人教版八年级全本教案

第十一章 三角形

主题 教学内容 教材三角形 课型 新授课 上课时间 11.1与三角形有关的线段;11.2与三角形有关的角;11.3多边形及其内角和. 教材通过实验让学生了解三角形的稳定性,在知道三角形的内角和等于180°的基础上,进行推理论证,从而得出三角形外角的性质.接着推广三角形的有关概念,介绍了多边形的有关概念,利用三角形殊三角形的基础,也是研究其他图形的基础. 1.知识与技能 (1)理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线; (2)了解三角形的稳定性,理解三角形三边关系; (3)会证明三角形内角和等于180°,了解三角形外角的性质; (4)了解多边形的有关概念,会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 分析 的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式.这些知识加深了学生对三角形的认识,既是学习特教学2.过程与方法 (2)在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法. 3.情感、态度与价值观 (1)体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心; (2)会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识; (3)使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点. 重点:1.理解、掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的性质. 目标 (1)在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的推理能力,养成数学推理的习惯; 教学 2.会按角的特征及边的特征给三角形进行分类. 重难点 3.让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程. 难点:1.理解三角形高和底的含义,会在三角形内画高. 2.引导探索三角形的边的关系,并发现“三角形任意两边之和大于第三边”的性质. 知识结构

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课题 教学目标 11.1.1三角形的边 2.能从不同角度对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边的不等关系,并能运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题. 难点:1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 二次设计 展示实物,播放课件,特别突出屋顶结构图,问题: 1.请仔细观察实物与课件,找出不同的三角形. 课堂导入 2.与同伴交流各自找到的三角形.这些三角形有什么特点? 课时 1课时 上课时间 1.认识三角形,了解三角形的定义,认识三角形的边,内角,顶点,能用符号语言表示三角形. 教学 重点:认识三角形的边,内角,顶点,能用符号语言表示三角形. 重难点 教学活动设计 自学指导 1.如何表示三角形? 2.三角形的边可以怎么表示? 3.三角形的分类: 探索新知 合作探究 合作探究 动手操作: (1)任意画一个△ABC,从点B出发,沿边到点C,有几条路线? (2)各条路线的长有什么关系?说明理由. 教师指导 1.规律方法: (1)三角形应满足以下两个条件: ①位置关系:不在同一直线上;②联接方式:首尾顺次. (2)表示方法: 三角形用符号“△”表示;记作“△ABC”,读作“三角形ABC”,除此△ABC还可记作△BCA, △CAB,△ACB等. 2

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(3)三角形的三边关系可以用来判断三条线段能否组成三角形,但是计算三遍的话太麻烦了.我们可以用以下两种方法进行判断:①看较短的两条线段的和是否大于最长的线段,若是,则能组成三角形;反之,则不能组成三角形.②看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三边,若是,则能组成三角形;反之,则不能组成三角形. 2.易错点 探索(1)在书写三角形的角时,若顶点处只有一个角,就用一个顶点字母表示即可;若顶点处新知 不止一个角,如图,顶点A的角不能记为∠A,要记为∠BAC,里面包含的两个小角也要分合作别记为∠BAD、∠DAC.也可以用∠1、∠2表示; 探究 (2)“两边的和”“两边的差”中的“两边”是三角形中的任意两边,不能用指定的或特殊的两边作和或差来判断. 1.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6; ⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (C)4个 2.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( ) 当堂(A)63

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课题 教学目标 教学 重难点 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 2.会画三角形的高、中线与角平分线. 3.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点. 重点:三角形的高、中线与角平分线. 难点:三角形的角平分线与角的平分线的区别,画钝角三角形的高. 教学活动设计 课堂导入 这里有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两个想要平分的话,你该怎么办呢?本节我们一起来解决这个问题. 二次设计 课时 1课时 上课时间 1.经历画图的过程,认识三角形的高、中线与角平分线. 自学指导 一、三角形的高 1.请你自己画出一个锐角△ABC,并作出它的一条高,说说你的画法. 请你再画出这个三角形另两条边上的高,看看有什么发现? 2.如果△ABC是钝角三角形、直角三角形,上面的结论还成立吗?试一试吧! 二、三角形的中线 1.如图,我们把连接△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=BC或2BD=2DC=BC. 探索 新知 请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现? 合作2.如果三角形是直角三角形、钝角三角形,结论还成立吗?请画图回答. 探究 三、三角形的角平分线 如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC. 思考:三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗? 三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的. 请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现? 如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?请画图回答. 想一想:三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?

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合作探究 1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方 2.组织学生探究锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条重要的线段的画法以及交点的位置. 教师指导 1.规律方法: (1)三角形有三条高线,锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线比较如表: 探索新知 合作探究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 (2)三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部; (3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比. 2.易错点 三角形的角平分线、中线和高都是线段,而不是射线.在画钝角三角形的高时要注意高的位置. 1.如图,在△ABC中,请作图(1)画出△ABC的∠C的平分线;(2)画出△ABC的边AC上的中线;(3)画出△ABC的边BC上的高. 2.如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm, BC=10 cm,∠CAB=90°,试求:(1)△ABE的面积;(2)△ACE和△ABE的周长的差. 板书设计 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 当堂训练 三条重要线段 教学反思

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课题 教学教学 重难点 11.1.3 三角形的稳定性 课时 1课时 上课时间 1.知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性; 目标 2.了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用. 重点:三角形的稳定性及应用. 难点:三角形的稳定性及应用. 教学活动设计 一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好?”先听它们是怎么说的. 三角形:“具有稳定性的我最好,因为我牢固,不易变形,所以我最受欢迎,不像你四边形,你课堂没有坚定的立场!”四边形:“灵活性强,可伸可缩,我的这些优点比起你三角形那呆板、简尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架,我的用途大!”四边形:“我的用途广,像活动衣架、缩放尺、活动铁门等,人类的生活因为我而丰富多彩!” 假如你是数学小博士,你会如何来调解它们的争论? 自学指导 一、三角形的稳定性 【实验】 1.如图(1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗? 2.如图(2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗? 3.如图(3)在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗? 导入 单、一成不变的形式不知有多优越!”三角形:“我广泛应用于人类的生产生活中,如三角二次设计 探索新知 合作 从上面的实验中,你能得出什么结论? 探究 二、三角形稳定性和四边形不稳定性的应用 三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好,它们在生产和生活中都有广泛的应用.如: 6

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钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,活动挂架则是利用四边形的不稳定性. 探索新知 合作探究 合作探究 1.讨论:小组讨论自学指导中出现疑问的地方. 2.组织学生探究三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生活中的应用. 教师指导 规律方法: 1.三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性.在现实生活中的应用:桥梁、人字形屋顶等; 2.稳定性是三角形的特性,四边形及四条边以上的多边形都具有不稳定性. 1.下列图形中具有稳定性的是( ) (A)正方形 (B)长方形 (C)直角三角形 (D)平行四边形 2.要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍? 当堂训练 3.大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门,它常常做成四边形的形状,你知道这是为什么吗? 板书设计 11.1.3 三角形的稳定性 1.三角形具有稳定性 2.四边形没有稳定性 3.三角形的稳定性的应用 4.四边形的不稳定性的应用 教学反思

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课题 教学11.2.1 三角形的内角 1.了解三角形的内角. 2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度. 4.经历实验活动的过程,掌握三角形的内角和定理,初步掌握添加辅助线的方法. 教学 重难点 重点:三角形的内角和定理及其运用. 难点:三角形内角和定理的推理过程. 教学活动设计 多媒体展示:(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里,住着三个内角,平时它们非常团结,课堂导入 有一天,老三不高兴了,对老大说:“凭什么你的度数最大,我也要和你一样大!”老大说:“这是不可能的,否则我们这个家就要被拆散,围不起来了!”“为什么呢?”老二、老三纳闷起来…… 同学们,你们知道其中的道理吗? 自学指导 一、三角形的内角和 1.同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,你有哪些方法?你发现了什么? 二次设计 目标 3.学会解决与求角有关的实际问题. 课时 1课时 上课时间 2.由刚才拼合而成的图形,你能想出说明“三角形内角和等于180度”这个结论的正确方 探索合作法吗? 二、直角三角形的性质与判定 利用上面的结果,你能得出什么结论? 新知 3.试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的? 探究 在△ABC中,若∠C=90°,你能求出∠A,∠B的度数吗?为什么?你能求出∠A+∠B的度数吗? 合作探究 1.从拼图活动中注意挖掘和发展学生思维的灵活性和创造性. 2.在说理过程中,让学生更加深刻地理解多种拼图方法,创设不同的说理方法来表达情境. 3.向学生展示分析问题的基本方法,培养学生思维的广阔性. 8

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教师指导 探索新知 合作探究 规律方法: 1.为了证明三个角的内角和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 2.直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的两锐角互余. (2)两角互余的三角形是直角三角形. 1.下列说法正确的是( ) (A)三角形的内角中最多有一个锐角 (B)三角形的内角中最多有两个锐角 (C)三角形的内角中最多有一个直角 (D)三角形的内角都大于60° 2.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 当堂(C)钝角三角形 (D)等腰三角形 训练 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( ) (A)60°,90°,75° (B)48°,72°,60° (C)48°,32°,38° (D)40°,50°,90° 4.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 板书设计 11.2.1 三角形的内角 1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180° 2.三角形内角和定理的证明 3.直角三角形的性质:直角三角形两锐角互余 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 11.2.2三角形的外角 1.理解并掌握三角形的外角的概念. 2.能够在复杂图形中找出外角. 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 重点:三角形的外角性质. 难点:三角形外角性质的推理过程. 教学活动设计 足球比赛中的数学知识：在绿茵场上,某球员在A处受到阻挡需要传球,请帮助他做出选择,应传给在B处的球员还是C处的球员,使其射门不易射偏.(不考虑其他因素) 课堂导入 请同学们帮助他做出选择. 二次设计 课时 1课时 上课时间 自学指导 1.三角形的内角和定理是什么? 2.把△ABC的一边BC延长到D,得∠ACD,它不是三角形的内角,那它是三角形的什么角? 定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 三角形外角的特点: ①顶点在三角形的一个顶点上.②一条边是三角形的一条边.③另一条边是三角形的某条边的延长线. 想一想:三角形的外角有几个? 探索新知 合作探究 每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角. 如图所示,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角,不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角. 3.小组讨论:问:三角形的外角与和它不相邻内角有什么关系? 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系.请同学们拿出一张白纸,在白纸上画出如教科书图11.28所示的图形,然后把∠ACB、∠BAC剪下与∠ABC拼在一起,使点A、C、B重合,看看会出现什么结果,与同伴交流一下,结果是否一样.请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系. 合作探究 1.通过观察图形使学生认识外角,逐步学会在复杂图形中区分外角. 2.教师引导学生从感性认识到理性探索,让学生充分发挥自己的能力,去探究三角形的外角具有的特殊的性质,然后用数学符号表示出来,再把数学符号转换成文字表述,由学生自己总结,逐步完善.

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教师指导 1.易错点: (1)三角形的外角性质中一定注意是“不相邻的内角”; 探索新知 合作探究 (2)三角形的外角是相对于一个三角形来说的,而对于另外一个三角形来说可能是内角. 2.归纳小结: (1)定义:角一边必须是三角形的一边,另一边必须是三角形另一边的延长线; (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; (3)三角形的外角和等于360°. 3.方法规律:三角形外角与内角的关系: (1)位置关系:相邻和不相邻; (2)数量关系:外角与相邻内角互补；外角大于不相邻的任何一个内角. 1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) (A)30° (A)90° (A)等腰直角三角形 当堂(B)60 ° (C)90° (D)120° (B)110° (C)100° (D)120° 2.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角的度数为( ) 3.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( ) (B)一般的等腰三角形 (D)等腰钝角三角形 (B)115° (C)等边三角形 (A)120° (C)110° 度？ 板书设计 11.2.2 三角形的外角 1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角. 2.三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 教学反思 训练 4.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) (D)105° 5.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是多少

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课题 11.3.1多边形 等数学概念; 2.能由实物中辨别寻找出几何图形,由几何图形联想或设计一些实物形状,丰富学生对几何图形的感性认识; 3.了解类比这种重要的数学学习方法,体验生活中处处有数学的道理. 教学 重难点 重点:了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别. 难点:理解多边形的对角线的概念,探索一个多边形能画几条对角线. 教学活动设计 图片观赏: 课堂导入 二次设计 课时 1课时 上课时间 1.观察生活中大量的图片,认识一些简单的几何体(四边形、五边形),了解多边形及其内角、对角线教学目标 你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗? 自学指导 1.这些线段围成的图形有何特性? (1)它们在同一平面内; (2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的. 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形,那么什么叫做多边形呢? 2.你能仿照三角形的定义给多边形定义吗? 归纳:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段探索新知 合作探究 组成,就叫做几边形.) 3.明确概念: (1)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角; (2)多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角; (3)多边形的对角线:连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 让学生画出五边形的所有对角线. 4.凸多边形与凹多边形 在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画CD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.

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5.正多边形 由正方形的特征出发,得出正多边形的概念. 各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形. 合作探究 1.利用现实生活情境吸引学生尽快投入到数学课堂中来.让学生们观察、回答、补充,既能体现主体性,又能较自然地过渡到新课教学中来. 2.运用类比方法学习新知识,便于发现新旧知识的异同点,同时完善学生的认知结构. 探索3.通过对比,学习凸多边形与凹多边形的概念,加深认识. 新知 教师指导 合作1.归纳小结: 探究 (1)多边形按它的边数可分为:三角形,四边形,五边形等等.其中三角形是最简单的多边形; (2)n边形有n个顶点,n条边,n个内角,2n个外角; (3)从上面n边形的一个顶点可以作出(n-3)(n≥3)条对角线; (4)n边形共有对角线条(n≥3). 2.方法规律:判断一个多边形是不是正多边形的方法:各边都相等,各角都相等,两个条件必须同时具备. 1.从八边形的—个顶点可以引 条对角线,八边形总共有 条对角线. 2.一个多边形共有5条对角线,这个多边形是 . 当堂训练 3.如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍,则此多边形的边数为 . 板书设计 11.3.1 多边形 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 11.3.2多边形的内角和 课时 1课时 上课时间 1.掌握多边形的内角和的计算方法,并能用内角和知识解决一些较简单的问题. 2.通过多边形内角和计算公式的推导,培养学生探索与归纳能力. 3.通过学生间交流、探索,进一步激发学生的学习热情,求知欲望,养成良好的数学思维品质. 重点:多边形的内角和以及外角和. 难点:如何把多边形转化成三角形,用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和. 二次设计 教学活动设计 多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步. 提出问题: (1)小明是沿着几边形的广场在跑步? 课堂导入 (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗? (3)你会求这个多边形的内角和吗? 导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗? 你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂. 自学指导 1.让学生探究如何得到四边形内角和是360°的. (如:通过测量相加求内角和,通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等). 问题1:是否所有的四边形的内角和都可以“转化”为两个三角形的内角来求得呢?如何“转化”? 问题2:类比推导四边形内角和的方法,你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗? 观察图填: 探索新知 合作探究 (1)从五边形的一个顶点出发,可以作 条对角线,它们将五边形分为 个三角形,五边形的内角和等于180°× ; (2)从六边形的一个顶点出发,可以作 条对角线,它们将六边形分为 个三角形,六边形的内角和等于180°× . 问题3:n边形的内角和是否也可以用上面的方法?试一试. 2.多边形的外角和 问题:如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做五边形的外角和.五边形的外角和等于多少?

