑀//𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝑁； 故答案为：130度，𝐶𝐵𝑁； (2)∵𝐴𝑀//𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝑁+∠𝐴=180°， ∴∠𝐴𝐵𝑁=180°−𝑥°， ∴∠𝐴𝐵𝑃+∠𝑃𝐵𝑁=180°−𝑥°， ∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝑃=2∠𝐶𝐵𝑃，∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑃， ∴2∠𝐶𝐵𝑃+2∠𝐷𝐵𝑃=180°−𝑥°，
∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝑃+∠𝐷𝐵𝑃=(180°−𝑥°)=90°−𝑥°；
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(3)不变，∠𝐴𝐷𝐵：∠𝐴𝑃𝐵=1：2． ∵𝐴𝑀//𝐵𝑁，
∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐵𝑁，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝑁， ∵𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵=2：1 ∴∠𝐴𝐷𝐵：∠𝐴𝑃𝐵=1：2； (4)∵𝐴𝑀//𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝑁，
当∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐷时，则有∠𝐶𝐵𝑁=∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝑁，
∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝑃=2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑁，
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∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑁=2∠𝐴𝐵𝑁， ∵𝐴𝑀//𝐵𝑁，
∴∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑁=180°， ∴2∠𝐴+2∠𝐴𝐵𝑁=90°， 即∠𝐴+2∠𝐷𝐵𝑁=90°．
(1)由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；
(2)由平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝑁=180°−𝑥°，根据角平分线的定义知∠𝐴𝐵𝑃=2∠𝐶𝐵𝑃、∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑃，可得2∠𝐶𝐵𝑃+2∠𝐷𝐵𝑃=180°−𝑥°，即∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝑃+∠𝐷𝐵𝑃=90°−𝑥°； (3)由𝐴𝑀//𝐵𝑁得∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐵𝑁、∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝑁，根据𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁知∠𝑃𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑁，从而可得∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵=2：1；
(4)由𝐴𝑀//𝐵𝑁得∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝑁，当∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐷时有∠𝐶𝐵𝑁=∠𝐴𝐵𝐷，得∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝑁，即∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝑁，根据角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝑃=∠𝑃𝐵𝑁=∠𝐴𝐵𝑁=2∠𝐷𝐵𝑁，
2由平行线的性质可得∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑁=90°，即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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1
1
26.【答案】1753
【解析】解：∵𝑥为自然数，且𝑥+11与𝑥−72都是一个自然数的平方， ∴设𝑎2=𝑥+11，𝑏2=𝑥−72， ∵𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)，
∴(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=(𝑥+11)−(𝑥−72)， ∴(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑥+11−𝑥+72， ∴(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=83， ∴{
𝑎+𝑏=83
，
𝑎−𝑏=1
𝑎=42
解得：{，
𝑏=41∵𝑎2=𝑥+11，
∴𝑥=𝑎2−11 =422−11
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=1764−11
=1753． 故答案为：1753．
设𝑎2=𝑥+11，𝑏2=𝑥−72，由平方差公式分解因式，结合𝑥为自然数，可得(𝑎+𝑏)与(𝑎−𝑏)的值，解方程组可得𝑎与𝑏的值，从而由𝑎2=𝑥+11可解得𝑥的值．
本题考查了因式分解在实数求值中的应用，熟练掌握平方差公式及解二元一次方程组等知识点是解题的关键．
27.【答案】2𝑎2+3𝑎𝑏+𝑏2=(2𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
(1)图2的面积为：(2𝑎+【解析】解：2𝑎2+3𝑎𝑏+𝑏2=图1的面积为：𝑏)(𝑎+𝑏)，
∴可得：2𝑎2+3𝑎𝑏+𝑏2=(2𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)． (2)根据图形𝑎𝑙+𝑏𝑚+𝑐𝑛是图中三个矩形的面积和． 而𝑘2是正方形的面积．大小关系显而易见．
本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积．
利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．
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