第⼆章 ⾃动控制系统的数学模型习题2-1 试建⽴图⽰电路的动态微分⽅程。解：（a ）解法⼀：直接列微分⽅程组法-==+O i C O C C u u u R u R u dt du C 21i i O O u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++? 解法⼆： 应⽤复数阻抗概念求)()(11)(11s U s I Cs R Cs R s U O i ++= （1） 2
)()(R s U s I O = （2） 联⽴式（1）、（2），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U i o 212112)1()()
(+++= 微分⽅程为: i io
o u CR dt du u R CR R R dt du 1212
11+=++ （b ）解法⼀：直接列微分⽅程组法++=+===CO
C i O L C O L L L u R u dt du C R u u u u R u i dt di L u)(212 (a) (b) + u C -i
o o o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++?解法⼆： 应⽤复数阻抗概念求++=+=)(]1)()([)()()()(2122
s U sC s U R s U R s U Ls R R s U s U CC O i OC
)()()()()()(221212
1s U R s U R R s sU C R R L s U LCs R io o o =++++? 拉⽒反变换可得系统微分⽅程：i
o o o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++
2-7 证明图⽰的机械系统(a)和电⽹络系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。解：(a)取A 、B 两点分别进⾏受⼒分析。 对A 点有)()()(211y x f x x f x x K o o i o i &
&&&-=-+- (1) 对B 点有 y K y x f o 2
2)(=-&& (2) 对式（1）、（2）分别进⾏拉⽒变换，得)()()(211sY sX f sX sX f X X K oo i o i -=-+- (a)(b) AB
Y K sY sX f o 2
2)(=- 消去中间变量Y ，整理后得2
22221212211i o s f )K s f ](K s )f f [()K s f )(K s f ()s (X )s (X ++++++= =21212121221212212121
()1()1f f f f s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++ (b) 由图可写出 s C R s C R s C R s E s C R s E i o 22221111
111)(1)(+?++=+整理得 1)(1)()()(122211221212211221
21+++++++=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s E s E i o ⽐较两系统的传递函数，如果设2
21122111,1,,K C K C f R f R ====则两系统相似。 2-9 在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为t t e e t c --+-=21)(，试求系统的传递
函数和单位脉冲响应。 解： t 2t e 2e dt
)t (dc )t (k ---== )2s )(1s (23s 1s 12s 2)]t (k [L )s (+++=+-+==Φ 2-10 试绘制下列⽅程组描述的系统的动态结构图，并求传递函数)
()(s R s C 。 )()]()()[()()()(87111s C s G s G s G s G s R s X --= )]()()()[()(36122s X s G s X s G s X -= )()]()()([)(3523s G s G s C sX s X -=
)()()(34s X s G s C =解： 系统结构图如下：
利⽤结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为8
43217432154363243211)(
)(G G
G
G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C -+++= 2-11 试⽤结构图等效化简或梅森公式求图⽰各系统的传递函数)()(s R s C 。解： (a)
1,,1,,,232212112212121=?==?=-=-=G G P G G P H G G L H G L 221123
2211)()(H G G H G G G G G s R s C +++= (b) H G G L H G G L 412211,-=-= H G G G G P G G P 41232212111,,1,+=?==?=H G G H G G H G G G G G G s R s C 41214132211)1()()(++++=
解： (c) H G G G P H G L H G L G G L 3
121133122111,,,,-=?=-=-=-= H G H G G G H G G G s R s C 31213211)1()()(-++-= (d) 1,,1,,2
2211121=?==?=-=G P G P H G L H G G G s R s C 22
11)()(++= 2-12 求图⽰系统的传递函数)()(s R s C ，)()(s D s C 。 解： 22
23211,H G L H G G L =-= :)()(s C s R →1,1211=?=G G P223212
11)()(H G H G G G G s R s C -+= :)()(s C s D →1,,1,2
1212121=?-==?=H G G P G P 223211
2121)()(H G H G G H G G G s D s C -+-= (a)2-13 求图⽰系统的传递函数)()(s R s C ，)()(s R s E 。解：43
25321,G G L G G G L -=-= :)()(s C s R →1,,1,251215321=?==?=G G P G G G P 435325
15321)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= :)()(s E s R →1,,1,125124311=?-=+=?=G G P G G P 435325
14311)()(G G G G G G G G G s R s E ++-+=第三章 时域分析法习题
3-1设温度计需要在⼀分钟内指⽰出响应值的98%，并且假定温度计为⼀阶系统，试求时间常数 。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以 的速度线性变化，求温度计的误差。解：传递函数
3-4 单位负反馈系统的开环传递函数为 ，求该系统的上升时间 、峰值时间 、超调量 和调整时间 。解： , . 。
3-6 系统的单位阶跃响应为 ，试求：(b)
(1) 系统的闭环传递函数；
(2) 系统的阻尼⽐和⽆阻尼⾃然振荡频率。解：(1)(2) , .
