数 学 试 卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
时间120分钟 满分120分
一．选择题（共6小题,满分12分,每小题2分） 1．给出四个数0,A ．0 2．要使A ．x≥2
,,﹣4,其中是无理数的是（ ）
B ．
C ．
D ．﹣4
有意义,则实数x的取值范围是（ ）
B ．x＞0
C ．x≥﹣2
D ．x＞2
3．下列运算正确的是（ ）
A ．A 2•A 3＝A 6 B ．（A 2）3＝A 5 C ．（﹣2A 2）3＝6A 6 D ．（﹣A 2）3＝﹣A 6 4．某校为了解学生的出行方式,通过调查制作了如图所示的条形统计图,由图可知,下列说法错误的是（ ）
A ．步行的人数最少
B ．骑自行车的人数为90
C ．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D ．坐公共汽车的人数占总人数的50%
5．若x＝﹣1是不等式2x+m≤0的解,则m的值不可能是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．如图,已知点A （1,4）,点B （3,5）,在y轴上取一点C ,连接A C ,将线段A C 绕点C 顺时针旋转90°到C D ,连接A D ,B D ,则A D +B D 的最小值是（ ）
1
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二．填空题（共10小题,满分20分,每小题2分） 7．计算|﹣2|+2
﹣1
的结果是 ．
8．分解因式：2A 3﹣8A ＝ ．
9．光明中学全体学生参加社会实践活动,从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图,则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 ．
10．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1,4）,则k＝ ． 11．若代数式
与的值相等,则x＝ ．
12．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 ．
13．圆锥的底面圆的半径是3,其母线长是9,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ． 14．如图,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点O,A ,B 均为格点,则于 ．
的长等
15．如图,将⊙O的内接三角形A B C 绕点B 顺时针旋转40°后得到△A ′B C ′,其中点C ′恰好落在⊙O上,则∠A 的度数是 ．
2
16．如图,在平面直角坐标系中,已知点A （10,0）,OA 绕点O逆时针旋转60°得到OB ,连接A B ,双曲线y＝
（x＞0）分别与A B ,OB 交于点C ,D （C ,D 不与点B 重合）．若C D ⊥OB ,则k的值
为 ．
三．解答题（共11小题,满分88分） 17．（7分）计算（1+
）÷
．
18．（7分）解不等式组,并写出它的正整数解．
19．（8分）如图,已知A C ＝FE,B C ＝D E,点A 、D 、B 、F在一条直线上,A D ＝FB ．求证：△A B C ≌△FD E．
20．（8分）在一个不透明的袋子中有1个红球,2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回袋中并摇匀,在多次重复以上操作后,小明统计了摸到红球的频率,并绘制了如折线统计图：
（1）袋子中一共有 个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球,求摸出的2个球都是白球的概率．
3
21．（8分）某商场统计了A 、B 两种品牌洗衣机7个月的销售情况,结果如下：
月份 销量 品牌 A 品牌 B 品牌
16 16
31 20
29 24
24 25
24 26
24 27
20 30
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
（1）分别求这7个月A 、B 两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足,商场采购部欲从厂家采购A 、B 两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况,对商场采购部提出建议,并从两个不同角度说明由．
22．（8分）如图,在平行四边形A B C D 中,E,F是对角线B D 上的点,且B E＝D F,连接A E,C F． （1）求证△A D E≌△C B F；