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思考: (1)任意一个外角和它相邻的内角有什么关系? (2)五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少? (3)这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系? (4)在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和.n边形的探索新知 合作探究 外角和等于多少? (5)回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么? 合作探究 1.鼓励学生寻找多种分割形式,深入领会转化的本质——将多边形转化为三角形问题来解决. 2.通过增加图形的复杂性,让学生再一次经历转化的过程,加深对转化思想方法的理解. 教师指导 归纳小结: 正n边形每个内角的度数是,每个外角的度数是. 1.n边形的内角和= 度,外角和= 度. 当堂2.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等,那么这个多边形是 边形. 4.若一个多边形的内角和是1 800°,则这个多边形的边数是 . 板书设计 11.3.2 多边形的内角和 1.多边形的内角和 法一 法二 (n-2)×180° 2.多边形的外角和 a:外角和为360°. b:正多边形每个外角都相等,已知外角可求边数. 教学反思 180°n-360° 训练 3.若n边形的每个内角都是150°,则n= .

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第十二章 全等三角形

主题 教学内容 教材分析 全等三角形 课型 新授课 上课时间 12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质. 本章以三角形为例,研究了两个图形间一种特殊的关系——全等,研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定.进一步培养学生的推理论证能力也是本章的一个重要目标.本章让学生通过判定两个三角形全等来证明线段相等或角相等,并由此推出了角的平分线的性质. 1.知识与技能 (1)了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素; (2)探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式; (3)了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明. 教学2.过程与方法 (2)经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程; (3)通过学习全等三角形的性质和条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何感觉. 3.情感、态度与价值观 学生通过在综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中感受到数学与生活息息相关,从而激发学生学习数学的兴趣. 目标 (1)在图形变换以及实际操作的过程中发展空间观念,培养几何直觉; 教学 重难点 重点:全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用. 难点:让学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,并能灵活运用. 知识结构

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课题 教学12.1全等三角形 课时 1课时 上课时间 1.通过实例理解全等形的概念和特征,并能识别图形的全等. 2.知道全等三角形的有关概念,能正确地找出对应顶点、对应边、对应角;掌握全等三角形对应边相3.能运用性质进行简单的推理和计算,解决一些实际问题. 教学 重难点 重点:掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质. 难点:理解全等三角形边、角之间的对应关系. 教学活动设计 在我们的周围,经常可以看到形状、大小完全相同课堂的图形,这类图形在几何学中具有特殊的意义.观察你能再举出一些例子吗? 自学指导 1.对于两条线段或两个角来说: 如果它们的大小相等,那么放在一起能够 ; 如果它们放在一起能够重合,那么它们的大小 . 2.生活中的图片 导入 下列图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形. 二次设计 目标 等,对应角相等的性质. 讨论:(1)从上面的图片中你有什么感受? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 探索合作合作探究 (1)观察思考:每组中的两个图形有什么特点?(形状,大小.) (3)由此,你发现上述图形的共同特征是: 完全相同. (4)进而得出概念. 2.对应顶点,对应边和对应角 用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC,然后按要求在三个图中依次操作.体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”. 新知 1.全等形、全等三角形的有关概念 探究 (2)请再举出类似的例子(至少3个). 你发现变换前后的两个三角形有什么关系?

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3.全等三角形的性质 (1)把你自制的一对全等三角形纸片重合,你发现对应边、对应角有什么关系? (2)全等三角形的性质. 全等三角形的 对应边 相等;全等三角形的 对应角 相等. 小组合作对基本三角形变换出各种图形,观察它们的对应边、对应角的变化,体会当公共边、公共角完全或部分重叠时,如何快速寻找,培养学生的动手操作能力. 教师指导 探索新知 合作探究 1.概念 (1)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形; (2)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角. 2.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等;(2)全等三角形的对应角相等. 3.方法规律 (1)对应角夹的边是对应边,对应边的夹角是对应角; (2)对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系; 而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系,对边是与角相对的边,对角是与边相对的角. 1.已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是( ) (A)72° (B)60° (C)58° (D)50° 2.如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 当堂训练 3.如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 第1题图 第2题图 第3题图 板书设计 12.1全等三角形 1.全等形与全等三角形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形;能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角、对应边相等. 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 课堂12.2三角形全等的判定 课时 第1课时 上课时间 1.理解SSS的内容,能运用SSS全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等. 2.通过画图、实验、发现、应用的过程教学,树立学生知识源于实践用于实践的观念. 3.使学生体会探索发现问题的过程.经历自己探索出SSS的三角形全等识别及其应用. 重点:三角形全等条件的探索过程. 难点:寻找判定三角形全等的条件. 教学活动设计 问题提出:一对三角形需形状、大小完全相同才能确定它们全等,那么能不能用较少的二次设计 导入 条件来判定三角形全等呢? 自学指导 展示课前准备的三角形纸片,提出问题:你能画一个三角形与它全等吗? 可以利用全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少呢?现在我们就来探究这个问题. 探究一:先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗? 2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按下列条件做一做.①三角形一内角为30°,一条边为3 cm.②三角形两内角分别为30°和50°.③三角形两条边分别为4 cm、6 cm. 学生分组讨论、探索、归纳,给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边. 探索合作可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等. 归纳:有四种可能.即:三内角、三条边、两边一内角、两内角一边. 索其余的三种情况. 先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论: 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 合作探究 1.对学生提出的解决问题的不同策略,要给予肯定和鼓励,以满足多样化的学生需要,发展学生的个性思维. 2.学生动手操作,通过实践、自主探索、交流,获得新知,同时也渗透了分类的思想. 3.在教师的引导下完成操作过程,通过交流,归纳得出结论,同时也明确判定三角形全等需要三个条件. 新知 探究二:给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗? 探究 在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探

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教师指导 1.归纳小结:三边对应相等的两个三角形全等.(简写为“边边边”或“SSS”) 2.方法规律: 探索合作(1)证明的书写步骤: ②指明范围:写出在哪两个三角形中; ④写出结论:写出全等结论. (2)判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 1.如图,△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定( ) (A)△ABD≌△ACD (B)△ABE≌△ACE (C)△BDE≌△CDE (D)以上答案都不对 2.如图,AD=BC,AB=DC.求证:∠A+∠D=180°. 当堂训练 3.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C. 新知 ①准备条件:证全等时要用的条件要先证好; 探究 ③摆齐根据:摆出三个条件用大括号括起来; 板书设计 第1课时 SSS 1.“SSS”的内容 2.证明全等的基本格式(1)找条件；(2)提条件；(3)下结论 3.作一个角等于已知角(1)尺规作图；(2)依据“SSS” 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 12.2三角形全等的判定 2.能运用“边角边”判定方法解决有关问题. 3.“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找. 重点:掌握三角形全等的判定方法——“边角边”. 难点:寻找判定三角形全等的条件. 教学活动设计 课堂导入 小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办?请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由. 自学指导 多媒体出示探究1:已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A. 教师点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,观察这两个三角形是否全等. 根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“边角边”或“SAS”) 补充强调:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边. 出示例题,如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么? 探索新知 合作探究 二次设计 课时 第2课时 上课时间 1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”. 让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据. 明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. 出示思考:我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 合作探究 1.重点培养学生的动手操作能力,使学生可以非常直观地获得结果.判定方法要让学生自己概括,以培养学生的概括能力和语言表达能力,使学生有更深刻的认识和理解. 2.通过测量池塘两端的距离这样一个实际问题,综合运用了三角形全等的判定和性质,体验数学来源于实践,又服务于实践的思想,同时使学生进一步熟悉推理论证的模式,进一步完善学生的证明书写.

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教师指导 1.易错点: (1)此方法包含“边”和“角”两种元素,是两边夹一角而不是两边及一边对角对应相等,一定要注意元素的“对应”关系; 探索新知 合作探究 (2)应用时,一定要按边→角→边的顺序排列条件,决不能出现边→边→角的错误,因为边边角不能保证两个三角形全等. 2.归纳小结: 内容 两边和它们的夹角分应用格式 在△ABC和△DEF中, 因为AC=DF，∠A=∠D，AB=DE， 所以△ABC≌△DEF(SAS) 基本图形 边角边 别相等的两个三角形(SAS) 全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) 3.方法规律: (1)判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角; (2)证明线段相等的常用方法就是转化为证明三角形全等. 1.如图,AB∥DE,AF=DC,若要证明△ABC≌△DEF,还需补充的条件是( ) 当堂训练 板书设计 第2课时 SAS 1.“SAS”的内容 3.两边和一边的对角不可以(SSA) 2.“SAS”的判定格式 4.小结 (A)AC=DF (C)∠A=∠D (B)AB=DE (D)BC=EF 2.如图,A,D,F,B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证:△AEF≌△BCD. ⇒三角形全等 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 12.2三角形全等的判定 课时 第3课时 上课时间 1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”“角角边”. 2.能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题. 3.“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找. 重点:已知两角一边的三角形全等探究. 难点:寻找判定三角形全等的条件. 教学活动设计 二次设计 课堂如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到导入 玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪块去? 自学指导 问题1:三角形中已知两角一边有几种可能? (1)两角和它们的夹边. (2)两角和其中一角的对边. 问题2:三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律? 问题3:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢? (1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长. (2)画线段A'B',使A'B'=AB. (3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边作∠DA'B',∠EB'A',使 探索合作∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA. 将△A'B'C'与△ABC重叠,发现两三角形全等. 思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢? 问题4:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? 新知 (4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到△A'B'C'. 探究 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 合作探究 1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方. 2.组织学生探究利用“角边角”“角角边”判定三角形全等的方法. 3.组织学生总结判定两个三角形全等的一般步骤.

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教师指导 1.易错点: (1)运用“ASA”判定两个三角形全等时,要从图形上看这条边的确是两个角的夹边,不是说按照“角边角”的顺序书写即可; (2)有三个角相等的两个三角形不一定全等.如图,DE∥BC,在△ABC和 探索新知 合作探究 △ADE中,∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,即三个角对应相等,但它们只是形状相同,大小并不相等,所以它们不全等. 2.方法规律: (1)用“ASA”判定两个三角形全等,一定要证明这两个三角形有两个角以及两个角的夹边分别相等,证明时要加强对夹边的认识; (2)在书写两个三角形全等的条件时,一般把夹边相等写在中间,以突出边角的位置关系; (3)应用“AAS”证明两个三角形全等时,一定要注意它和“ASA”的主要区别在边与角的关系上,前者是一组等角的对边相等,后者是两个角的夹边相等; (4)结合三角形内角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推出,将两者结合起来可得出:两个三角形,如果具备两个角和一组对边对应相等,就可判定其全等. 1.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( ) (A)AB=AC (B)BD=CD (C)∠B=∠C (D)∠BDA=∠CDA 2.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 . 当堂训练 第1题图 第2题图 3.如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:△ADF≌△CBE. 板书设计 第3课时 ASA/AAS 1.“ASA”定理 2.“AAS”定理 3.小结 格式 格式 ⇒三角形全等 教学反思

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课题 教学教学 重难点 12.2三角形全等的判定 课时 第4课时 上课时间 1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”. 目标 2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题. 重点:掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL. 难点:熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等. 教学活动设计 舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 课堂导入 (1)你能帮他想个办法吗? (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 二次设计 自学指导 提问: 两个直角三角形,除了直角相等外,还要满足几个条件,这两个直角三角形才全等? (让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答) 提问: 如果满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗? 探索新知 合作探究 通过动手探究,你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示. 动手: 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A'B'C',使B'C'=BC,A'B'=AB.(课件出示题目,师生一起看题) (学生独立探究,动手作图) 提问: (1)△A'B'C'就是所求作的三角形吗? (2)画好后,把Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,看它们全等吗? (3)发现了什么结论?(全等). 结论:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 注意两点:一是“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.二是应用“HL”时,虽只有两个条件,但必须先有两个直角三角形的条件.

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合作探究 1.比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点,感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件. 2.出于难度考虑,建议画法直接由教师给出,而不安排学生画出. 3.组织学生总结判定两个三角形全等的一般步骤. 探索合作教师指导 在解决两个直角三角形全等的问题时,不能只局限地认为只有“HL”一种判定方法,前面一2.方法规律: (1)利用“HL”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三角形,然后找出对应的斜边和直角边相等即可; (2)证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) (A)AAS (B)SAS 当堂训练 板书设计 第4课时 HL 1.“HL”定理 2.总结 (1)格式 在Rt△ 和Rt△ 中 ⇒求证:Rt△ABF≌Rt△DCE. (C)HL (D)SSS 2.如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF. 新知 1.易错点: 探究 般三角形全等的四种判定方法都可以在直角三角形中使用. 所以Rt△ ≌Rt△ . (2)“HL”与一般判定的不同点：直角三角形判定方法 教学反思

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课题 12.3角的平分线的性质 教学目标 教学 重难点 1.会作已知角的平分线. 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质. 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. 重点:角的平分线的性质的证明及应用. 难点:角的平分线的性质的探究. 教学活动设计 问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路. 问题1:怎样修建道路最短? 课堂导入 问题2:从P点到哪条路的距离更近呢? 二次设计 课时 1课时 上课时间 自学指导 1.探究一:角的平分线的作法 问题1:请你拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2: 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 探索新知 合作探究 问题3:通过上面的探究,你有什么启发?你能用尺规作图作已知角的平分线吗?请你试着做一做,并与同伴交流. 2.探究二:角的平分线的性质 做一做 如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?试着证明你的结论. 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 27

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合作探究 1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方. 2.组织学生探究角平分线性质的证明方法. 教师指导 1.易错点: 角的平分线的性质是由三个条件(一条角的平分线,两条垂线)得到一个结论(线段=线段),但不要误认为角的平分线上的点与角两边上的任意一点连线的长度相等. 2.方法规律: 应用角平分线的性质就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线和证线段相等的问题,我们可以直接利用角的平分线的性质解决. 1.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,则点D到AC的距离是( ) (A)2 cm 是 . 3.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为当堂训练 板书设计 12.3 角的平分线的性质 1.角平分线的作法 2.角平分线的性质 3.角平分线性质的应用 教学反思 E,F.求证:CE=CF. (B)3 cm (C)4 cm (D)6 cm 2.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比

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第十三章 轴对称

主题 教学内容 教材分析 轴对称 课型 新授课 上课时间 13.1轴对称;13.2画轴对称图形;13.3等腰三角形;13.4课题学习 最短路径问题. 轴对称在当今社会中有着重要的地位和作用,是全等形的一种特殊情况,用坐标表示轴对称,体现了数形结合的思想,等腰三角形在几何中具有奠定性的重要作用.它承前启后,是今后学习其他几何知识的重要基础,在几何学习中占有重要地位. 1.知识与技能 (1)通过具体实例认识轴对称,了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系; (2)理解对应点所连线段被对称轴垂直平分的性质; (3)了解等腰三角形、等边三角形的概念和性质; 教学(4)欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏轴对称图形. 通过探究轴对称图形的性质,拓展论证有关边、角问题的方法,提升学生探索与发现问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)在数学活动的探索与发现中获得成功的体验; (2)发展应用数学解决实际问题的意识. 重点: 1.轴对称的性质,轴对称的应用,利用轴对称设计图案,用坐标表示轴对称. 2.等腰三角形的性质和判定. 难点: 1.图形的性质(如线段垂直平分线的性质,等腰(边)三角形的性质与判定)的证明. 2.寻找证明的思路. 目标 2.过程与方法 教学 重难点 知识结构

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课题 教学目标 教学 重难点 13.1.1轴对称 1.在生活实例中认识轴对称图形. 2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念. 3.通过丰富的生活实例认识轴对称,能够识别简单的轴对称图形及其对称轴. 重点:轴对称图形的概念. 难点:能够识别轴对称图形并找出它的对称轴. 教学活动设计 (配合动画讲故事)故事:在小河边的花丛中,有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜.忽然,来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去,蝴蝶生气地说:“谁在捣乱?”蜻蜓笑嘻嘻地说:“你怎么连一家人都不认识了,我是来找你玩的.”这时蝴蝶更生气了,说道:“你是蜻蜓,我是蝴蝶,我们怎么可能是一家呢?”于是,蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上,说:“这你就不知道了吧,不仅蜻蜓、课堂导入 蝴蝶是一家,有些树叶,还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢.”(播放动画) 二次设计 课时 1课时 上课时间 思考问题:为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家? 自学指导 1.阅读课木P58~60,思考下列问题: (1)什么是轴对称图形? (2)什么是两个图形关于某直线对称? (3)轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系是什么? (4)成轴对称的两个图形有什么性质? 2.取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后探索铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?与同伴进行交流. 新知 3.接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的合作轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条,大家请看屏探究 幕. 你能找出它们的对称轴吗?分小组讨论.