3-7 设单位负反馈⼆阶系统的单位阶跃响应曲线如图所⽰，试确定其开环传递函数。解：
3-8 单位负反馈系统的开环传递函数。当时，系统的动态性能指标，，试选择参数及值。解：
3-11 闭环系统的特征⽅程如下，试⽤劳斯判据判断系统的稳定性。（1）（2）（3）（4）(1) Routh：s3 1 9
s2 20 100s1 4
s0 100 第⼀列同号，所以系统稳定。(2) Routh：s3 1 9s2 20 200s1 -1
s0 200 第⼀列变号，所以系统不稳定。(3) Routh：s4 1 18 5s3 8 16s2 16 5s1 216
s0 5 第⼀列同号，所以系统稳定。(4) Routh：s5 1 3 1s4 6 2 1s3 16 5s2 2 1s1 -6
s0 1 第⼀列变号，所以系统不稳定。3-12 单位负反馈系统的开环传递函数解：(1)系统特征⽅程：Routh：s3 1 40s2 14 Ks1 560-Ks0 K
系统稳定，560-K>0,K>0所以：0(2)将代⼊特征⽅程，得：Routh：s3 1 15s2 11 K-27s1 192-Ks0 K-27
192-K>0,K-27>0所以：27
3-13 系统结构如图所⽰，确定系统稳定时的取值范围。解：开环传递函数：特征⽅程：Routh：s3 1 10s2 10
s1s0 10
系统稳定，，即
3-16 单位反馈控制系统的开环传递函数如下。试求各系统的静态位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数，并确定当输⼊信号分别为和时系统的稳态误差。(1) (2)解：(1)(2)I(3) (4)(3)II型系统
(4)由劳斯判据知系统不稳定，故不存在稳态误差。3-17 闭环系统的结构如图所⽰。(1) 当，超调量，调整时间时，试确定参数和的值；
(2) 当输⼊信号分别为时，求系统的稳态误差。解：(1)系统开环传递函数闭环传递函数(2)系统为I型系统，开环增益为
3-18 系统结构如图所⽰，试确定使阻尼⽐和单位斜坡函数输⼊时稳态误差的参数和的取值。解：
3-19 系统结构如图所⽰，其中。试求：(1) 在作⽤下系统的稳态误差；(2) 在和同时作⽤下系统的稳态误差；(3) 在作⽤下，且和时，系统的稳态误差。解：(1) r(t)作⽤时，令，，则(2) 作⽤时，令，(3)
3-20 图⽰复合控制系统中，，
试选择和的值，使系统由型系统的⽆差度提⾼为型系统的⽆差度。
解：
要想系统误差度为III型系统⽆差度，则需要当时，稳态误差零。令得
3-21 系统结构如左图所⽰，
(1) 若为⼀阶环节，输出响应曲线如右图所⽰，求；(2) 若，试求当和时系统的稳态误差。所以，系统稳态误差为：第四章根轨迹分析法习题
4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数，试⽤解析法绘出从零变化到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。解：……
-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3 反馈控制系统的开环传递函数如下，，试画出各系统的根轨迹图。(2) (3) ，解：（2）
1）开环零、极点：p1=0，p2=-1,p3=-4,z=-1.0，n=3，m=12）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点
（3）1）开环零、极点：p1=0，p2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点5）与虚轴交点：
4-5 系统的开环传递函数为，
(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；
(2) 当增益为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。解：（1）