（2）连接A F,C E,若A B ＝A D ,求证：四边形A FC E是菱形．
23．（8分）如图,点A 是⊙O直径B D 延长线上的点,A C 与⊙O相切于点C ,A C ＝B C ,B E⊥A C ,交A C 延长线于点E．
（1）求∠A 的度数；
（2）若⊙O的半径为2,求B E的长．
24．（8分）如图,为测量直立在建筑物A B 上的广告牌A C 的高度,小莉在地面上D 的处测得A 的仰角为31°,然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处,此时测试A 、C 的仰角分别为45°、52°,求广告牌A C 的高度．（参考数据：sin31°≈0.52,C os31°≈0.86,tA n31°≈0.60,sin52°≈0.79,C os52°≈0.62,tA n52°≈1.28．）
4
25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）． （1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点,求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值,该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1,y1）,Q（x2,y2）是该二次函数图象上的点,当1＜x1＜x2时,都有y2＜y1＜1,则m的取值范围是 ． 26．（9分）【基础巩固】
（1）如图1,在△A B C 中,D 为A B 上一点,∠A C D ＝∠B ．求证：A C 2＝A D •A B ． 【尝试应用】
（2）如图2,在平行四边形A B C D 中,E为B C 上一点,F为C D 延长线上一点,∠B FE＝∠A ．若B F＝4,B E＝3,求A D 的长． 【拓展提高】
（3）如图3,在菱形A B C D 中,E是A B 上一点,F是△A B C 内一点,EF∥A C ,A C ＝2EF,∠ED F＝∠B A D ,A E＝2,D F＝5,则菱形A B C D 的边长为 ．
27．（9分）数学概念
如图①,A E是△A B C 的角平分线,D 是直线B C 上一点,如果点D 满足D A ＝D E,那么点D 叫做△A B C 的边B C 上的“阿氏点”． 概念理解
（1）在图②中,利用直尺和圆规作△A B C 的边B C 上的“阿氏点”,用字母D 表示（不写作法,保留作图痕迹）； 性质探究
5
（2）在（1）中,求证：△D A B ∽△D C A ； 知识运用
（3）如图③,四边形A B C D 内接于⊙O,对角线A C 、B D 相交于点E,以D 为圆心,D A 为半径的圆恰好经过点C ,且与B D 交于点F．
①求证：点D 是△A B E的边B E上的“阿氏点”；
②若B E＝,D E＝2,A E＝3,则⊙D 和⊙O的半径长分别为 , ．
6
参考答案
一．选择题（共6小题,满分12分,每小题2分） 1．给出四个数0,,,﹣4,其中是无理数的是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．﹣4
【解答】解：0,,﹣4是有理数, 是无理数, 故选：B ． 2．要使有意义,则实数x的取值范围是（ ）
A ．x≥2
B ．x＞0
C ．x≥﹣2
D ．x＞2
【解答】解：由题意得,x﹣2＞0, 解得,x＞2, 故选：D ．
3．下列运算正确的是（ ） A ．A 2•A 3＝A 6 B ．（A 2）3＝A 5
C ．（﹣2A 2）3＝6A 6
D ．（﹣A 2）3＝﹣A 6
【解答】解：A 、A 2•A 3＝A 5,故本选项不合题意； B 、（A 2）3＝A 6,故本选项不合题意； C 、（﹣2A 2）3＝﹣8A 6,故本选项不合题意； D 、（﹣A 2）3＝﹣A 6,故本选项符合题意； 故选：D ．
4．某校为了解学生的出行方式,通过调查制作了如图所示的条形统计图,由图可知,下列说法错误的是（
A ．步行的人数最少
B ．骑自行车的人数为90
7
）
C ．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D ．坐公共汽车的人数占总人数的50%
【解答】解：由条形统计图可知,出行方式中步行的有60人,骑自行车的有90人,乘公共汽车的有150人, 因此得出的总人数为60+90+150＝300（人）,乘公共汽车占所以选项A 、B 、D 都是正确的,因此不符合题意； 选项C 是不正确的,因此符合题意； 故选：C ．
5．若x＝﹣1是不等式2x+m≤0的解,则m的值不可能是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