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合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 教师指导 1.归纳小结: 探索新知 合作探究 (1)如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴. (2)把一个图形沿着某条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.(说明:两个图形关于某条直线对称也叫两个图形成轴对称) 2.方法规律: (1)两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形. (2)成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样,而且与位置有关. (3)识别轴对称图形的关键是找到作为对称轴的直线,沿直线折叠后两边的部分能够重合,有时这样的直线能找到多条,说明这个轴对称图形有多条对称轴. 1.下列标志中,从图案看不是轴对称图形的有( ) 当堂训练 (A)4个 (A)正方形 (B)3个 (C)2个 (D)1个 2.下列轴对称图形中,恰好有两条对称轴的是( ) (B)等腰三角形 (C)长方形 (D)圆 3.如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠BCD的度数是( ) (A)130° (B)150° (C)40° (D)65° 板书设计 13.1.1 轴对称 1.轴对称图形的定义 2.对称轴 3.轴对称图形的设计方法 教学反思

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课题 教学教学 重难点 13.1.2线段的垂直平分线的性质 课时 1课时 上课时间 1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质. 目标 2.探究线段垂直平分线的性质. 重点:掌握线段垂直平分线的性质. 难点:探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的问题. 教学活动设计 课堂导入 上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢? 今天继续来研究轴对称的性质. 自学指导 请同学们观察图中一些点所连线段与对称轴的关系,学生先讨论,猜想后论证. 这样,我们就得到图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. MN垂直平分 . MN垂直平分 . MN垂直平分 . 合作探究 [探究1]如图,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量探索新知 合作探究 点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现? 二次设计 探究结果:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2= BP2,… 用我们已有的知识能证明这个结论吗? [探究2]如图,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保证箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

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教师指导 探索新知 合作探究 1.易错点: 当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时,这条直线就是该线段的垂直平分线,在解题时不要只判断一个点在垂直平分线上,就说这条直线就是该线段的垂直平分线. 2.方法规律: 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等. 1.已知MN是线段AB的垂直平分线,下列说法中,正确的是( ) (A)与AB距离相等的点在MN上 (B)与点A和B距离相等的点在MN上 (C)与MN距离相等的点在AB上 (D)AB垂直平分MN 2.如图,PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的 ,(补全下列推理过程) 当堂训练 证明:因为PA=PB(已知), 所以P点在线段AB的垂直平分线上( ), 因为QA=QB(已知), 所以Q点在线段AB的垂直平分线上( ), 所以 (两点确定一条直线). 板书设计 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线的作法 2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理 3.三角形三边的垂直平分线交于一点 教学反思

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课题 13.2画轴对称图形 教学1.理解图形轴对称变换的性质. 重点:1.轴对称变换的定义. 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 难点:1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形. 2.利用轴对称进行一些图案设计. 教学活动设计 观察下面的图形: 课堂导入 (1)这些图案有什么共同特点? (2)能否根据其中一部分画出整个图案? 自学指导 1.探究一: 自学:认真观察教材P67图13.21. (1)操作:自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么? (2)归纳: ①由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的 、 完全相同; ②新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的 点; ③连接任意一对对应点的线段被对称轴 . 探索新知 合作探究 2.探究二: (1)请同学们尝试解决以下问题; 如图,实线所构成的图形为已知图形,虚线为对称轴,请画出已知图形的轴对称图形. 二次设计 课时 1课时 上课时间 目标 2.能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形. 教学 重难点 问题:①可以通过什么方法来验证你画的是否正确? ②和其他同学比较一下,你的方法是最简单的吗? (2)如图,已知点A和直线l,试画出点A关于直线l的对称点A'.

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(3)如图,已知线段AB和直线l,试画出线段AB关于直线l的对称图形. (4)如图,已知△ABC和直线l,画出△ABC关于直线l的对称图形. 合作探究 1.以学生身边的事物为媒介,循序渐进地指导学生画轴对称图形的一半. 探索新知 合作探究 2.学生通过自己的实践体验,对所学内容有所感悟,进而内化为己有,在学习实践中逐步学会学习. 3.小组合作是新的学习方式,本节课采用的小组合作较多,可培养学生在活动中养成合作、分享、积极进取等良好的个性品质. 教师指导 1.归纳小结: (1)几何图形都可以看作由点组成,只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 2.方法规律: 任何平面图形都可以看作由点组成,只要在原图形中选取有代表性的点,分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形. 画出△ABC关于直线l的对称图形. 当堂训练 板书设计 13.2 画轴对称图形 1.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形 2.画已知图形关于某条直线对称的图形 画图依据 画图步骤 教学反思

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课题 教学目标 13.3.1等腰三角形 1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性质. 3.等腰三角形的概念及性质的应用. 2.等腰三角形性质的应用. 难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及应用. 教学活动设计 如图所示,把一张长方形的纸按照图中虚线对折并剪去阴影部分,再把它展开得到的△ABC有什么特点? 课堂导入 二次设计 课时 第1课时 上课时间 教学 重点:1.等腰三角形的概念及性质. 重难点 自学指导 1.[操作、实践] 取一等腰三角形纸片,照图折叠,找出其中重合的线段和角,填入下表: 重合的线段 重合的角 探索新知 合作探究 问题1:根据上表你能得出哪些结论?并将你的结论与同学交流. 问题2:你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗? 2.[新知应用] 【例1】 填空:(1)如图所示,根据等腰三角形性质定理在△ABC中,AB=AC时, ②󰀀 因为AD⊥BC,所以∠ =∠ , = . ②因为AD是中线,所以 ⊥ ,∠ =∠ . ③因为AD是角平分线,所以 ⊥ , = . 续表

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【例2】 如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 分析:根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A= ,∠ABC= = ,再由∠BDC=∠A+ ,就可得到∠ABC= = =2 .再由三角探索形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角. 新知 合作探究 合作1.小组合作分析问题. 探究 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 教师指导 1.易错点: 应用“等边对等角”和“三线合一”的前提是在同一个三角形中,不能乱用. 2.方法规律: “等边对等角”揭示了三角形相等的两边所对两个角的大小关系,常用来证明角相等;“三线合一”是等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者之间的共线关系,用它可以证明线段或角相等,还可以证明线段的垂直关系. 1.如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm,那么它的周长是( ) (A)9 cm 当堂训练 上,AB=AC. (1)若AD=AE,求证:BD=CE; (2)若BD=CE,F为DE的中点,如图②,求证:AF⊥BC. 板书设计 第1课时 等腰三角形的性质 1.回顾三角形按边分类: 三角形2.等腰三角形性质 (B)12 cm (C)15 cm或12 cm (D)15 cm 2.如图①,点D,E在△ABC的边BC 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 13.3.1等腰三角形 课时 第2课时 上课时间 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论. 2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用. 难点:正确区分等腰三角形的判定与性质,能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学活动设计 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,二次设计 课堂导入 沿南偏东60度方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米. 同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC的长度等于河流宽度的呢?今天我们就要学习等腰三角形的判定. 自学指导 1.[问题] (1)由性质定理的题设和结论的变化,引出研究的内容——在△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC吗? 作一个两个角相等的三角形,然后观察两等角所对的边有什么关系? (2)引导学生根据图形,写出已知、求证. (3)小结:通过论证,这个命题是真命题,即“等腰三角形的判定定理”. 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据,性质定理可简称“等角对等边”. (4)引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据. 探索新知 合作探究 2.[新知应用] 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.请同学们完成下列问题 (1)已知:如图, ∠CAE 是△ABC的外角,∠1= ∠2 ,AD∥ BC .求证: AB=AC . 分析:要证明AB=AC,可先证明∠B= ,因为∠1= ,所以可设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系. (2)请同学们写出完整的解题过程. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题.

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等腰三角形有什么性质呢? (1)等腰三角形的两底角相等. (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 探索新知 合作探究 教师指导 1.易错点: 该定理不能如下叙述:如果一个三角形有两个底角相等,那么它的两腰相等.因为在没有判定它是等腰三角形之前,不能用“底角”“腰”这些名词. 2.方法规律: 等腰三角形提供了许多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段. 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,则图中等腰三角形共有( ) (A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个 当堂训练 2.下列能断定△ABC为等腰三角形的是( ) (A)∠A=30°,∠B=60° (B)∠A=50°,∠B=80° (C)AB=AC=2,BC=4 (D)AB=3,BC=7,周长为13 3.如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O.AB=DC,AC=BD. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)△OBC的形状是 .(直接写出结论,不需证明) 板书设计 第2课时 等腰三角形的判定 1.根据定义判定 2.两个角相等的三角形是等腰三角形 教学反思

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课题 教学教学 重难点 13.3.2等边三角形 课时 1课时 上课时间 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论. 目标 2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用. 难点:正确区分等腰三角形的判定与性质,能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学活动设计 观察下列图形: 二次设计 课堂导入 师:等腰三角形中有一种特殊的三角形,你知道是什么三角形吗? 生:等边三角形. 师:对,等边三角形具有和谐的对称美.今天我们来学习等边三角形(引出课题). 自学指导 1.[问题] (1)把等腰三角形的性质用于等边三角形,能得到什么结论? (2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形? (3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?如果是请说明理由. 2.[新知应用] 【例题】 (1)如图(1),在等边△ABC的边AB,AC上分别截取AD,AE,使AD=AE.△ADE是等边三角形吗?试说明理由. (2)如图(2),如将上述条件改为作∠ADE=60°,点D,E分别在边AB,AC上,结论还成立吗?改为“过边AB上点D作DE∥BC,交边AC于点E”呢? 探索新知 合作探究 3.[探究] 等边三角形三条中线相交于一点.请在图中画出图形,找出图中所有的全等三角形,并选择其中一组全等三角形进行证明. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑.

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3.师生合作解决问题. (1)把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论? (2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形? (3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗? 教师指导 归纳小结: (1)等边三角形的性质 探索新知 合作探究 等边三角 形的性质 边的性质 角的性质 等边三角形的三边相等 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60° (2)等边三角形的判定 判定 方法 边 文字语言 三条边相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 书写格式 在△ABC中,因为AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形 在△ABC中,因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形 在△ABC中,①因为AB=AC,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形;②因为AB=AC,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 角 边、 角综合 1.在△ABC中,①若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形;②若∠A=∠B=∠C,则△ABC为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有( ) 当堂训练 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数. 板书设计 13.3.2 等边三角形 1.等边三角形的定义 2.等边三角形的性质 3.等边三角形的判定方法 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 13.4课题学习最短路径问题 课时 1课时 上课时间 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题;在探索最短路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想. 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 教学活动设计 相传,古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到二次设计 课堂导入 河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 自学指导 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线. 追问2:你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗? 探索新知 合作探究 活动2:尝试解决数学问题 问题1:如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小? 问题2:你能利用轴对称的有关知识,找到问题1中符合条件的点C吗? 问题3:你能用所学的知识证明AC+BC最短吗? 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题.

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教师指导 探索新知 合作探究 1.归纳小结: 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 2.方法规律: 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择. 如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水. (1)若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作图痕迹,写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,则应建在什么地方? 当堂训练 板书设计 13.4 课题学习最短路径问题 1.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求 2.求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点 连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求 教学反思

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第十四章 整式的乘法与因式分解

主题 教学内容 教材分析 整式的乘法与因式分解 课型 新授课 上课时间 14.1整式的乘法;14.2乘法公式;14.3因式分解 本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义. 1.知识与技能 (1)掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算; (2)会推导乘法公式,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算; (3)使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算; (4)使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式教学目标 法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 2.过程与方法 经历从分解因数到分解因式的类比过程;经历从整式乘法到因式分解的逆向变形的过程,体会类比学习和归纳学习. 3.情感、态度与价值观 通过对乘法公式的逆向变形,进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考能力及语言表达能力,有意识地培养学生的逆向思考问题的习惯和学习新知识转化为旧知识的意识和新旧知识的联系思维. 教学 重难点 重点:乘法公式的意义、公式的由来和正确运用;用提公因式法和公式法进行因式分解. 难点:正确运用乘法公式;正确分解因式. 知识结构

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课题 教学教学 重难点 14.1.1同底数幂的乘法 课时 1课时 上课时间 1.理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题. 目标 2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般再到特殊的认知规律. 重点:理解并掌握同底数幂的乘法法则. 难点:运用同底数幂的乘法法则进行相关运算. 二次设计 教学活动设计 一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星,距离地球约100光年. 课堂导入 1光年是光经过一年所行的距离,光的速度大约是3×105 km/s.问:这颗行星距离地球多远?(1年=3.153 6×107 s) 3×105×3.153 6×107×100=3×3.153 6×107×105×102=9.460 8×105×107×102. 问题:“107×105×102”等于多少呢? 自学指导 问题:一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可进行多少次运算? 学生分析,总结结果 1012×103=()×(10×10×10)==1015. 通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法. 学生动手: 计算下列各式: 探索新知 合作探究 (1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m、n都是正整数). 教师引导学生注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述. 得到结论: (1)特点:这三个式子都是底数相同的幂相乘,相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和. (2)一般性结论:am·an表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:am·an=()·()==am+n. am·an=am+n(m,n都是正整数)即为:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 例1.计算: (1)103×104; (2)a·a3; (3)a·a3·a5; (4)xm×x3m+1. 例2.计算: (1)(-5)×(-5)2×(-5)3; (2)(a+b)3(a+b)5; (3)(a-b)2·(a-b)3;(4)(a+1)2·(1+a)·(a+1)5.

