哈工大概率论在数学建模中的应用论文

程曦

学号：1102900120

摘要：概率论作为数学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用，无论是经济管理亦或是工业工程，其中都少不了概率的身影。人们通过对概率论和数理统计的研究成果来指导生产生活，对实际中出现的问题进行分析并寻求最好的解决方案。概率论在数学建模中也有着重要的地位，本文主要就彩票模型和空中交通管理两个实例对其在数学建模中的应用进行分析。 关键词：概率论；数学建模；彩票问题；空中交通管理；

概率论作为数学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用，无论是经济管理亦或是工业工程，其中都少不了概率的身影。人们通过对概率论和数理统计的研究成果来指导生产生活，对实际中出现的问题进行分析并寻求最好的解决方案。概率论在数学建模中也有着重要的地位，以下便对概率论在数学建模中的简单应用进行分析。 一、（2002年全国数模竞赛B题）彩票中的数学

要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。

目前流行的彩票主要有下列两种类型： （1）“传统型”

投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：

中奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 投注者选的基本号码 abcdef abcdef abcdeX Xbcdef abcdXX XbcdeX XXcdef abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 19投注者选的特别号码 g X g X g X g X g X 投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是10，不符的概率是10。选的

14特别号码，与摇出号码相符的概率是5，选错的概率是5。因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有

P{一等奖}(110110)615450.0000002；

0.0000008P{二等奖}()6；

9109109109100.000018P{三等奖}2(1101)5；

）0.0002432P{四等奖}3(10110110)（4；

）0.0029163P{五等奖}4()（3；

）0.0328054P{六等奖}5()（2。

（2）“乐透型”

投注者从01～36这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。开奖时，从01～36中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O为摇出的基本号码，Y为摇出的特别号码，X为其他号码）：

中奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 X X OOOOOX X OOOOOY C6C1C29C360.0002918175027投注者选的号码 OOOOOOY OOOOOO 中奖概率 C6C1C29C360.0000001206107C6C1C29C360.0000034746017C6C1C29C360.0000208445117五等奖 六等奖 七等奖 X X X OOOOYX OOOOXX OOOYXX C6C1C29C360.0007295444127C6C1C29C360.0065658964037C6C1C29C360.0087545283137 36个号码可以分为3类：6个基本号码、1个特别号码和29个其他号码。彩民投注时，从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有

C367种不同选法。在彩民选出

的7个号码中，恰好有i个基本号码和j个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选i个，

CCC再从1个特别号码中选j个，再从29个其他号码中选7ij个，共有6129ij7ij种不同选

法，所以，中奖概率为

P{选中i个基本号码和j个特别号码}C6C1C29C367ij7ij （i3,4,5,6，j0,1）。

彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：

中奖等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 500元 五等奖 100元 元 六等奖 10元 七等奖 5奖金额 奖金额在高项奖中 所占的比例 % 75% 10% 15 其中，四等奖、五等奖、六等奖、七等奖称为“低项奖”，奖金额固定；一等奖、二等奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出：

高项奖奖金总数彩票销售总额50%低项奖奖金总数，

，

高项奖单项奖金总数高项奖奖金总数这一单项所占的比例高项奖单项每注奖金额高项奖单项奖金总数这一项中奖的投注数。

高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。但是，如果按

照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关：

高项奖单项奖金总数这一项中奖的投注数高项奖单项每注奖金额

(彩票销售总额50%低项奖奖金总数）投注数所占比例这一项的中奖概率(2元投注数50%

中奖概率投注数）所占比例投注数低项奖每注奖金额这一项的中奖概率

(2元50%低项奖每注奖金额中奖概率）所占比例这一项的中奖概率 。

按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为一等奖4205385元，二等奖19335元，三等奖4834元

设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量，他能得到的平均奖金额就是的数学期望E，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得

ExiiP{xi}各项奖每注奖金额中奖概率1（元）。

得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是

2元50%1元 。

对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。

二（2000年国际数模竞赛A题）空中交通管理

一个空中交通管理员，负责管理一个空中区域。现在的问题是：

（1）为了避免区域中飞机发生碰撞，管理员在什么情况下，必须对飞机的飞行进行干涉处理？

（2）从管理员工作量的角度来看，怎样测量空中交通管理的复杂度？这个复杂度与区域中飞机的架数是什么关系？

解决问题（1）的关键是：已知两架飞机现在的位置、飞行的方向和速度，判断这两架飞机会不会碰撞，可以化为一个几何问题来求解，是比较容易解决的。

解决问题（2）的关键是：怎样计算管理员的工作量？

管理员的工作量与他管理空中交通的工作方式有关。设想管理员用下列方式管理这个区域的空中交通：每当一架飞机进入区域时，就计算一下它会不会与现在已经在区域内的任何一架飞机发生碰撞。如果会发生碰撞，就调整一次它的飞行路线。调整后，再计算它会不会发生碰撞。如果会发生碰撞，再调整一次它的飞行路线。调整后，再计算它会不会发生碰撞。„„。这样一直进行下去，直到这架飞机不会与区域内任何一架飞机发生碰撞为止。