×100%＝50%,60+90＝150（人）,
【解答】解：∵2x+m≤0, ∴2x≤﹣m, 则x≤﹣,
∵x＝﹣1是不等式2x+m≤0的解, ∴﹣1≤﹣, 解得m≤2, 故选：D ．
6．如图,已知点A （1,4）,点B （3,5）,在y轴上取一点C ,连接A C ,将线段A C 绕点C 顺时针旋转90°到C D ,连接A D ,B D ,则A D +B D 的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：如图,设C （0,m）,
由题意A （1,4）,线段C D 是由线段C A 顺时针旋转90°得到, ∴D （4﹣m,m﹣1）,
8
设4﹣m＝x,m﹣1＝y,可得y＝﹣x+3, ∴点D 的运动轨迹是直线y＝﹣x+3,
作点A 关于直线y＝﹣x+3的对称点M（﹣1,2）,连接B M交直线y＝﹣x+3于D ′,连接A D ′,此时A D ′+B D ′的值最小,最小值为线段B M的长, ∵B （3,5）,M（﹣1,2）, ∴B M＝
＝5,
∴A D +B D 的最小值为5, 故选：D ．
二．填空题（共10小题,满分20分,每小题2分） 7．计算|﹣2|+2
﹣1
的结果是 ．
【解答】解：原式＝2+ ＝． 故答案为：．
8．分解因式：2A 3﹣8A ＝ 2A （A +2）（A ﹣2） ． 【解答】解：原式＝2A （A 2﹣4）＝2A （A +2）（A ﹣2）, 故答案为：2A （A +2）（A ﹣2）
9．光明中学全体学生参加社会实践活动,从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图,则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 4 ．
9
【解答】解：这50人的社会实践活动成绩的中位数为第25、26个数的平均数, ∴中位数是（4+4）÷2＝4． 故答案为：4．
10．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1,4）,则k＝ ﹣4 ． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1,4）, ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 11．若代数式
与的值相等,则x＝ 4 ．
＝,
【解答】解：根据题意得：去分母得：6x＝4（x+2）, 移项合并同类项得：2x＝8, 解得：x＝4． 故答案为：4．
12．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 1000 ． 【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根, ∴m+n＝﹣1, 并且m2+m﹣1001＝0, ∴m2+m＝1001,
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000． 故答案为：1000．
13．圆锥的底面圆的半径是3,其母线长是9,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 120° ． 【解答】解：圆锥底面周长＝2×3π＝6π,
10
∴扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷9π＝120°． 故答案为：120°．
14．如图,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点O,A ,B 均为格点,则
的长等于
π ．
【解答】解：在△A C O和△OD B 中,
,
∴△A C O≌△OD B （SA S） ∴∠A OC ＝∠OB D , ∵∠B OD +∠OB D ＝90°,
∴∠B OD +∠A OC ＝90°,即∠A OB ＝90°, 由勾股定理得,OA ＝OB ＝∴
的长＝
π．
＝
π,
＝
,
故答案为：
15．如图,将⊙O的内接三角形A B C 绕点B 顺时针旋转40°后得到△A ′B C ′,其中点C ′恰好落在⊙O上,则∠A 的度数是 110° ．
【解答】解：如图,连接C C ',
11
∵将⊙O的内接三角形A B C 绕点B 顺时针旋转40°后得到△A ′B C ′, ∴∠C B C '＝40°,B C ＝B C ', ∴∠B C 'C ＝70°,
∵四边形A B C 'C 是圆内接四边形, ∴∠A +∠C C 'B ＝180°, ∴∠A ＝110°, 故答案为：110°．
16．如图,在平面直角坐标系中,已知点A （10,0）,OA 绕点O逆时针旋转60°得到OB ,连接A B ,双曲线y＝（x＞0）分别与A B ,OB 交于点C ,D （C ,D 不与点B 重合）．若C D ⊥OB ,则k的值为 9