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例3.(1)已知am=3,an=8,求am+n的值; (2)若3n+3=a,请用含a的式子表示3n的值; (3)已知2a=3,2b=6,2c=18,试问a、b、c之间有怎样的关系?请说明理由. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 教师指导 1.易错点: 探索合作探究 当幂指数是1时,不要误以为没有指数,如a·a3=a4,而不是a3. 意义 推导 公式 底数相同的幂相乘 a·a=(mnm+nmn新知 2.归纳小结: 同底数幂的乘法 m+n)·()= =a a·a=a(m,n都是正整数) 运算性质 同底数幂相乘,底数不变,指数相加 3.方法规律: (1)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘,如 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数). (2)在今后的计算中注意公式的逆用:am+n=aman. (3)幂的底数a可以是单项式,也可以是多项式,如a·a2=a1+2=a3, (x-y)3·(y-x)2=(x-y)3·(x-y)2=(x-y)5. 1.计算:a3·a7= ,-x2·x3= . 当堂训练 2.当m= 时,xm-2·xm+3=x9成立. 3.若10x=a,10y=b,则10x+y= . 4.若3x+2=36,则= . 板书设计 14.1.1 同底数幂的乘法 1.回顾 2.同底数幂乘法 3.同底数幂相乘逆用 4.区别:am·bn≠(ab)mn am·an=am+n(m,n为正整 am+n =am·an 教学反思

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课题 教学14.1.2幂的乘方 握这个性质. 能力. 教学 重难点 重点:幂的乘方法则. 难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 教学活动设计 1.填空: (1)同底数幂相乘 不变,指数 ; (2)a2×a3= ;10m×10n= ; (3)(-3)7×(-3)6= ; 课堂导入 (4)a·a2·a3= ; (5)(23)2=2( 问题: (1)上述几道题目有什么共同特点? (2)观察计算结果,你能发现什么规律? (3)你能推导一下(am)n的结果吗?请试一试. 自学指导 大家知道木星和地球的体积的大致比例吗?我可以告诉你,木星的半径是地球半径的102倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下木星的体积是多少?球的体积公式为V=πr3 解:设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为V木星= );(x4)5=x( );(2100)3=2( ). 课时 1课时 上课时间 1.理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌目标 2.经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用二次设计 2.计算：(22)3; (24)3; (102)3. 探索合作新知 π·(102)3= . 1.(102)3=?利用幂的意义来推导. a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106. 3.利用刚才的推导方法推导下面几个题目: (1)(a2)3; (2)(24)3; (3)(bn)3; (4)-(x2)2. 请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(am)n的结果是多少? 范例学习,应用所学 探究 2.请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?

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【例】计算: (1)(103)5;(2)(b3)4;(3)(xn)3;(4)-(x7)7. 【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘. 探索新知 合作探究 教师指导 1.归纳小结: 意义 幂的 推导 乘方 公式 运算性质 2.方法规律: (1)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7,也不能把a5a2的计算结果写成a10. (2)幂的乘方是变乘方为(底数不变,指数相乘)乘法,如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变(同底数幂)乘为(幂指数)加,如a3·a2=a3+2=a5. (3)此性质可以逆用:amn=(am)n=(an)m,如315=(35)3=(33)5. 1.计算(a2)3的结果是( ) (A)a 当堂训练 (B)a6 (C)a8 (D)3a2 (B)(a3)2=a5 (D)(a2)3=a6 (C)2 (D)1 板书设计 14.1.2 幂的乘方 幂的乘方的运算公式:(am)n=amn(m,n为正整数). 即幂的乘方,底数不变,指数相乘. 教学反思 2.下列计算的结果正确的是( ) (A)a3·a3=a9 (C)a2+a3=a5 (A)4 (B)3 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 (a)==(mn)·()·…·()=am+m+…+m（有n个m）=amn (a)=a(m,n都是正整数) 幂的乘方,底数不变,指数相乘 mnmn 3.如果(9n)2=312,则n的值是( )

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课题 教学目标 教学 重难点 14.1.3积的乘方 程中,领会这个性质. 2.经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力. 重点:积的乘方的运算. 难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 教学活动设计 复习导入: 1. (1)同底数幂相乘, 不变,指数 .(2)幂的乘方, 不变,指数 . 课堂(3)am·an= ,(am)n= .(4)a·a2·a3= ,(x4)5= . 导入 2.问题:地球可以近似地看作是球体,地球的半径约为6×103 km,它的体积大约是多少立方千米?球的体积公式V=πr3V=πr3=π×(6×103)3,那么,(6×103)3= . 自学指导 同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么? 【学生活动】先独立思考,再小组讨论. (2a3)4=(2a3)·(2a3)·(2a3)·(2a3)(乘方的含义) =(2·2·2·2)·(a3·a3·a3·a3)(乘法交换律、结合律) =24·a12(乘方的意义与同底数幂的乘法运算) =16a12. 【教师活动】提出应用以上分析问题的过程,再计算(ab)4,说出每一步的根据是什么? 探索新知 合作探究 【学生活动】独立思考之后,再与同学交流. (ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)(乘方的含义) =(aaaa)·(bbbb)(交换律、结合律) =a4·b4(乘方的含义) 【教师提问】(1)请同学们通过计算,观察乘方结果之后,你能得出什么规律?(2)如果设n为正整数,将上式的指数改成n,即:(ab)n,其结果是什么? 【学生活动】回答出(ab)n=anbn. 【师生共识】我们得到了积的乘方法则:(ab)n=anbn(n为正整数),这就是说,积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 【教师活动】拓展训练:三个或三个以上的积的乘方,如(abc)n, 【学生活动】回答出结果是(abc)n=anbncn. 范例学习,应用所学 【例】计算:(1)(2b)3; (2)(2×a3)2; (3)(-a)3; (4)(-3x)4. 二次设计 课时 1课时 上课时间 1.通过探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的乘方的运算性质的过

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【教师活动】组织、讲例、提问. 【学生活动】踊跃抢答. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 教师应该在引导这个推导过程时,步步深入,层层引导,而不该强硬地死记公式,只有在理解的情况下,才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用. 教师指导 探索新知 合作探究 1.归纳小结: 意义 推导 公式 运算性质 2.方法规律: (1)三个或三个以上的因数的积的乘方,也具备这一性质,如(abc)n=an·bn·cn(n为正整数). (2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的基础,也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述,不仅要记住,更重要的是理解.在这三个幂的运算中,要防止符号错误:如(-x)2≠-x2,(-x)3≠-(-x)3;还要防止运算性质发生混淆:如(a5)2≠a7,a5·a2≠a10等. (3)此性质可逆用:an·bn=(ab)n. 1.下列计算正确的是( ) (A)(xy)3=x3y 当堂(A)m=9,n=4 (B)(2xy)3=6x3y3 (C)(-3x2)3=27x5 (B)m=3,n=4 (C)m=4,n=3 (B)(-2a2)4=16a8 (D)(a2b)n=a2nbn (D)m=9,n=6 2.若(ambn)3=a9b12,那么m,n的值等于( ) 训练 3.下列各式中错误的是( ) (A)[(x-y)3]2=(x-y)6 (ab)=ab(n为正整数) 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘 nnn积的乘方是指每个因式乘方的积 =ab nn (C)-m2n3=-m6n3 (D)(-ab3)3=-a3b6 板书设计 14.1.3 积的乘方 积的乘方公式:(ab)n=anbn(n为正整数). 即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 教学反思

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课题 14.1.4整式的乘法 教学目标 教学 重难点 课时 第1课时 上课时间 1.理解整式乘法运算的算理,会进行简单的整式乘法运算. 2.经历探索单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力. 重点:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则,并运用它们进行运算. 难点:熟练应用运算法则进行计算. 教学活动设计 1.教师引导学生回忆幂的运算公式. 学生积极举手回答:同底数幂的乘法公式:am·an=am+n(m,n为正整数). 二次设计 课堂导入 幂的乘方公式:(am)n=amn(m,n为正整数). 积的乘方公式:(ab)n=anbn(n为正整数). 2.教师肯定学生的回答,并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘. 自学指导 让学生在课前准备一张自己最满意的照片,自己制作一个美丽的像框.上课之后,首先来做游戏,“才艺比赛”,把自己的照片加一个美丽的像框,看谁在10分钟之内,可以装饰出美丽的照片,谁的最好,老师就送他个好礼物. 【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”. 【学生活动】完成上述手工制作,与同伴交流. 【教师引导】在学生完成之后,教师拿出一张美丽的风景照片,提出问题:你们看这幅美丽的风景照片,如何装饰它会更漂亮? 【学生回答】加一个美丽的像框. 探索新知 合作探究 【教师活动】假如要加一个美丽的像框,需要知道这张照片的大小,现在告诉你,照片的长为mx,宽为x,你能计算出照片的面积吗? 【学生活动】动手列式,照片的面积为mx·x=? 【教师提问】对于mx·x=?的问题,前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则,现在请你运用已学过的知识推导出它的结果. 【学生活动】先独立思考,再与同伴交流. 实际上mx·x=m(x·x)=m·x2=mx2. 【拓展延伸】请同学们继续计算mx·x=? 【学生活动】先独立完成,再与同伴交流,踊跃上台演示. mx·x=m·x·x=m·x2=mx2. 【教师活动】请部分学生上台演示,然后大家共同讨论.

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【继续探究】计算:(1)x·mx;(2)2a2b·3ab3;(3)(abc)·b2c. 【学生活动】独立完成,再与同学交流. 【教师活动】总结新知:我们根据自己做的题目的原则,得到单项式与单项式相乘的运算法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,放在积的因式中. 【教师活动】 如果要将这张照片的宽增加a,你能再计算出照片的面积吗? 【学生活动】 先独立思考,再小组讨论. 【思路点拨】 增加宽的长度后,照片的面积有两种表示方法(1)mx·(x+a) (2)mx2+amx,所以mx·(x+a)=mx2+amx. 【教师活动】 总结新知,单项式与多项式相乘,就是单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 通过创设一定的问题情境,推导出单项式与单项式相乘的运算法则,可以采用循序渐进探索新知 合作探究 单项式与单项式相乘 的方法. 教师指导 1.归纳小结: 法则 实质 步骤 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 把单项式的乘法转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法 ①系数:积的系数等于各因式的系数的积;②相同字母:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;③单独字母:连同它的指数,作为积的一个因式 法则 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 字母表示 单项式乘多项式 2.方法规律: (1)积的系数等于各因式系数的积,应先确定符号,再计算绝对值. (2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加. (3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,不要把 这个因式漏掉. (4)单项式与多项式相乘的计算方法,实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式乘以单项式的问题.

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探索新知 合作探究 (5)计算时易出现符号错误,多项式中每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. (6)单项式乘以多项式,结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. (7)对于混合运算,要注意运算顺序,同时要注意:运算结果中若有同类项时要合并,从而得出最简结果. 1.填空: (1)a(2a2-3a+1)= ; (2)3ab(2a2b-ab+1)= ; (3)（ab2+3ab-b）ab= ; (4)(-2x2)（ x2-x-1）= . 2.选择题: (1)下列各式中,计算正确的是( ) 当堂训练 (A)(a-3b+1)(-6)=-6a2+18ab+6a (B) -x2y(-9xy+1)=3x3y2+1 (C)6mn(2m+3n-1)=12m2n+18mn2-6mn (D)-ab(a2-a-b)=-a3b-a2b-ab2 (2)计算a2(a+1)-a(a2-2a-1)的结果为( ) (A)-a2-a (C)3a2+a (A)2x2-3x2 (C)6x2-9x (B)2a2+a+1 (D)3a2-a (B)6x-3 (D)6x3-9x2 板书设计 第1课时 单项式与单项式、多项式相乘 1.单项式与单项式相乘法则: 单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同 它的指数一起作为积的一个因式. 2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加. 教学反思 (3)一个长方体的长、宽、高分别是2x-3、3x和x,则它的体积等于( )

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课题 教学目标 教学 重难点 14.1.4整式的乘法 课时 第2课时 上课时间 1.理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算. 2.掌握多项式与多项式的乘法法则的应用. 重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 难点:多项式与多项式的乘法法则的应用. 二次设计 教学活动设计 课堂导入 某地区在退耕还林期间,将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林区现在的面积. 学生积极思考,教师引导学生分析. 自学指导 动手操作: 首先,在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形,并且分成如图所示的四部分,标上字母. 计算出它的面积为:(m+b)×(n+a). 【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开,分成如图两部分,剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和. 探索新知 合作探究 【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,然后再求这四块长方形的面积. 【师生共识】多项式与多项式相乘,用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的结果相加. 字母呈现:【例1】计算: (1)(x+2)(x-3);(2)(3x-1)(2x+1). 【例2】计算: (1)(x-3y)(x+7y);(2)(2x+5y)(3x-2y). =ma+mb+na+nb. 范例学习,应用所学

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【教师活动】例1~例2,启发学生参与到例题所设置的计算问题中去. 【学生活动】参与其中,领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题. 合作探究 1.一个矩形面积得出几种不同的答案,让同学们以小组形式讨论,然后提问学生它们是否相等,如果它们相等,它们为什么会相等?从中我们得出什么? 2.鼓励同学运用所学知识说明等式成立的道理. 3.通过同学们的讨论和分析得出多项式乘以多项式的法则:多项式与多项式相乘;先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 探索新知 合作探究 教师指导 1.归纳小结: 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 字母表示 举例 (x+2)(x2-4) =x3-4x+2x2-8 2.方法规律: (1)要用一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,不能有遗漏. (2)两个多项式相乘的结果仍是多项式,在没有合并同类项之前,所得积的项数应为两个多项式的项数的积,如(a+b)(x+y+z)的结果应为2×3=6项,这也是检查相乘后有无漏乘的一般方法. (3)注意多项式乘法运算过程中的符号问题.多项式中的每一项均包括它前面的符号,计算时要细心. 当堂训练 1.先化简,再求值:(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1. 2.已知ax2+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x2项,也不含x项,求系数a,b的值. 板书设计 第2课时 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 教学反思 课题 教学目14.1.4整式的乘法 课时 第3课时 上课时间 1.了解整式的除法的运算性质,并会用其解决实际问题. 2.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和表达能力. 55

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标 教学 重难点 教学活动设计 1.教师提问:同底数幂的乘法法则是什么? 2.多媒体展示问题: 课堂导入 一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴? 学生认真分析后完成计算:需要滴数:1012÷109. 3.教师讲解:以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法,那么像这种同底数幂的除法该怎样计算呢? 自学指导 一种数码照片的文件大小是28 K,一个存储量为26 M(1 M=210 K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?你是如何计算的? 【教师活动】组织学生独立思考完成,然后先组内交流(4人小组),接着再全班交流,鼓励学生积极探索,应用数学转化的思想化陌生为熟悉,鼓励学生算法多样化,同样强调算理的叙述. 探索新知 合作探究 【学生活动】踊跃发言,利用除法与乘法的互逆关系,求出216÷28=28=256. 【继续探究】根据除法的意义填空,并观察计算结果,寻找规律: (1)77÷72=7( (3)x7÷x3=x( ); ); 重点:1.掌握同底数幂的除法法则与运用. 2.掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则. 难点:熟练地进行整式除法的计算. 二次设计 (2)1012÷107=10( ). 【归纳法则】一般地,我们有am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,m>n). 文字叙述:同底数的幂相除,底数不变,指数相减. 【教师活动】组织学生讨论为什么规定a≠0? 规定a0=1(a≠0),文字叙述如下: 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 【法则拓展】一般,我们有am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m≥n),即文字叙述为:同底数幂相除,底数不变,指数相减. [继续探究] 计算: (1)(x5y)÷x3;(2)(16m2n2)÷(2m2n);(3)(12a3-6a2+3a)÷3a.