管理员的工作量由下列两部分组成：（1）计算是否碰撞：设一共要计算次，每一次计算的工作量为W1。（2）调整飞行路线：设一共要调整1次，每一次调整的工作量为W2。

所以，每一架飞机进入区域，管理员的工作量为 WW1W2(1)(W1W2)W2 ，

平均工作量，即工作量W的数学期望为 EW(W1W2)EW2 。

设p是一架飞机进入区域时，它与区域内任何一架飞机都不碰撞的概率。

完成这架飞机的飞行路线管理工作，保证这架飞机与区域内任何一架飞机都不碰撞，只需要计算1次的概率为

P{1}p ，

完成这架飞机的飞行路线管理工作，需要计算2次，调整1次的概率为

P{2}(1p)p ，一般地，完成这架飞机的飞行路线管理工作，需要计算k次，调

整k1次的概率为P{k}(1p)E1p。

k1p 。由此可见，所需计算次数服从几何分布，它的

数学期望

设

p0是一架飞机进入区域时，它与区域内的某一架飞机不碰撞的概率。概率

p0可以

通过随机模拟的方法求出，具体做法是：在区域边界上随机地取一个点，作为进入区域的飞机的位置，随机地确定这架飞机飞入区域的飞行路线。再在区域内部随机地取一个点，作为区域内的飞机的位置，随机地确定这架飞机的飞行路线。然后判断这两架飞机会不会碰撞。这作为一次模拟试验。重复多次做这样的模拟试验，计算出飞机不碰撞的频率。随着试验次数越来越多，不碰撞的频率会越来越接近不碰撞的概率

p0，这样，就得到了

p0的近似值。

设区域内共有N架飞机，作为近似，设这些飞机是相互独立的。由于一架飞机进入区

域时，它与区域内的某一架飞机不碰撞的概率为

p0，所以，一架飞机进入区域时，它与区域内

NN架飞机中的任何一架飞机都不碰撞的概率为pp0。

这样，就有

W1W2pW2W1W2p0NEW(W1W2)EW2W2 。

同时，上式中的W1也与N有关。W1是一架飞机进入区域时，判断它是否与区域内N架飞机都不碰撞所需的计算工作量。设

W0是一架飞机进入区域时，判断它是否与区域内某一架

0飞机碰撞所需的计算工作量。显然应该有

所以，

EWW1NW 。

W1W2pN0W2NW0W2N0pW2 。

这只是一架飞机进入区域时管理员的平均工作量。要考虑空中交通管理的复杂度，不能只考虑这一架飞机进入时管理员的平均工作量，还要考虑管理员整个一天的平均工作量。

设M是一天24小时内进入区域的飞机总数，显然，一天的工作量应该是一架飞机进入时NW0W2MW2Np0MEW 。 M的工作量的倍，即有

但M也与区域内的飞机数N有关。

设一天24小时中的每一时刻，区域内的飞机数N都近似是一个常数。设T是平均每架飞机进入区域后，在区域内飞行的时间（可以用随机模拟的方法，求出T的近似值）。则有

MT一天24小时，区域内所有飞机24NT的总的飞行时数24N 。

M因此有 。把“空中交通管理的复杂度”定义为“管理员一天的平均工作量”。

NW0W2MW2Np0MEW 于是有空中交通管理的复杂度管理员一天的平均工作量

24NNW0W21N2WkN()2NTp0p01p0 ≈0 。因为，所

11以式子中的

p0。作为N的函数，复杂度的图像为

从图像可以看出，空中交通管理的复杂度随着飞机架数N的增加

而增大，一开始，复杂度增大的速度不是很快，但随着N越来越大，复杂度增大的速度会越来越大。

概率论在数学建模中还有很多其他的应用，在最优化及曲线拟合中都有重要地位，是数学建模的一个重要分析方法，当我们把概率论的思想用于建模过程中时，我们不但能学到严谨完整的数学理论，也能够提高分析问题和解决问题的能力，对于自己大有裨益。

参考文献

[1] 尚寿亭“建模与优化”课件 [2] 百度