1）开环零、极点：p1=0，p2=-1 z=-2，n=2，m=12）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞）3）分离点和会合点
可以证明该根轨迹是⼀个半径为1.414，原点在-2处的标准圆（2）系统特征⽅程为
4-6 单位反馈系统的前向通道传递函数为，为使主导极点具有阻尼⽐，试确定的值。解：
系统的根轨迹如图: d=-0.45在根轨迹图上作射线: β=±60o与根轨迹相交点为s1和s2设相应两个复数闭环极点分别为：则闭环特征⽅程式可表⽰为⽐较系数，得：
4-7 控制系统的开环传递函数为(1) 绘出该反馈系统的根轨迹图；
(2) 求系统具有阻尼振荡响应的取值范围；(3) 系统稳定的最⼤为多少？并求等幅振荡的频率；
(4) 求使主导极点具有阻尼⽐时的值，并求对应该值时，零极点形式的闭环传递函数。解：（1）
1）开环零、极点：p1=0，p2=-2，p3=-4，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-2），（-4，-∞）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点分离点对应的5）与虚轴交点：
（2）系统具有阻尼振荡响应的取值范围是：（3）系统稳定的，等幅振荡频率为（4）同上题⽅法可求得：阻尼⽐时
4-8单位负反馈系统的开环传递函数为，⽤根轨迹分析系统的稳定性。
解：1）开环零、极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞）3）根轨迹的渐近线：4）分离点和会合点5）与虚轴交点：
所以，系统稳定的取值范围是：4-9 单位负反馈系统的开环传递函数为(1) 画出系统的根轨迹图；
(2) 确定系统临界稳定时的开环增益；(3) 确定与临界阻尼⽐相应的开环增益。解：（1）
①实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,- ]②分离点：求解得③渐近线：根轨迹如图所⽰。(2) 系统临界稳定时(3) 系统临界阻尼⽐时
4-10 系统的开环传递函数为，试绘制系统在时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的值。解：
1）开环零、极点：，n=2，m=12）实轴上根轨迹段：（-2，-∞）3）分离点和会合点
s1=-3.732，s2=-0.268（舍）此时系统即为临界阻尼情况，对应的4）出射⾓
4-12 系统结构如图所⽰，试画出反馈系数为变数的根轨迹。解：
则，系统等效开环传递函数1）分离点和会合点s1=-3.16，s2=3.16（舍）2）与虚轴⽆交点：3）
4-14 系统结构如图所⽰，闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07)点，试绘制从变化时系统的根轨迹。解：
系统特征⽅程为：
将s=-0.65+j1.07代⼊上式，可得：1）根轨迹的渐近线：2）分离点和会合点5）与虚轴交点：所以，与虚轴⽆交点。
4-16 单位反馈系统的闭环特征⽅程为。试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的值和对应的闭环根。解：由系统特征⽅程可得系统等效开环传递函数1）根轨迹的渐近线：2）与虚轴交点：
3）分离点和会合点：分离点对应的此时特征⽅程可写为：
与题⽬已知系统特征⽅程对⽐可得
4-17 控制系统结构如图所⽰，，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：
1）分离点和会合点：此时
增益对系统阻尼特性的影响：时系统都是稳定的；时，系统是过阻尼系统；时，系统是⽋阻尼系统；时，系统⼜变成过阻尼系统。
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