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【学生活动】开始计算,然后总结归纳,上台演示,引入课题. 【归纳法则】 (1)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (2)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 引导学生类比数的运算,联想到单项式除以单项式的运算应该如何进行.在前面合作交流的基础上,探索新知 合作探究 逐步引导学生自己概括出单项式除以单项式的运算法则. 教师指导 1.归纳小结: (1)同底数幂的除法法则 (2)单项式除以单项式的除法法则 (3)多项式除以单项式的除法法则 2.方法规律: (1)在单项式除以单项式中只研究整除的情况,因此,在除式中所出现的一切字母,在被除式中不仅也要出现,而且其指数都要分别不小于除式中同一字母的指数.在这个前提下,单项式相除,可以按系数、相同字母、被除式单独有的字母这几个步骤进行,在运算时,要注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义. (2)在单项式乘除混合运算中,一定要先确定运算顺序,然后分步计算,如果字母的指数是多项式时,要先加括号,再加减. (3)以上法则的实质,就是把多项式除以单项式的运算,转化为单项式除以单项式的运算. (4)符号问题,多项式中的每一项都包括它前面的符号. (5)多项式除以单项式所得的结果是一个多项式,它的项数与被除式的项数相同,在计算时注意不要漏项. (6)这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式;反之,单项式除以多项式时是不能这样计算的. 当堂训练 1.计算: (1)(-xy)13÷(-xy)8;(2)(x-2y)3÷(2y-x)2; (3)(a2+1)6÷(a2+1)4÷(a2+1)2. 2.一颗人造地球卫星的速度为2.88×107 m/h,一架喷气式飞机的速度为1.8×106 m/h,这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍? 板书设计 第3课时 整式的除法 57

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1.同底数幂的除法法则 am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,m>n) 2.单项式除以单项式的除法法则 3.多项式除以单项式的除法法则 教学反思 课题 14.2.1平方差公式 教学目标 教学 重难点 课时 1课时 上课时间 1.能说出平方差公式的特点,并会用式子表示. 2.能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算. 3.通过平方差公式得出的过程,体会数形结合的思想. 重点:掌握两数和乘以它们的差的结构特征. 难点:正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义. 二次设计 教学活动设计 王林到小卖部去买饼干,售货员告诉他:共4.2千克,每千克3.8元.正当售货员还在用计算器课堂计算时,王林马上说出了共15.96元,售货员很惊奇地问:“你怎么比计算器算的还快呢?”王林同学们,你能帮售货员揭开王林快速口算出4.2×3.8的秘密吗? 自学指导 问题一: 1.请同学们计算下面三道题: (1)(x+3)(x-3);(2)(m+5n)(m-5n);(3)(4+y)(4-y). 2.请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗? 探索新知 合作3.你能验证其正确性吗? 具有简洁美的乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 问题二: 2x-=( )2-( )2 = 导入 很得意的告诉她:这是一个秘密. 探究 1.填一填:①2x+②(3x+6y)(3x-6y)=( )2-( )2= ③(m3+5)(m3-5)=( )2-( )2= 2.辨一辨: ①(2x+3)(2x-3)=2x2-9 ②(x+y2)(x-y2)=x2-y2 ③(a+b)(a-2b)=a2-b2 58

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3.说一说:下列各式都能用平方差公式计算吗? ①(2a-3b)(3b-2a) ②(-2a+3b)(2a+3b) ③(-2a-3b)(2a-3b) ④(2a-3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(-2a-3b) ⑥(2a-3b)(-3b+2a) 4.生活实践 (1)计算:1 998×2 002; (2)现在你能揭开王林快速口算出4.2×3.8的秘密吗? (3)街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?

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合作探究 1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 用自主探索,小组合作交流的方式展开教学.教学中尽可能多地让学生动手操作,突出乘法公式的探索过程,自主探索出乘法公式的基本形式,然后小组合作探究乘法公式的几何意义,在小组合作探究时,可以让学生制作模型,动手做一做.最后是对公式的应用. 教师指导 探索合作1.归纳小结: 即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫做(乘法的)平方差公式. (1)平方差公式的特征: ①左边是两个二项式相乘,这两项中有一项相同,另一项互为相反数; ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方). (2)公式中的字母a和b可以是数,也可以是式(包括单项式、多项式等),只要符合平方差的结构特征,就可以运用该公式. 如:(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2; (b+a)(-b+a)=a2-b2; (b-a)(-b-a)=(-a)2-b2. 新知 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 探究 2.方法规律: 1.下列运算中,可用平方差公式计算的是( ) (A)(x+y)(x+y) (B)(-x+y)(x-y) 当堂训练 (C)(-x-y)(y-x) (D)(x+y)(-x-y) 2.利用平方差公式计算: (1)(7m+8n)(-8n+7m);(2)(x-2)(x+2)(x2+4). 3.先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2. 59

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板书设计 14.2.1 平方差公式 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 教学反思 课题 教学目标 教学 重难点 14.2.2完全平方公式 课时 1课时 上课时间 1.理解两数和的平方的公式,掌握公式的结构特征,并熟练地应用公式进行计算. 2.经历探索两数和的平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力. 3.培养学生探索能力和概括能力,体会数形结合的思想. 重点:会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算. 难点:灵活运用完全平方公式进行计算. 二次设计 教学活动设计 1.教师引导学生复习平方差公式. 课堂导入 学生积极举手回答. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.教师肯定学生的表现,并讲解:这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式. 自学指导 一、提出问题,学生自学 问题:根据乘方的定义,我们知道:a2=a·a,那么(a+b)2应该写成什么样的形式呢?(a+b)2的运算结果有什么规律?计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ;(m+2)2= ; (2)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ;(m-2)2= ; 探索新知 合作探究 学生讨论,教师归纳,得出结果: (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1 (m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4 (2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1 (m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4 分析推广:结果中有两个数的平方和,而2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号. 推广:计算(a+b)2= ;(a-b)2= . 得到公式,分析公式 结论:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 60

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即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

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二、几何分析: 你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗? 图(1)大正方形的边长为(a+b),面积就是(a+b)2,同时,大正方形可以分成图中①②③④四个部分,它们的面积分别为a2、ab、ab、b2,因此,大正方形面积为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2,即说明(a+b)2=a2+2ab+b2. 类似地可由图(2)说明(a-b)2=a2-2ab+b2. 三、例题: 例1.应用完全平方公式计算: 探索新知 合作探究 (3)(-a-b)2=a2+2ab+b2. (4)(b-a)2=b2-2ba+a2. 例2.运用完全平方公式计算: (1)1022;(2)992. 解:(1)1022=(100+2)2=10 000+400+4=10 404. (2)992=(100-1)2=10 000-200+1=9 801. 四、添括号法则在公式里的运用 问题:在运用公式的时候,有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体,把另外一个多项式看作另外一个整体,例如:(a+b+c)(a-b+c)和(a+b+c)2,这就需要在式子里添加括号;那么如何加括号呢?它有什么法则呢?它与去括号有何关系呢? 学生回顾去括号法则,在去括号时:a+(b+c)=a+b+c,a-(b+c)=a-b-c 反过来,就得到了添括号法则:a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c) 理解法则:如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.也是:遇“加”不变,遇“减”都变. 总结:添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确. 合作探究 (1)(4m+n)2;(2)y-2;(3)(-a-b)2;(4)(b-a)2. 解:(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2. (2)y-2=y2-y+. 61

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1.小组合作分析问题. 2.小组合作答疑解惑. 3.师生合作解决问题. 用自主探索,小组合作交流的方式展开教学.教学中尽可能多地让学生动手操作,突出乘法公式的探索过程,自主探索出乘法公式的基本形式,然后小组合作探究乘法公式的几何解释,在小组合作探究时,可以让学生制作模型,动手做一做.最后是对公式的应用.

续表

教师指导 1.归纳小结: (1)完全平方公式的结构特征:公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍. (2)添括号法则:如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.利用添括号法则可以将整式变形,从而灵活利用乘法公式进行计算,灵活探索合作运用公式进行运算. (1)(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数(2)完全平方公式的结构特征: ①公式左边是一个二项式的平方(两数和或差的平方),右边是一个三项式,其中有两项是等号前的两项的平方和,一项是这两项乘积的2倍,其符号取决于这两项是和或差. ②公式中的字母a和b可以是数,也可以是式(包括单项式、多项式等). (3)完全平方公式有如下变形:a2+b2=(a+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+2ab或(a+b)2-(a-b)2=4ab.以上公式的变形在多项式的有关计算中经常用到,希望同学们正确理解、熟练掌握. 1.利用完全平方公式计算: (1)(5-a)2;(2)(-3m-4n)2;(3)(-3a+b)2. 当堂2.如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值. (1)982-101×99; (2)2 0162-2 016×4 030+2 0152. 板书设计 14.2.2 完全平方公式 1.探究公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 2.完全平方公式的几何意义 3.利用完全平方公式计算 4.添括号法则 训练 3.利用乘法公式计算: 新知 2.方法规律: 探究 和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式. 62

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教学反思 课题 14.3.1提公因式法 教学目标 教学 重难点 2.会用提公因式法进行因式分解. 3.树立学生全面认识问题、分析问题的思想,提高学生的观察能力、逆向思维能力. 重点:理解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.会用提取公因式的方法分解因式. 难点:会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式. 二次设计 课时 1课时 上课时间 1.了解因式分解的意义,并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系. 教学活动设计 看谁算得快,用简便方法计算: (1)×13-×6+×2= ; 课堂导入 (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67= . 如果说学生对因式分解还相当陌生的话,相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉,引入这一步的目的旨在让学生回顾简便计算的方法,通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念. 自学指导 问题一: 1.回忆:运用前两节所学的知识填空: (1)2(x+3)= ; (2)x2(3+x)= ; (3)m(a+b+c)= . 2.探索:你会做下面的填空吗? 探索合作(1)2x+6=( )( ); (3)ma+mb+mc=( )( ). 新知 (2)3x2+x3=( )( ); 探究 3.归纳:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这就是因式分解(也叫分解因式). 4.反思:①分解因式的对象是 ,结果是 的形式.②分解后每个因式的次数要 (填“高”或“低”)于原来多项式的次数. 问题二: 1.公因式的概念. (1)一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为a,b,c,宽都是m,用两个不同的代数式表示这块场地的面积. ① ,② . 63

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(2)填空:①多项式2x+6有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ②3x2+x3有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式.多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式各项的公因式.

续表

2.提公因式法分解因式. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以 ,从而将多项式化成两个 的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:ma+mb+mc=m(a+b+c). 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 (1)乘法分配律的内容是什么? (2)请同学们完成下列计算,看谁算得又准又快. ①20×(-3)2+60×(-3);②5×34+4×34+9×32. 教师指导 1.归纳小结: 探索新知 合作探究 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法: (1)提公因式法; (2)公因式:我们看多项式ma+mb+mc,它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式. 2.方法规律: (1)公因式的构成如下:a.系数——取各项系数的最大公约数;b.字母——取各项都含有的字母;c.指数——取相同字母的最低次幂; (2)公因式m既可表示单项式,也可表示多项式; (3)常用的变形:-a+b=-(a-b), (b-a)n= (4)在因式分解过程中,常常把含有相同字母且字母次数相同的多项式作为公因式提出来,此时要特别注意字母的排列顺序的变化和其指数的奇、偶性. 当堂训练 1.下列各式中,从等式左边到右边的变形,属因式分解的是 .(填序号) ①x2-y2=1·(x2-y2) ②x2+2x+1=x(x+2)+1 64

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③10x2-5x=5x(2x-1) ④(x+y)2=x2+2xy+y2 2.若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m的值为 . 3.把下列各式分解因式: (1)8m2n+2mn;(2)12xyz-9xy2;(3)2a(y-z)-3b(z-y). 板书设计 14.3.1 提公因式法 1.因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 3.提取公因式的方法:把多项式各项的公因式提取出来,写成公因式与另一个因式乘积的形式. 教学反思 课题 教学目标 教学重 难点 14.3.2公式法 1.能说出平方差公式的特点. 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式. 3.知道因式分解的要求:把多项式的每一个因式都分解到不能再分解. 4.经历探究平方差公式分解因式的过程,掌握利用平方差公式分解因式的方法. 重点:应用平方差公式分解因式. 难点:灵活应用平方差公式分解因式. 二次设计 课时 第1课时 上课时间 教学活动设计 1.你能说出多项式因式分解的定义吗? 课堂导入 2.运用提公因式法分解因式的步骤是什么?出示答案,并对因式分解与整式乘法的关系进行强调. 3.思考:你能用提取公因式法将x2-16和9m2-16n2分解因式吗?你能将a2-b2分解因式吗?启发学生根据乘法公式进行因式分解. 自学指导 自学课本P116~117,完成下列问题. 1.公式法分解因式在此公式是指什么公式? 探索新知 合作探究 2.什么条件下可以用平方差公式进行因式分解? 3.如何将多项式x2-1和9x2-4分解因式? 一起探究,解决问题 你能像分解x2-1和9x2-4一样将下面的多项式分解因式吗? (1)p2-16= ;(2)y2-4= ; (3)x2-= ;(4)a2-b2= . 65

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实际上,把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 逆过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 那么,一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式,就可以用平方差公式分解因式,这种分解因式的方法叫做 . 例1把下列各式分解因式: (1)36-a2;(2)4x2-9y. 例2把下列各式分解因式: (1)a3-16a;(2)2ab3-2ab. 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 (1)你能叙述多项式因式分解的定义吗? (2)运用提公因式法分解因式的步骤是什么? (3)你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?

