跟踪检测(十三) 导数与函数的单调性
[基础训练]
1．[2019山东临沂二模]已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
A
B
C
D
答案：C 解析：当0 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 故y＝f(x)在(0,1)上为减函数； 当x>1时，xf′(x)>0， ∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数， 因此排除A，B，D，放选C. 2．[2019广西贵港联考]若函数f(x)＝kx－2ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[1，＋∞) B．(－∞，－1] D．[2，＋∞) 答案：D 解析：因为f(x)＝kx－2ln x， 2 所以f′(x)＝k－x. 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 2 所以在区间(1，＋∞)上f′(x)＝k－x≥0恒成立， 2 即k≥x恒成立， 2 当x∈(1，＋∞)时，0 3．[2019四川乐山模拟]函数f(x)＝3x－x＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3] B．(－3,1) C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 1 答案：B 解析：因为f(x)＝3x3－x2＋ax－5， 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1， 132 如果函数f(x)＝3x－x＋ax－5在区间[－1,2]上单调， f′－1≤0， 那么a－1≥0或 f′2≤0， 解得a≥1或a≤－3， 于是满足条件的a∈(－3,1)． 4．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是( ) 4A.－3，0 4B.0，3 4 C.－∞，－3，(0，＋∞) 4 D.－∞，－3∪(0，＋∞) 答案：C 解析：∵f′(x)＝3x2－2mx， ∴f′(－1)＝3＋2m＝－1， 解得m＝－2，∴f′(x)＝3x2＋4x， 4 令f′(x)>0，解得x<－3或x>0， 4 －∞，－故f(x)的单调递增区间为3，(0，＋∞)． 5．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( ) 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 A B C D 答案：A 解析：令g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x，易知g′(x)≥0， 所以函数f′(x)在R上单调递增． 1 6．[2016全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝x－3sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( ) A．[－1,1] 11C.－3，3 1 －1，B.3 1 D.－1，－3 1 答案：C 解析：函数f(x)＝x－3sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单2425 调递增，等价于f′(x)＝1－3cos 2x＋acos x＝－3cosx＋acos x＋3≥0在(－∞，＋∞)恒成立． 45 设cos x＝t，则g(t)＝－3t2＋at＋3≥0在[－1,1]恒成立， 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 45g1＝－＋a＋33≥0， 所以45 g－1＝－－a＋33≥0，11 解得－3≤a≤3.故选C. fx 7．[2019河南新乡二模]若函数y＝ln x在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为P函数．下列函数中为P函数的是( ) 1 ①f(x)＝1；②f(x)＝x；③f(x)＝x；④f(x)＝x. A．①②④ C．①③④ B．①③ D．②③ 11 答案：B 解析：x∈(1，＋∞)时，ln x>0，x增大时，ln x，xln x都减小， 11 ∴y＝ln x，y＝xln x在(1，＋∞)上都是减函数， 1 ∴f(x)＝1和f(x)＝x都是P函数； ln x－1x ′＝， ln xln x2 x ∴x∈(1，e)时，ln x′<0，x∈(e，＋∞)时， x ′>0， ln x x 即y＝ln x在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴f(x)＝x不是P函数； ln x－2x ′＝2， ln x2xln x 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 x ∴x∈(1，e)时，′<0， ln x 2 x x∈(e，＋∞)时，′>0， ln x 2 x 即y＝ln x在(1，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)＝x不是P函数． 故选B. 8．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是( ) A．(0,1) C．(1,2) B．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案：D 解析：因为f(x)＋xf′(x)<0， 所以(xf(x))′<0，xf(x)在(0，＋∞)上为减函数， 又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)， 所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)， 所以0 9．[2019陕西渭南质检]已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围是________． 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 解析：∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)， ∴a＋b＝4，① f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b. 1 －＝－1，即3a＋2b＝9.② 由题意可得f′(1)·9 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 联立①②两式解得a＝1，b＝3， ∴f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x. 令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2. ∵函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增， ∴[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3. 1 10．[2019贵州贵阳五校联考]若函数f(x)＝ln x－2ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________． ax2＋2x－11 答案：(－1，＋∞) 解析：f′(x)＝x－ax－2＝－. x因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解． 