．
【解答】解：作D E⊥x轴于点E,作C F⊥x轴于点F． ∵△OA B 为等边三角形,
∴∠B OA ＝∠B ＝∠B A O＝60°． 设OE＝A ,则D E＝
,OD ＝2A ．
）．
∴B D ＝10﹣2A ,故点D 坐标为（A ,∴B C ＝
＝2×（10﹣2A ）＝20﹣4A ,
∴A C ＝10﹣（20﹣4A ）＝4A ﹣10．
∴FA ＝A C •C os60°＝（4A ﹣10）＝2A ﹣5,C F＝A C •sin60°＝∴OF＝A O﹣FA ＝10﹣2A +5＝15﹣2A ． 故点C 坐标为（15﹣2A ,
∵点D 、C 在反比例函数图象上,
）．
＝
．
12
∴＝（15﹣2A ）•．
解得：A 1＝3,A 2＝5（不合题意,舍去）． ∴A ＝3,故点D 坐标为（3,3∴故答案为：
＝．
．
）,
三．解答题（共11小题,满分88分） 17．（7分）计算（1+
）÷
． ）÷
【解答】解：原式＝（+＝＝＝
． ••
18．（7分）解不等式组,并写出它的正整数解．
【解答】解：,
由①得x＜, 由②得x≥﹣5,
不等式组的解集为﹣5≤x＜, 则它的正整数解为1,2．
19．（8分）如图,已知A C ＝FE,B C ＝D E,点A 、D 、B 、F在一条直线上,A D ＝FB ．求证：△A B C ≌△FD E．
13
【解答】证明：∵A D ＝FB , ∴A D +B D ＝FB +B D , ∴A B ＝FD ,
在△A B C 和△FD E中,
,
∴△A B C ≌△FD E（SSS）．
20．（8分）在一个不透明的袋子中有1个红球,2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回袋中并摇匀,在多次重复以上操作后,小明统计了摸到红球的频率,并绘制了如折线统计图：
（1）袋子中一共有 5 个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球,求摸出的2个球都是白球的概率． 【解答】解：（1）观察折线统计图可知： 摸到红球的频率稳定在0.2, 设袋子中有x个黑球, 所以解得x＝2,
所以袋子中一共有5个球． 故答案为：5；
（2）解：将2个白球分别记作“白1”、“白2”,
＝0.2,
14
2个黑球分别记作“黑1”、“黑2”． 从袋中同时摸出2个球, 可能出现的结果有10种,
即（红,白1）,（红,白2）,（红,黑1）,（红,黑2）,（白1,白2）,（白1,黑1）,（白1,黑2）,（白2,黑1）,（白2,黑2）,（黑1,黑2）, 并且它们出现的可能性相同．
其中2个球都是白球（记为事件A ）的结果有1种,即（白1,白2）, 所以P（A ）＝
．
21．（8分）某商场统计了A 、B 两种品牌洗衣机7个月的销售情况,结果如下：
月份 销量 品牌 A 品牌 B 品牌
16 16
31 20
29 24
24 25
24 26
24 27
20 30
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
（1）分别求这7个月A 、B 两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足,商场采购部欲从厂家采购A 、B 两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况,对商场采购部提出建议,并从两个不同角度说明由． 【解答】解：（1）∵
B ＝
A ＝
（16+31+29+24+24+24+20）＝24,
（16+20+24+25+26+27+30）＝24,
∴SA 2＝[（16﹣24）2+（31﹣24）2+（29﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）2+（20﹣24）
2
]＝22,
SB 2＝[（16﹣24）2+（20﹣24）2+（24﹣24）2+（25﹣24）2+（26﹣24）2+（27﹣24）2+（30﹣24）2]＝
,
A ＝B ,
（2）∵
∴A 、B 两种品牌洗衣机的平均销量相同, ∵SA 2＞SB 2,
∴B 品牌洗衣机的销量稳定,并且B 两种品牌洗衣机销量呈上升趋势,
15
∴建议商场采购B 品牌洗衣机．
22．（8分）如图,在平行四边形A B C D 中,E,F是对角线B D 上的点,且B E＝D F,连接A E,C F． （1）求证△A D E≌△C B F；
（2）连接A F,C E,若A B ＝A D ,求证：四边形A FC E是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形A B C D 是平行四边形, ∴A D ＝B C ,A D ∥B C , ∴∠A D E＝∠C B F, ∵B E＝D F, ∴B F＝D E,