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多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法. 探索新知 合作探究 教师指导 1.归纳小结: 运用平方差公式因式分解,首先应注意公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底. 2.方法规律: 能用平方差公式分解因式的多项式的特点: (1)应是二项式或视作二项式的多项式; (2)二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; (3)二项异号. 1.下列多项式,能用平方差公式分解的是( ) 当堂训练 (A)-x2-4y2 (B)9x2+4y2 (C)-x2+4y2 (D)x2+(-2y)2 2.分解因式:25-(m+2p)2= . 3.分解因式:2ax2-2ay2= . 66

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4.分解因式:x5-x3= . 5.分解因式:a2-(a+b)2= . 6.分解因式:9(m+n)2-16(m-n)2. 板书设计 第1课时 运用平方差公式 平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b) 教学反思 课题 教学目标 教学 重难点 教学活动设计 我们知道,因式分解是整式乘法的反过程.逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提课堂导入 探索新知 合作探究 取公因式法;运用平方差公式法.现在,大家自然会想,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?在前面我们共学过三个乘法公式: 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 这节课,我们就要讲用完全平方公式分解因式. 自学指导 教师指导学生完成: 1.将完全平方公式倒写: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. 2.分析上面两个等式的左边,它们都有三项,其中两项符号为“+”,分别是一个整式的平方,还有一项呢,符号可“+”可“-”,它是那两项幂的底的乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式,就是二次设计 重点:会用完全平方公式分解因式. 难点:识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件. 1.使学生理解用完全平方公式分解因式的原理. 2.使学生初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件,会用完全平方公式分解因式. 14.3.2公式法 课时 第2课时 上课时间 67

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一个二项式的完全平方.将它写成平方形式,便实现了因式分解. 3.范例讲解 例1 把25x4+10x2+1分解因式. [教学要点]按前面的分析,让学生先找两个平方项,写出这两个二次幂:25x4=(5x2)2,1=12.再将另一项写成两个平方项幂的底的积的2倍:10x2=2·(5x2)·1,原式便可以写成(5x2+1)2. 例2 把-x2-4y2+4xy分解因式. [教学要点]让学生观察发现,题中三项式,两个平方项前面带有“-”号,因此不能直接应用完全平方公式.但当提出“-”号后,括号内却能用完全平方公式.因此,本题解答可分两步进行: -x2-4y2+4xy =-(x2-4xy+4y2) (提公因式-1) =-(x-2y)2 (应用完全平方公式) 续表

合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 (1)你能叙述因式分解的步骤吗? (2)运用完全平方公式分解因式注意事项是什么? 教师指导 探索新知 合作探究 1.归纳小结: (1)完全平方公式法:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2; (2)因式分解的思想与解题步骤 ①先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式; ②再看能否使用公式法; ③用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的; ④因式分解的最后结果,必须是几个整式的积; ⑤因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止. 2.方法规律: (1)运用完全平方公式分解因式的条件:a.应是三项式;b.其中两项同号,且各为一整式的平方;c.还有一项可正可负,且它是另两项幂的底数乘积的2倍; (2)分解因式首先考虑是否有公因式,之后再考虑用公式法分解. 1.36x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值为( ) 当堂训练 (A)48 (B)24 (C)-48 (D)±48 2.分解因式4n3-4n2+n= . 3.分解因式:2mx2+4mx+2m= . 4.用简便方法计算: 68

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(1)2 0012-4 002+1;(2)9992;(3)2 0022. 板书设计 第2课时 运用完全平方公式 1.完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 2.完全平方公式的特点: (1)必须是三项式(或可以看成三项的); (2)有两个同号的平方项; (3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍). 简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央. 教学反思 第十五章 分 式

主题 教学内容 教材分析 本章教材从生活实例出发引入分式的概念,在此基础上让学生掌握分式的基本性质、分式的乘除、乘法法则及加减运算法则,会进行简单的分式运算.同时经历分式方程概念、分式方程的解法以及解可化为一元一次方程的分式方程的过程.本章的内容是初等数学的基础,学好本章知识是为进一步学习方程、函数等知识作好铺垫. 1.知识与技能 (1)了解分式的概念,熟练掌握分式的基本性质; (2)会进行分式的约分、通分和加、减、乘、除四则运算; (3)了解分式方程的概念,会解可化为一元一次方程的分式方程; 教学目标 (4)能通过列分式方程解决一些简单的实际问题. 2.过程与方法 (1)通过用字母表示现实情境中数量关系,了解分式、分式方程的概念,体会模型思想; (2)通过观察、归纳、类比、猜想获得分式的基本性质,培养推理能力与代数恒等变形能力; (3)经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程,提高分析问题、解决问题的能力,增强应用意识. 3.情感、态度与价值观 (1)通过学习,获得学习代数知识的常用方法,感受学习代数的价值; (2)学生通过讨论,大胆发表自己的意见,培养主动学习,勇于探索,合作交流的意识. 15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程. 分 式 课型 新授课 上课时间 69

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教学 重难点 重点:1.熟练掌握分式的基本性质,会化简分式. 2.会进行分式的约分、通分和加、减、乘、除四则运算. 3.了解分式方程的概念,会解可化为一元一次方程的分式方程. 难点:1.能解决一些简单的与分式、分式方程有关的实际问题. 2.能够根据具体问题中的数量关系列出方程,会检验分式方程的根. 知识结构 课题 教学目标 教学 重难点 教学活动设计 重点:了解分式的概念,能判断一个代数式是否为分式,会求分式的值. 15.1.1从分数到分式 课时 1课时 上课时间 1.使学生了解分式的概念,明确分母不得为零是分式概念的组成部分. 2.使学生能够求出分式有意义的条件. 3.准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 难点:理解当分母不为零时分式才有意义;在分式有意义的条件下,会求分式的分母中所含字母的取值范围;会确定分式的值为零的条件. 二次设计 课堂导入 多媒体展示,学生欣赏一组图片(长江三峡).并出示以下问题: (1)如果客船早6时从白帝城启航,顺水而下,傍晚6时到达江陵,航程600千米,客船航行的平均速度约为多少千米/小时? (2)如果客船8小时航行了s千米,该船航行的平均速度是多少? 70

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(3)如果客船在静水中的航行速度为v千米/小时,江水流动的平均速度为20千米/小时.那么客船顺水而下,航行600千米需多少时间?如果客船逆水航行s千米,需要多少时间? 你能解答情境导入中的问题吗?与同学交流. 自学指导 1.面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2 400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务,原计划每月固沙造林多少公顷? 探索新知 合作探究 (1)这一问题中有哪些等量关系? (2)如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要 个月,实际完成一期工程用了 个月;根据题意,可得方程 . 2.解读探究: ,,-=4 认真观察上面的式子,方程有什么特点? 做一做 1.由学生分组讨论分式的定义,对于“两个整式相除叫做分式”等错误,由学生举反例一一加以纠正,得到结论: 用A,B表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母. 续表

2.由学生举几个分式的例子. 3.学生小结分式的概念中应注意的问题. 4.问:何时分式的值为零?(以2中学生举出的分式为例进行讨论) 例1当a=1,2时,求分式例2当x取何值时,分式探索新知 合作探究 的值. 有意义? 思考:若把题目要求改为:“当x取何值时,下列分式无意义?”该怎样做? 例3:当x取何值时,分式合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 学生在讨论、交流、合作、探究活动中形成分式概念、掌握分式有意义、分式值为0的条件.在活动中注重引导学生体会用类比的方法(如类比分数的概念形成分式的概念)扩展知识的过程,培养学生学习的主动性和积极性. 的值为零? 71

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教师指导 1.归纳小结: 分式中的分母是含有字母的代数式,它的值随分式中字母的取值的变化而变化.对于分式,要确定其是否有意义,就必须分析分母中所含字母的取值. 2.方法规律: (1)分式有无意义的条件: a.若B≠0,则分式有意义;b.若B=0,则分式无意义. (2)分式的值为零的条件:若则分式的值为零,反之也成立. 1.下列各式中,可能取值为零的是( ) 当堂训练 (A) (B) (C) (D) 无意义. 2.当x 时,分式3.分式,当x 时,分式有意义,当x 时分式值为零. 板书设计 15.1.1 从分数到分式 1.分式的定义 (B中含有字母) 2.分式有意义的条件: 中3.分式值为0的条件 (同时具备) 4.小结 分式 教学反思 课题 15.1.2分式的基本性质 教学目标 教学重 难点 课时 1课时 上课时间 1.使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则,并能运用这些性质进行分式的恒等变形. 2.通过分式的恒等变形提高学生的运算能力. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 重点:理解并掌握分式的基本性质. 难点:灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形. 二次设计 教学活动设计 72

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课堂中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载,如《九章算术》中就曾记载“约分术”,并给出了自学指导 1.类比分数的基本性质,由学生总结出分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即:=,=(其中M是不等于零的整式). 导入 详细的约分方法,这节课我们就来学习分式化简的相关知识,下面先来探索分式的基本性质. 2.加深对分式基本性质的理解: 例1下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1)=(c≠0); 由学生口述分析,并反问:为什么c≠0? (2)=; 学生口答,教师设疑:为什么题目未给x≠0的条件?(引导学生学会分析题目中的隐含条件.) 探索新知 合作学生口答. 探究 例2:填空: (1)=;(2)=;(3)=. (3)=(z≠0). 把学生分组开展竞赛,看哪个组做得又快又准确,并能小结出填空的依据. 教师给出定义: 把分式分子、分母的公因式约去,这种变形叫分式的约分. 问:分式约分的依据是什么? 分式的基本性质 例3在化简分式小颖:=;小明:时,小颖和小明的做法出现了分歧: ==. 你对他们俩的解法有何看法?说说看! 教师指出:一般约分要彻底,使分子、分母没有公因式.彻底约分后的分式叫最简分式. 续表 探索新知 合作探究 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 (1)应注意分式基本性质的三个要点; 73

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(2)要注意题目中是否有隐含条件; (3)要注意变形的技巧. 教师指导 1.归纳小结: (1)分式的基本性质=,=表达式中的C是不为零的整式,只有明确C不为零时,分式的分子、分母才能同乘以或同除以整式C; (2)分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形;(3)确定分式的最简公分母的步骤: a.取各分式的分母中系数的最小公倍数; b.各分式的分母中所有字母或因式都要取到; c.相同字母(或因式)的幂取指数最大的; d.所得系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母. 2.方法规律: (1)由分式的基本性质我们可以总结出分式的符号法则:分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变; (2)通分时,当分母是多项式时,能分解因式的要先分解因式,将多项式化为积的形式,然后再确定最简公分母; (3)分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的约分,分式的分子和分母必须都是乘积的形式,才能进行约分,约分后的结果可能是整式. 1.下列分式是最简分式的是( ) (A)当堂训练 (B) (C) (D) 2.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1);(2);(3),,. ;(2),,. 板书设计 3.通分:(1)15.1.2 分式的基本性质 1.回顾分数基本性质 2.分式的基本性质(C≠0) =,=. 3.分式的约分类比分数约分 4.分式的通分类比分数通分 教学反思

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课题 教学目标 教学 重难点 15.2.1分式的乘除 1.会用分式乘除法则进行运算 2.会进行分式乘除运算 重点:理解并掌握分式的基本性质. 难点:灵活运用分式乘除法则进行运算. 二次设计 课时 第1课时 上课时间 教学活动设计 观察下列运算: 课堂导入 ×=,÷=×= 以上是以前学习的分数的乘法与除法,分数乘法与除法的运算法则分别是什么?今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除. 自学指导 问题1:上述运算,我们熟悉吗?它的依据是什么? 问题2:能用文字表述这一法则吗? 问题3:一个长方形容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高为多少? 问题4:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 思考: 问题1:我们熟悉分数的乘除,那分式的乘除是怎样计算的?你能归纳出分式的乘除运算法则吗? 问题2:你能用字母表达式表示分式的乘除法则吗? 例题巩固 【例1】计算:(1)·【例2】计算:(1);(2)·÷;(2). ÷. 探索新知 合作探究 思考:例2与例1有什么区别?能不能直接约分?不能约分怎么办?如何化积? 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 (1)强调计算要对照乘除法法则进行运算; (2)强调运算结果如果不是最简分式时,一定要进行约分,使运算结果化为最简分式或整式; (3)当分子、分母是多项式时,一般应先分解因式,并在运算过程中约分,可以使运算简化, 75

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避免走弯路.

续表

教师指导 1.易错点: (1)当除式(或被除式)是整式时,可以看做分母是1的式子,然后按分式乘除法法则计算; (2)要注意运算顺序,在同级运算中,如果没有附加条件(如括号),则应按由左到右的顺序进行计算. 2.归纳小结: 探索新知 合作探究 乘法 法则 除法 法则 法则内容 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母 分式除以分式,把除式中的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 字母表示 ·= ÷=·= 3.方法规律: (1)运用分式的乘除法法则进行分式运算时,首先要确定运算结果的符号,确定方法与分数乘除的符号的确定方法一致; (2)分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. 1.若式子÷有意义,则x的取值范围是( ) (B)x≠-2 (D)x≠-2,x≠-3 (A)x≠-2,x≠-4 当堂训练 2.计算: (1)·;(2)(C)x≠-2,x≠-3,x≠-4 ·. 3.先化简,再求值: ·板书设计 第1课时 分式的乘除 1.分式的乘法法则: 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 2.分式的除法法则: 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 教学反思 ,其中x=,y=.

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课题 15.2.1分式的乘除 教学目标 课时 第2课时 上课时间 1.能应用分式的乘除法,乘方进行混合运算. 2.能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算. 3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,体会学习数学的兴趣. 2.能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算. 难点:能分清乘方、乘除的运算顺序,进行分式的乘除、乘方混合运算. 二次设计 (m为正整数)指出底数a可以代表一个数,一个表示分式的教学 重点:1.理解并记住分式乘方的法则. 重难点 教学活动设计 复习乘方的意义:am=课堂导入 整式或代数式,所以.也可以是一个分式当底数,a为分式,当m为正整数时,乘方. 那么,分式的乘方怎么计算呢? 自学指导 一、同学们会计算下列题目吗? (1)÷;(2)4. ·; (3)-÷×;(4)问题1:以上四个题目分别涉及什么运算? 问题2:它们涉及的运算法则或运算顺序我们熟悉吗? 探索合作探究 问题2:若将前面成“n”呢? 问题3:通过问题2的研究,你能归纳出分式乘方的法则吗? 小试身手: 计算:(1)合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 续表 探索3.师生合作解决问题 2;(2)4中的分子、分母由数替换为字母,即4,你会计算吗?若把指数“4”替换 二、深化探究 ÷·吗? 新知 问题1:你会计算-3. 77

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新知 合作探究 (1)充分应用知识迁移,归纳出分式乘方法则,培养学生的自主探究,善于应用旧知识进行拓展延伸的能力,以及交流意识; (2)以老师的讲带动学生的思维,达到师生互动的目的.学生归纳总结本节课的主要内容,交流在探索混合运算的过程中的心得体会,不断积累数学活动经验. 教师指导 1.归纳小结: (1)分式的乘方运算就是把分子、分母分别乘方; (2)分式的乘除与乘方的混合运算,应注意运算顺序:先做乘方,再做乘除. 2.方法规律: (1)可以把分式的乘方看做商的乘方; (2)注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减; (3)运算结果如能约分,应约分; (4)分子、分母是多项式的,先分解因式便于约分. 1.判断下列各式是否成立,并改正. (1)=;(2)=;(3)=. 2.计算(1)(2)4m2n÷3.计算 (1)(2)4.化简板书设计 第2课时 分式的乘方 1.分式乘方的法则: ÷÷÷= ; ·= . 当堂训练 ; . ·. 分式的乘方就是把分子、分母分别乘方 2.分式的混合运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减. 教学反思 课题 教学目标 15.2.2分式的加减 课时 第1课时 上课时间 1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算. 2.会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减. 78