又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有解． ①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线， Δ＝4＋4a>0恒成立， 所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有解恒成立； ②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解， Δ＝4＋4a>0，则1x＝－a>0， 解得－1 综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)． 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 π 11．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f2，f(2)的大小关系是 ________． π 答案：f(－3) f(3)． 又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， π 当x∈2，π时，f′(x)<0. π 所以f(x)在区间2，π上是减函数， π 所以f2>f(2)>f(3)＝f(－3)． 11 12.已知函数f(x)＝2x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间3，2上是增函 数，则实数a的取值范围为________． 411，＋∞ 解析：答案：f′(x)＝x＋2a－x≥0在3，2上恒成立，3 11 即2a≥－x＋x在3，2上恒成立， 1884－x＋∴xmax＝3，∴2a≥3，即a≥3. [强化训练] e|x| 1．[2019广东茂名联考]函数f(x)＝3x的部分图象大致为( ) A 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 B C D 答案：C 解析：由题意得函数f(x)为奇函数，故排除B； e 又f(1)＝3<1，故排除A； x－1exex 当x>0时，f(x)＝3x，所以f′(x)＝3x2， 函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，故排除D.故选C. 2．[2019江西南昌联考]已知函数f(x＋1) 是偶函数，当x∈(1， 1 ＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝f－2，b＝f(3)，c＝f(0)，则a， b，c的大小关系为( ) A．b 15 ∴a＝f－2＝f2，b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)． 又∵当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x， ∴当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cos x－1≤0， 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 即f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上为减函数， ∴b fx 答案：C 解析：令F(x)＝， gxf′xgx－fxg′x 则F′(x)＝<0， [gx]2所以F(x)在R上单调递减． fafxfb 又a gagxgb又f(x)>0，g(x)>0， 所以f(x)g(b)>f(b)g(x)． 4．[2019河北衡水调研]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，且当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) fx 答案：A 解析：设g(x)＝x， xf′x－fx 则g′(x)＝. x2每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 ∵当x>0时，xf′(x)－f(x)>0， ∴即当x>0时，g′(x)恒大于0， ∴当x>0时，函数g(x)为增函数． ∵f(x)为奇函数， ∴函数g(x)为定义域上的偶函数． f－1 又g(－1)＝＝0， －1∴g(1)＝g(－1)＝0. f(x)>0⇔x·g(x)>0， x<0，x>0，即或gx>g1gx 5．[2019安徽合肥一中二模]已知f(x)＝aln x＋2x(a>0)，若对任fx1－fx2 意两个不相等的正实数x1，x2都有>2恒成立，则实数a的 x1－x2取值范围是( ) A．(0,1] C．(0,1) B．(1，＋∞) D．[1，＋∞) fx1－fx2 答案：D 解析：根据>2可知函数的导数大于或等于2， x1－x2a 所以f′(x)＝x＋x≥2(x>0，a>0)， 分离参数得a≥x(2－x)， 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 而当x>0时，x(2－x)的最大值为1，故a≥1. 故选D. π0，6．[2019湖南益阳调研]定义在2上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，恒有f′(x)>f(x)tan x成立，则有( ) ππ A.3f6 B.3f6>2cos 1·f(1) ππC．2f4<6f6 ππD.2f4>f3 π答案：A 解析：由于f′(x)>f(x)tan x且x∈0，2， 则f′(x)cos x－f(x)sin x>0. 设g(x)＝f(x)cos x， 则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0， π 所以g(x)在0，2上是增函数， ππ 所以g3>g6， ππππ即f3cos 3>f6cos 6， ππ即f3>3f6. 故A正确．同理可得B，C，D错误．故选A. 7．[2016全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性． 解：f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 (1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． e ①若a＝－2，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． e ②若a>－2，则ln(－2a)<1， 故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减． e ③若a<－2，则ln(－2a)>1， 故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减． 12(a∈R)． x＋x8．[2019山东枣庄调研]已知函数f(x)＝xe－a2 x (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间． 解：(1)a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex， 所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e. 又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)， 即2ex－y－e＝0. (2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a. 每天练一练 天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力 1 ①当a＝e时，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在R上单调递增． 1 ②当0 ③当a>e时，ln a>－1， 由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a； 由f′(x)<0，得－1 1 综上所述，当a＝e时，f(x)在R上单调递增； 1 当0 当a>e时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)． 每天练一练 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容