在△A D E和△C B F中,
,
∴△A D E≌△C B F（SA S）； （2）连接A C ,交B D 于点O,
∵A B ＝A D ,四边形A B C D 是平行四边形, ∴四边形A B C D 是菱形, ∴A C ⊥B D ,A O＝C O,B O＝D O, ∵B E＝D F, ∴EO＝FO,
∴四边形A EC F是平行四边形,
16
又∵A C ⊥B D ,
∴四边形A EC F是菱形．
23．（8分）如图,点A 是⊙O直径B D 延长线上的点,A C 与⊙O相切于点C ,A C ＝B C ,B E⊥A C ,交A C 延长线于点E．
（1）求∠A 的度数；
（2）若⊙O的半径为2,求B E的长． 【解答】解：（1）∵A C 与⊙O相切于点C , ∴∠A C D ＝∠D B C , ∵A C ＝B C , ∴∠A ＝∠D B C , ∴∠A ＝∠A C D ,
∴∠C D B ＝∠A +∠A C D ＝2∠A , ∵B D 是⊙O直径, ∴∠D C B ＝90°,
∴∠C D B +∠D B C ＝90°,即3∠A ＝90°, ∴∠A ＝30°；
（2）∵∠D B C ＝∠A ＝30°, ∴D B ＝2C D ＝4, ∴∠A ＝∠A C D , ∴A D ＝C D , ∴A B ＝3C D ＝6, ∵B E⊥A C , ∴B E＝A B ＝3．
24．（8分）如图,为测量直立在建筑物A B 上的广告牌A C 的高度,小莉在地面上D 的处测得A 的仰角为
17
31°,然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处,此时测试A 、C 的仰角分别为45°、52°,求广告牌A C 的高度．（参考数据：sin31°≈0.52,C os31°≈0.86,tA n31°≈0.60,sin52°≈0.79,C os52°≈0.62,tA n52°≈1.28．）
【解答】解：在Rt△A B D 中,∠D ＝31°,tA nD ＝∴B D ≈
＝A B ,
＝tA n45°＝1,
＝tA n31°≈0.6,
在Rt△A B E中,∠A EB ＝45°,tA n∠A EB ＝∴B E＝A B ,
∵B D ﹣B E＝D E＝10m, ∴A B ﹣A B ＝10m, 解得：A B ＝15m, ∴B E＝15m,
在Rt△C B E中,∠C EB ＝52°,tA n∠C EB ＝∴B C ≈1.28B E＝19.2（m）,
∴A C ＝B C ﹣A B ＝19.2﹣15＝4.2（m）, 答：广告牌A C 的高度为4.2m．
≈1.28,
25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）． （1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点,求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值,该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1,y1）,Q（x2,y2）是该二次函数图象上的点,当1＜x1＜x2时,都有y2＜y1＜1,则m的取值范围是 m≤0或m＝1 ．
【解答】（1）解：令y＝0,则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0,
18
∵A ＝﹣1,B ＝2m,C ＝﹣m2﹣m+2,
∴B 2﹣4A C ＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8, ∵函数图象与x轴有两个不同的公共点,
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根, ∴B 2﹣4A C ＞0,即﹣4m+8＞0, 解得：m＜2,
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2, 得顶点坐标为（m,﹣m+2）,
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2,
∴不论m为何值,该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上； （3）由（2）可知抛物线的顶点为（m,﹣m+2）, 当1＜x1＜x2时,都有y2＜y1＜1, ∴当x＞1时,y随x的增大而减小, 又∵抛物线开口向下,对称轴为直线x＝m, ∴得出m≤1,