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3.渗透类比转化的数学思想方法. 教学 重难点 重点:理解并掌握分式加减法法则. 难点:会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算. 二次设计 ,,的最简公分母是什么?你能说出最简公分母的确定方教学活动设计 1.请同学们说出法吗? 课堂导入 2.你能举例说明分数的加减法法则吗?仿照分数加法与减法的法则,你会做以下题目吗? (1)+;(2)+-. 分式的加减法的实质与分数加减法的实质相同,你能说出分式的加减法法则吗? 今天我们就学习分式加减法. 自学指导 阅读教材内容,思考并回答下面的问题 1.分式的加减法法则是: 同分母分式相加减: 不变,把 相加减. 异分母分式相加减:先 ,变为 的分式,再加减. 用式子表示是:±= ; 用式子表示为:±= . 探索新知 合作探究 预习评估 1.下列计算正确的是( ) (A)+= (C)-= 2.计算. (1)(2)+-+-. ; (B)+=(D)+=2.,,的最简公分母是什么?你能说出最简公分母的确定方法吗? 续表 探索新知 自主探究 79

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合作探究 【探究一】同分母分式的加减 计算:-. 【探究二】异分母分式的加减 计算(1)+-;(2)m+2--. +其中m=-5. 【探究三】化简求值,教师指导 1.归纳小结: (1)分式的加减法运算与分数的加减法运算类似,学会类比; (2)分式的加减注意符号的变化,最终结果约分化到最简形式. 2.方法规律: a.同分母分式相加减,分母不变,只把分子相加减,做减法时,应注意符号变化. b.异分母分式相加减,应先通分,通分时确定最简公分母的方法: (1)系数——各分母系数的最小公倍数; (2)字母——各分母所含的所有字母; (3)指数——分母中相同字母的最高指数. 1.计算(A)0 当堂训练 2.计算: (1)+;(2)-a-1. -. -的结果是( ) (C)-1 (D)x (B)1 3.化简板书设计 第1课时 分式的加减 分式的加减法法则 1.同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减. 2.异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减. 教学反思 课题 教学目标 教学 15.2.2分式的加减 课时 第2课时 上课时间 1.掌握分式加减乘除法的法则,并会运用法则进行分式加减乘除法的计算. 2.能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题. 重点:熟练地进行分式的混合运算. 80

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重难点 教学活动设计 提出问题: 课堂导入 1.说出有理数混合运算的顺序. 2.类比有理数混合运算的顺序,同学们能说出分式的混合运算顺序吗? 今天我们共同探究分式的混合运算. 自学指导 一、自我尝试: 计算:(1)-÷;(2)2÷难点:熟练地进行分式的混合运算. 二次设计 -2; 分析:这两道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. (3)探究此题怎样计算:(4)1-2÷-x+1; . 二、学教互动: 探索新知 合作探究 计算 (1)-÷; [分析]这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-”号提到分式本身的前边. (2)·-÷; [分析]这道题先做乘除,再做减法. (3)2·-÷. [分析]先乘方再乘除,然后加减. 三、拓展延伸: 计算: (1)(2)续表 探索新知 合作四、反馈检测: (1)+;(2)÷; +-a-1. +; 81

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探究 (3)-;(4)a+2+. 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 熟练掌握分式的混合运算,知道运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分式的加、减、乘、除混合运算注意按分式的运算顺序法则进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便. 教师指导 1.易错点: 在分式运算中,经常出现由于疏忽大意,或者套用相关运算律等出现的错误. 2.归纳小结: 分式的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的. 3.方法规律: (1)分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的; (2)最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式; (3)分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算. 1.计算: (1)当堂训练 2.先化简代数式3.已知a+=5,求板书设计 第2课时 分式的混合运算 分式混合运算的顺序:先乘方,再乘除,然后加减,遇到括号要先算括号内的. 教学反思 ÷1-的值. ,再从-4导与练初中•教案数学(人教)(8上)

重难点 教学活动设计 课堂同底数幂的除法公式为am÷an=am-n,有一个附加条件:m>n,即被除数的指数大于除数的指数.自学指导 问题1:你还记得下面这些算式的算法吗?完成后,说出它们所反映的公式. (1)33×35;(2)(x3)3;(3)(mn)4;(4)a5÷a3;(5)x7÷x7;(6)a7÷a8. 问题2:(1)你还记得a0=1(a≠0)是怎么得到的吗? (2)同底数幂除法公式am÷an=am-n中a,m,n有什么限制吗? (3)你会计算它们吗?53÷55= ;103÷107= . (4)由以上计算,你能发现什么? (5)请你类比0指数的规定,你认为可作怎样的规定?能用一般的公式表示吗? (6)议一议:为什么公式中规定a≠0? 深化探究 (1)填一填: 探索新知 合作探究 a0×a-5=( )·=( )=a( )+( ) 难点:会用科学记数法表示小于1的数. 二次设计 导入 当被除数的指数不大于除数的指数,即m=n或m导与练初中•教案数学(人教)(8上)

1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数,从而归纳出:对于一个小于1的数,如果小数点后至第一个非0数字前有几个0,用科学记数法表示这个数时,10的指数就是负几. 教师指导 1.归纳小结: 正整数指数幂的运算性质: (1)am·an=am+n(m,n是正整数); (2)(am)n=amn(m,n是正整数); (3)(ab)n=anbn(n是正整数); (4)am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n); (5)=(n是正整数); (6)a0=1(a≠0). 2.方法规律: (1)任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数,即a-n=(a≠0,n为正整数).在这两个幂的意义中,强调底数a都不等于零,否则无意义; (2)学习零指数幂和负整数指数幂后,正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂范围. 1.某一种重量为0.000 106千克,机身由碳纤维制成,且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人,0.000 106用科学记数法可表示为( ) 当堂训练 (A)1.06×10-4 2.计算: (1)(x3y-2)2;(2)x2y-2·(x-2y)3; (3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3;(4)(3×10-5)3÷(3×10-6)2. 板书设计 15.2.3 整数指数幂 1.负整数指数幂的意义. 2.整数指数幂的运算性质. 3.会用科学记数法表示小于1的数. 教学反思 (B)1.06×10-5 (C)10.6×10-5 (D)106×10-6 课题 15.3分式方程 课时 第1课时 上课时间 84

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教学目标 教学 重难点 二教学活动设计 次设计 课堂导入 1.什么是方程? 2.什么是一元一次方程? 3.解一元一次方程的一般步骤是什么? 我们今天将学习另外一种方程——分式方程. 自学指导 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 分析:设江水的流速为v千米/时,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程:探索新知 合作探究 =. 重点:可化为一元一次方程的分式方程的解法. 难点:检验分式方程解的原因. 1.使学生理解分式方程的意义. 2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法. 3.了解解分式方程解的检验方法.从而渗透数学的转化思想. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 分式方程与整式方程的区别在哪里?通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在分母的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是整式方程.前面我们学过一元一次方程的解法,但是分式方程中分母含有未知数,我们又将如何解? 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程,具体的方法是去分母,即方程两边同乘以最简公分母. 如解方程:=① 去分母:方程两边同乘以最简公分母(20+v)(20-v),得 100(20-v)=60(20+v)② 解得v=5, 观察方程①,②中的v的取值范围相同吗? ①由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何实数. 这说明,对于方程①来说,必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根,使原分式方程中至少有一个分式的分母 85

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的值为0,也就是说,使变形时所乘的整式的值为0,它就不适合原方程,即是原分式方程的增根.因此,解分式方程必须验根. 如何验根:将整式方程的根代入最简公分母,看它的值是否为0.如果为0即为增根.

续表

如解方程:=. 分析:为去分母,在方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5), 得整式方程:x+5=10,解得:x=5,将x=5代入原方程的最简公分母检验,发现这时分母x-5和x2-25的值都是0,相应的分式无意义.因此,x=5虽是整式方程的解,但不是原分式方程的解.实际上,这个方程无解. 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 教师指导 探索新知 合作探究 1.归纳小结: (1)分式方程有两个重要特征:①必须是方程;②分母中必须含有未知数. (2)整式方程和分式方程统称为有理方程. (3)解分式方程的思路:将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母. (4)验根:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 【说明】在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫原方程的增根,分式方程的增根,它满足于去分母后所得的整式方程,不满足原分式方程. 2.方法规律: 解分式方程的一般步骤 当堂1.如果关于x的分式方程=1- 有增根,则m的值为( ) 训练 (A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)3 2.关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是 . 86

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3.解方程: (1)=板书设计 第1课时 分式方程的解法 1.分式方程的概念. 2.分式方程的解法. 3.产生增根的条件. 教学反思 ;(2)=-3. 课题 15.3 分式方程 课时 第2课时 上课时间 1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结. 教学目标 2.通过日常生活中的情境创设,经历探索分式方程应用的过程,提高学生运用方程思想解决问题的能力,和思维水平. 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,引导学生努力寻找解决问题的方法,体会数学的应用价值. 教学 重难点 重点:实际生活中分式方程应用题数量关系的分析. 难点:将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示,并进行归纳总结. 二次设计 教学活动设计 1.引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤.学生积极思考,并交流、讨论总结出: 第一步,审清题意; 第二步,根据题意设未知数; 课堂导入 第三步,列式子并找出等量关系; 第四步,列方程,并解出答案; 第五步,检查方程的解是否符合题意; 第六步,作答. 2.提问:分式方程的应用题应该怎么解呢? 自学指导 问题:自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书. 探索新知 合作探究 比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前1分钟跑到终点,请你算算它们各自的速度. 深化探究 87

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【例题】某列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少? 合作探究 1.小组合作分析问题 2.小组合作答疑解惑 3.师生合作解决问题 续表

教师指导 1.归纳小结: 列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答. 探索新知 合作探究 2.方法规律: 常见的应用问题: (1)行程问题:路程=速度×时间以及它的两个变式; (2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法; (3)工程问题:工作量=工时×工效以及它的两个变式; (4)顺逆问题:顺速=静速+水速;逆速=静速-水速; (5)利润问题:批发成本=批发数量×批发价;批发数量=批发成本÷批发价;打折销售价=定价×折数;销售利润=销售收入-批发成本;每本销售利润=定价-批发价;每本打折销售利润=打折销售价-批发价,利润率=利润÷进价. 1.几名同学包租一辆车去旅游,面包车的租价为180元,出发前,又增加两名同学,结果每个同学比原来少分摊3元车费,若设原来参加旅游的学生有x人,则所列方程为( ) (A)当堂训练 (C)--=3 =3 (B)(D)--=3 =3 2.从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍. (1)求普通列车的行驶路程; (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度. 板书设计 第2课时 分式方程与应用题 1.行程问题 路程=速度×时间 2.工程问题: 工作量=工作效率×工作时间 88

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3.列分式方程的步骤 (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答. 教学反思

教材典题变式

第十一章 三角形

11.1 与三角形有关的线段

11.1.1 三角形的边

(教材P3例题变式)已知一个等腰三角形的两边长

分别为4和9,求这个三角形的周长.

解:根据题意可知等腰三角形的三边可能是4,4,9

或4,9,9,

因为4+4<9,故4,4,9不能构成三角形,应舍去;

4+9>9,故4,9,9能构成三角形,

所以它的周长是4+9+9=22.

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

1.(教材P5练习1变式)以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高,其中画法正确的是( B )

解析:选项A.BC边上的高必须过顶点A,显然该图

没有经过顶点A,不符合题意;选项B.高AD交BC

的延长线于点D处,符合题意;选项C.不是BC边上

的高,而是AC边上的高,不符合题意;选项D.AD不

垂直于BC,不符合题意.故选B.

2.(教材P5练习2变式)在△ABC中,AC=5 cm,AD

是△ABC中线,若△ABD周长比△ADC的周长大2

cm,则BA= 7 cm .

11.1.3 三角形的稳定性

(教材P7练习变式)大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门,它常常做成四边形的形状,你知道这是为什么吗?

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解:伸缩门做成四边形的形状,是利用四边形的易变形的特性.

11.2 与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角

1.

(教材P12例1变式)在△ABC中,∠A=∠B=∠

ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的角平分线,求∠DCE的度数.

解:因为∠A=∠B=∠ACB,

设∠A=x,

所以∠B=2x,∠ACB=3x,

因为∠A+∠B+∠ACB=180°,

所以x+2x+3x=180°,

解得x=30,

所以∠A=30°,∠B=60°,∠ACB=90°.

因为CD是△ABC的高, 所以∠ADC=90°, 所以∠ACD=90°-30°=60°, 因为CE是∠ACB的角平分线,

所以∠ACE=×90°=45°,

所以∠DCE=∠ACD-∠ACE

=60°-45°=15°.

2.

(教材P14例3变式):如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是一条角平分线,它们交于点P.已知∠APE=60°.求∠DAC的度数. 解:因为AD是BC边上的高线, 所以∠ADC=90°, 又因为∠DPC=∠APE=60°,

所以∠ECB=180°-∠DPC-∠ADC=30°,

因为CE平分∠ACB,

所以∠ACE=∠ECB=30°,

所以∠ACD=60°,

所以∠DAC=180°-∠ACD-∠ADC=30°.

11.2.2 三角形的外角

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(教材P15例4变式)如图,在△ABC中,角平分线AD,BE,CF交于点I,

(1)∠BIC与∠BAC的大小有什么关系?为什么? (2)∠CIA与∠ABC的大小有什么关系?为什么? 解:(1)由三角形的外角性质得, ∠BID>∠BAD,∠CID>∠CAD,

因为∠BIC=∠BID+∠CID,

∠BAC=∠BAD+∠CAD,

所以∠BIC>∠BAC;

(2)由三角形的外角性质得, ∠CIE>∠CBE,∠AIE>∠ABE, 因为∠CIA=∠CIE+∠AIE, ∠ABC=∠CBE+∠ABE, 所以∠CIA>∠ABC.

11.3 多边形及其内角和

11.3.1 多边形

(教材P21练习2变式)从四边形的一个顶点出发可画 1 条对角线,

从五边形的一个顶点出发可画 2 条对角线, 从六边形的一个顶点出发可画 3 条对角线, 请猜想从七边形的一个顶点出发有 4 条对角线,

从n边形的一个顶点出发有 n-3 条对角线,从而

推导出n边形共有 条对角线.

解析:从四边形的一个顶点出发可画1条对角线,从

五边形的一个顶点出发可画2条对角线,

从六边形的一个顶点出发可画3条对角线,

请猜想从七边形的一个顶点出发有4条对角线,

从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,从而推

导出n边形共有

条对角线.

11.3.2 多边形的内角和

(教材P22例1变式)一个多边形的内角和为540°,则它是( B ) (A)四边形 (B)五边形 (C)六边形

(D)不是五边形

解析:设它是n边形,根据题意得, (n-2)·180=540, 解得n=5.故选B.

第十二章 全等三角形

12.1 全等三角形

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(教材P32练习2变式)如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.

(1)你能说明BD,DE,CE之间的数量关系吗? (2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE? 解:(1)BD=DE+CE, 理由:因为△BAD≌△ACE, 所以BD=AE,AD=CE,

所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,

即BD=DE+CE.

(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE,

理由是:因为△BAD≌△ACE, 所以∠E=∠ADB=90°,

所以∠BDE=180°-90°=90°=∠E, 所以BD∥CE.

12.2 三角形全等的判定

第1课时 “SSS”

1.

(教材P36例1变式)已知:如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE. 求证:∠D=∠E.

证明:因为C是AB中点, 所以AC=BC, 在△BCE和△ACD中,

所以△BCE≌△ACD(SSS), 所以∠D=∠E.

2.(教材P36作图题变式):已知:如图,线段a,b,c.

求作:△ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.(保留作图痕

迹,不写作法)

解:如图所示:

△ABC就是所求的三角形.

第2课时 “SAS”

92

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

(教材P38例2变式)如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,∠ABC=∠ABD.点E为BC中点,点F为BD中点,连接AE,AF.求证:AE=AF.

证明:因为BC=BD,点E为BC中点,点F为BD中点,所以BE=BF, 因为在△ABE和△ABF中,

(教材P40例4变式)如图,B,C,E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B. (1)求证:BC=DE;

(2)若∠A=40°,求∠BCD的度数. (1)证明:因为AC∥DE,

所以△ABE≌△ABF(SAS),所以AE=AF.

所以∠ACB=∠DEC,∠ACD=∠D, 因为∠ACD=∠B,

第3课时 “ASA”、“AAS”

所以∠D=∠B,

1.

在△ABC和△DEC中,

(教材P40例3变式)如图,已知AB=AE,∠BAD=∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添加一个条件,这个条

所以CB=DE.

件可以是 .

(2)解:因为△ABC≌△CDE,

解析:由∠BAD=∠CAE得到∠BAC=∠EAD,加上

所以∠A=∠DCE=40°,

AB=AE,所以当添加∠C=∠D时,根据“AAS”可判断△

所以∠BCD=180°-40°=140°.

ABC≌△AED;当添加∠B=∠E时,根据“ASA”可判断△

第4课时 “HL”

ABC≌△AED;当添加AC=AD时,根据“SAS”可判断△ABC≌△AED. 2.

所以△ABC≌△CDE(AAS),

93

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

(教材P42例5变式)如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在证明:(1)因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF. 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE. 证明:因为BE=CF,

所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

因为∠A=∠D=90°,

所以△ABF与△DCE都为直角三角形,

在Rt△ABF和Rt△DCE中,

所以Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).

12.3 角的平分线的性质

1.

(教材P48角平分线性质变式)如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 证明:(1)CF=EB. (2)AB=AF+2EB.

AC,所以DE=DC,

因为在Rt△DCF和Rt△DEB中

所以Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).

所以CF=EB.

(2)因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,

所以CD=DE.在△ADC与△ADE中,

所以△ADC≌△ADE(HL),

所以AC=AE,

所以AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

2.

(教材P50例题变式)如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC, 求证:AD是∠BAC的平分线.

证明:因为DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,所以∠BED=∠CFD=90°,

所以△BDE与△CDF是直角三角形,

94

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

所以Rt△BDE≌Rt△CDF,

所以DE=DF,

所以AD是∠BAC的平分线.

第十三章 轴对称

13.1 轴对称

13.1.1 轴对称

(教材P60练习变式)下列标志中,从图案看不是轴

对称图形的有( B )

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

解析:根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形,只有(3)是轴对称图形.故选B.

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

1.

(教材P62练习变式)如图,在△ABC中,AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△

DBC的周长为35 cm,则BC的长为( C ) (A)5 cm

(B)10 cm

(C)15 cm

(D)17.5 cm

解析:因为△DBC的周长=BC+BD+CD=35 cm,又因

为DE垂直平分AB,

所以AD=BD,

故BC+AD+CD=35 cm, 因为AC=AD+DC=20,

所以BC=35-20=15 cm.故选C.

2.(教材P62例1变式)如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能做出这条直线吗?

解:作法:(1)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长

为半径作弧,两弧相交于E,F两点; (2)作直线EF,EF即为所求的直线.

95

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

3.(教材P63例2变式)如图,已知点A、点B以及直线l,

(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P,使PA=PB.(保留作图痕迹,不要求写出作法);

(2)在(1)中所作的图中,若AM=PN,BN=PM,求证:∠

MAP=∠NPB.

(1)解:如图所示:

(2)证明:在△AMP和△BNP中

因为所以△AMP≌△PNB(SSS)

所以∠MAP=∠NPB.

13.2 画轴对称图形

1.(教材P67例1变式)画出△ABC关于直线l的对

称图形.

解:如图所示:

2.(教材P70例2变式)如图,方格纸中的每个小方

格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角

坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为

(4,-1).

(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;

(2)作△ABC先向左平移6个单位,再向上平移5个单位得△A2B2C2.

解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求,点B1的坐标为

(5,4).

(2)如图所示:△A2B2C2即为所求.

96

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

13.3 等腰三角形

13.3.1 等腰三角形

第1课时 等腰三角形的性质

(教材P76例1变式)如图,已知△ABC为等腰三角形,BD,CE为底角的平分线,且∠DBC=∠F, 求证:EC∥DF.

证明:因为△ABC为等腰三角形,AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB,

因为BD,CE为底角的平分线,

所以∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,

所以∠DBC=∠ECB,

因为∠DBC=∠F,

所以∠ECB=∠F,

所以EC∥DF.

第2课时 等腰三角形的判定

(教材P78例2变式)如图,在△ABC中,∠

ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.

证明:因为在△ABC中,∠ACB=90°, 所以∠B+∠BAC=90°, 因为CD是AB边上的高, 所以∠ACD+∠BAC=90°, 所以∠B=∠ACD,

因为AE是∠BAC的角平分线, 所以∠BAE=∠EAC,

所以∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC, 即∠CEF=∠CFE, 所以CE=CF,

所以△CEF是等腰三角形.

13.3.2 等边三角形

1.

(教材P80例4变式)如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且

CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点.

97

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

证明:连接BD,

因为在等边△ABC,且D是AC的中点,

理由如下:因为DE⊥AB,

所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°,

所以∠AED=∠BED=90°, 因为DE是∠ADB的平分线, 所以∠ADE=∠BDE, 又因为DE=DE, 所以△AED≌△BED(ASA), 所以AD=BD, ∠DAE=∠B,

解:CD=DB.

∠ACB=60°, 因为CE=CD,

所以∠CDE=∠E, 因为∠ACB=∠CDE+∠E, 所以∠E=30°, 所以∠DBC=∠E=30°,

因为∠BAD=∠CAD=∠BAC,

所以∠BAD=∠CAD=∠B,

所以BD=ED,△BDE为等腰三角形,

因为AD=BD,∠BAD+∠CAD+∠B=90°,

又因为DM⊥BC,

所以∠B=∠BAD=∠CAD=30°,

所以M是BE的中点.

在直角三角形ACD中,

2.

∠CAD=30°,

所以CD=AD=BD,

(教材P81例5变式)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠

即CD=DB.

13.4 课题学习 最短路径问题(略)

ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说

第十四章 整式的乘法

明理由.

与因式分解

98

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

14.1 整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

(教材P96例1变式)若82a+3·8b-2=810,求2a+b的值.

解:82a+3·8b-2=810, 82a+3+b-2=810, 所以(2a+3)+(b-2)=10, 2a+b+3-2=10, 2a+b=9.

14.1.2 幂的乘方

(教材P96例2变式)计算:

(1);(2);

(3);(4).

解:(1)=a3×4=a12.

(2)

=x2(m-1)=x2m-2.

(3)

=24×3×3=236.

(4)=(m-n)12.

14.1.3 积的乘方

1.(教材P97例3变式)

(1)(-5ab)3; (2)-(3x2y)2; (3)(-xmy3m)2.

解:(1)(-5ab)3=(-5)3a3b3=-125a3b3. (2)-(3x2y)2=-32x4y2=-9x4y2. (3)(-xmy3m)2=(-1)2x2my6m =x2my6m.

2.(教材P97例3变式)已知ax=2,ay=3,求a3x+2y的值.

解:a3x+2y=(a3x)(a2y) =(ax)3(ay)2=8×9=72.

14.1.4 整式的乘法

第1课时 单项式与单项式、多项式相乘

1.(教材P98例4变式)计算: (1)(-2x2y)2·(-3xy);

(2)-6m2n·(x-y)3·mn2(y-x)2.

解:(1)(-2x2y)2·(-3xy)

=4x4y2×(-3xy) =-12x5y3.

(2)-6m2n·(x-y)3·mn2(y-x)2

=-6×m3n3(x-y)5

99

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

=-2m3n3(x-y)5.

2.(教材P100例5变式)先化简,再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2. 解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4) =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a,当a=-2时, 原式=-20×4-9×2=-98.

第2课时 多项式与多项式相乘

(教材P101例6变式)解不等式:(3x-1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)≥0.

解:去括号,得6x2-11x+3-6x2+29x-20≥0, 合并同类项,得18x-17≥0. 移项,得18x≥17.

系数化为1,得x≥.

第3课时 整式的除法

1.(教材P103例7变式)已知am=4,an=2,al=3,求

am-n-l的值.

解:因为am=4,an=2,al=3,

所以am-n-l=am÷an÷al=4÷2÷3=.

2.(教材P103例8变式)计算:(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2).

解:原式=72x3y4÷(-9xy2)+(-36x2y3)÷(-9xy2)+9xy2÷(-9xy2)

=-8x2y2+4xy-1.

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

(教材P108例1变式)利用平方差公式计算: (1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a). 解:(1)(3x-5)(3x+5) =(3x)2-52 =9x2-25. (2)(-2a-b)(b-2a) =(-2a)2-b2 =4a2-b2.

14.2.2 完全平方公式

1.(教材P110例3变式)利用完全平方公式计算:

(1)(5-a)2;

(2)(-3m-4n)2;

(3)(-3a+b)2.

解:(1)(5-a)2=25-10a+a2. (2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2. (3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.

100

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

2.(教材P110例4变式)利用乘法公式计算: (1)982-101×99;

(2)2 0142-2 014×4 026+2 0132. 解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1=-395.

(2)原式=2 0142-2×2 014×2 013+2 0132 =(2 014-2 013)2 =1.

3.(教材P111例5变式)计算:(1)(a-b+c)2;

(2)(1-2x+y)(1+2x-y). 解:(1)原式=[(a-b)+c]2 =(a-b)2+c2+2(a-b)c =a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc

=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc.

(2)原式=[1+(-2x+y)][1-(-2x+y)]

=12-(-2x+y)2

=1-4x2+4xy-y2.

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

(教材P115例1变式)已知串联电路的电压

U=IR1+IR2+IR3,当

R1=12.9,R2=18.5,R3=18.6,I=2.3时,求U的值. 解:U=I(R1+R2+R3) =2.3×(12.9+18.5+18.6) =2.3×50 =115.

14.3.2 公式法

第1课时 运用平方差公式

1.(教材P116例3变式)分解因式:

(1)a4-b4;

(2)x3y2-xy4.

解:(1)原式=a2+b2a2-b2 =a2+b2a-ba+b.

(2)原式=xy2(x2-y2)=xy2(x+y)(x-y).

2.(教材P116例4变式)248-1可以被60和70之

间某两个自然数整除,求这两个数.

解:248-1=(224+1)(224-1)

=(224+1)(212+1)(212-1) =(224+1)(212+1)(26+1)(26-1),

因为26=64,

所以26-1=63,26+1=65,

所以这两个数是65,63.

第2课时 运用完全平方公式

101

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

(教材P118例6变式)已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2x3y2+x4y2的值.

的值为( C )

解:因为x2-4x+y2-10y+29=0,

(A)-1 (B)1或-1

所以(x-2)2+(y-5)2=0;

(C)1

又因为(x-2)2≥0,(y-5)2≥0,

解析:由题意得x2-1=0,且x+1≠0,解得x=1,故选C.

所以x-2=0,y-5=0,

(D)1且-1

2.(教材P128例1变式)若使分式的值为零,则x

15.1.2 分式的基本性质

所以x=2,y=5; 所以x2y2+2x3y2+x4y2 =4×25+2×8×25+16×25 =25(4+16+16) =25×36=900.

解:(1)

1.(教材P131例3变式)约分:(1)

;

(2).

第十五章 分 式

15.1 分 式

15.1.1 从分数到分式

1.(教材P128例1变式)使分式

无意义的x的值

=

=-.

(2)

是( C ) (A)x=0 (B)x≠0

=

=

(C)x= (D)x≠

.

2.(教材P132例4变式)通分:

解析:由分式有意义的条件得3x-1≠0,

,

解得x≠.故选C.

解:最简公分母为3(a-3)(a-2)(a+1),

,

.

102

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

=-

=-,

=

=,

=

=

.

15.2 分式的运算

15.2.1 分式的乘除

第1课时 分式的乘除

1.(教材P136例1变式)计算:

(1)

·

;

(2)

·

.

解:(1)

·

=-

=-

=-.

(2)·

=·

=·

=-.

2.(教材P136例2变式)先化简,再求值:·

,其中x=,y=.

解:原式=

·

=,将x=,y=代入得,原式=24.

第2课时 分式的乘方

(教材P139例5变式)计算:

(1)-2·

-3·-4;

(2)

÷

2·

.

解:(1)原式=·-·=-.

(2)原式=

·

·

=

.15.2.2 分式的加减

103

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

第1课时 分式的加减

1.(教材P140例6变式)(1)-;

(2)+.

解:(1)

-=

=

=

==a-b.

(2)+

=-

=

=.

2.(教材P141例7变式)先化简再求值:

÷

（+）,其中x=2,y=2 017.

解:原式=÷

=·=,

当x=2,y=2 017时,原式===.

第2课时 分式的混合运算

(教材P141例8变式)分式计算:

(1)（

-）·;

(2)（x+

）÷（2+

-）.

解:(1)原式=

·

=2a+12.

(2)原式=

÷

=

·

=.

2.3 整数指数幂

1.(教材P144例9变式)计算:(1)(x3y-2)2;

(2)x2y-2·(x-2y)3;

(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3; (4)(3×10-5)3÷(3×10-6)2.

解:(1)原式=x6y-4=.

(2)原式=x2y-2·x-6y3 =x-4y=.

104

15.

导与练初中•教案数学(人教)(8上)

(3)原式=9x4y-4÷x-6y3 =9x4y-4·x6y-3

=9x10y-7=.

(4)原式=(27×10-15)÷(9×10-12)

=3×10-3.

2.(教材P145例10变式)用小数表示下列各数:

(1)2×10-7;(2)3.14×10-5;

(3)7.08×10-3;(4)2.17×10-1. 解:(1)2×10-7=0.000 000 2. (2)3.14×10-5=0.000 031 4. (3)7.08×10-3=0.007 08. (4)2.17×10-1=0.217.

15.3 分式方程

第1课时 分式方程的解法

(教材P151例1例2变式)解分式方程: +

=

+

.

解:通分得=,

当2x-10=0,即x=5时,满足方程;

当2x-10≠0,即x≠5时,方程变形得x2-10x+24=x2-10x+21,无解,

经检验x=5是分式方程的解.

第2课时 分式方程与应用题

(教材P152例3变式)抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少.单独做则超期3个小时才能完成.现甲、

乙两队合作2个小时后,甲队又有新任务,余下的由

乙队单独做,刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成

全部工程各需多少小时?

解:设甲队单独完成需要x小时,则乙队需要(x+3)小

时.由题意得+

=1.

解之得x=6.经检验x=6是方程的解. 所以x+3=9.

答:甲单独完成全部工程需6小时,乙单独完成全部工程需9小时.

105