当x＞1时,y＜﹣m2+m+1． 要使y2＜y1＜1恒成立, 则﹣m2+m+1≤1, ∴m2﹣m≥0, 解得：m≥1或m≤0, 综上所述：m≤0或m＝1． 故答案为：m≤0或m＝1． 26．（9分）【基础巩固】
（1）如图1,在△A B C 中,D 为A B 上一点,∠A C D ＝∠B ．求证：A C 2＝A D •A B ． 【尝试应用】
（2）如图2,在平行四边形A B C D 中,E为B C 上一点,F为C D 延长线上一点,∠B FE＝∠A ．若B F＝4,B E＝3,求A D 的长． 【拓展提高】
19
（3）如图3,在菱形A B C D 中,E是A B 上一点,F是△A B C 内一点,EF∥A C ,A C ＝2EF,∠ED F＝∠B A D ,A E＝2,D F＝5,则菱形A B C D 的边长为 5
﹣2 ．
【解答】（1）证明：∵∠A C D ＝∠B ,∠A ＝∠A , ∴△A D C ∽△A C B ． ∴
＝
．
∴A C 2＝A D •A B ．
（2）解：∵四边形A B C D 是平行四边形, ∴A D ＝B C ,∠A ＝∠C , 又∵∠B FE＝∠A , ∴∠B FE＝∠C ． 又∵∠FB E＝∠C B F, ∴△B FE∽△B C F． ∴
＝
．
∴B F2＝B E•B C ． ∴B C ＝＝＝
．
∴A D ＝
．
（3）解：如图,分别延长EF,D C 相交于点G,
20
∵四边形A B C D 是菱形,
∴A B ∥D C ,∠B A C ＝∠B A D , ∵A C ∥EF,
∴四边形A EGC 为平行四边形, ∴A C ＝EG,C G＝A E,∠EA C ＝∠G, ∵∠ED F＝∠B A D , ∴∠ED F＝∠B A C ． ∴∠ED F＝∠G． 又∵∠D EF＝∠GED , ∴△ED F∽△EGD ． ∴
＝
．
∴D E2＝EF•EG． 又∵EG＝A C ＝2EF, ∴D E2＝2EF2． ∴D E＝又∵
＝EF． , D F＝5
．
﹣2．
∴D G＝
∴D C ＝D G﹣C G＝5故答案是：5
﹣2．
27．（9分）数学概念
如图①,A E是△A B C 的角平分线,D 是直线B C 上一点,如果点D 满足D A ＝D E,那么点D 叫做△A B C 的边B C 上的“阿氏点”． 概念理解
（1）在图②中,利用直尺和圆规作△A B C 的边B C 上的“阿氏点”,用字母D 表示（不写作法,保留作图痕迹）； 性质探究
（2）在（1）中,求证：△D A B ∽△D C A ； 知识运用
21
（3）如图③,四边形A B C D 内接于⊙O,对角线A C 、B D 相交于点E,以D 为圆心,D A 为半径的圆恰好经过点C ,且与B D 交于点F．
①求证：点D 是△A B E的边B E上的“阿氏点”；
②若B E＝,D E＝2,A E＝3,则⊙D 和⊙O的半径长分别为 3 ,
．
【解答】（1）解：如图1,点D 即为所求．
（2）证明：如图2,连接A D ,
∵A E平分∠B A C , ∴∠B A E＝∠C A E． ∵D A ＝D E,
∴∠D A E＝∠D EA ． ∵∠B ＝∠D EA ﹣∠B A E, ∠D A C ＝∠D A E﹣∠C A E, ∴∠B ＝∠D A C ,
22
又∵∠A D C ＝∠A D C , ∴△D A B ∽△D C A ； （3）①证明：如图3,连接A F,
在⊙D 中,∵D A ＝D F, ∴∠D A F＝∠D FA , 在⊙O中,∵D A ＝D C , ∴∠D A C ＝∠D C A , ∵∠D C A ＝∠D B A , ∴∠D A C ＝∠D B A , ∵∠B A F＝∠D FA ﹣∠D B A , ∠C A F＝∠D A F﹣∠D A C ,
∴∠B A F＝∠C A F,即A F是△A B E的角平分线, 又∵D A ＝D F,
∴点D 是△A B E的边B E上的“阿氏点”； ②如图4,∵∠EA D ＝∠D B A ,∠A D E＝∠A D B ,
∴△A ED ∽△B A D , ∴
,
∴A D 2＝ED •B D ＝2×（+2）＝9,
23
∵A D ＞0,
∴A D ＝3,即⊙D 的半径为3, ∵C D ＝A D , ∴C D ＝3, ∵A E＝A D ＝3,
∴∠A ED ＝∠A D E＝∠B EC ＝∠B C E, ∴B C ＝B E＝,
同理得：△C ED ∽△B C D , ∴
,即
,
∴C E＝,
∴A C ＝A E+C E＝+3＝
,
连接OD ,OC ,OD 交A C 于点M, ∵A D ＝C D , ∴OD ⊥A C , ∴C M＝A C ＝, ∴D M＝
＝
,
Rt△OC M中,OC 2＝OM2+C M2, 设OC ＝r, 则r2＝（r﹣）2+（）2, 解得：r＝,
即⊙O的半径为, 故答案为：3,
．
24
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