2010年 中考模拟纯几何探究题目选(二)

1、（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

E A D

A G G E F 图①

C B 图②

F E F D

A D B ．

C B 图③

C 2、（2009年常德市）如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中

点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

图9 图10 图11

3、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

G D

F M

B E C

N

图（1）

G A D

F M B

E C

N

图（2）

4．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成

△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN3a；

探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E、F．

①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．ODOEOF2．ADBECF3a；结论23a； 22是否仍然成立？如果成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、请给予证明；如果不成立，请说明理由． M A

D G

B

C （图1）

B O E （图2） A F C B D A F O E （图3）

C B D A F O E （图4）

C N

5.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

MMDF(N) CHA

NDFCCFMNDB

E图1

BAE图2

BAE图3

MNDFHABC

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）．

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

E6.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图中，联结AP．当AD3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，2S△APQS△PBCy，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函

数解析式，并写出函数定义域；

（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小． A

D

A

P

P Q B

图1

C

（Q） B

C

图2

Q B

图3

D

A

D

P C

7.（2009年本溪）在△ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE． ．．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC90°，则BCE 度； （2）设BAC，BCE．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

A E

B

D

C 图1 A B C

备用图

A

E

B D C 图2 A B C 备用图

8．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. (1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

9．（2009年铁岭市）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时． ①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

A

A

E B

F D

图（a）

G C

B

C D

F

E

图（b）

G

10.（2009青海）请阅读，完成证明和填空．

A N M B

O 图12-1

C

B

N

图12-2

C

A M O D

B N C 图12-3

D

A M O E

„

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图12-1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BMAN，连接BN、CM，发现BNCM，且NOC60°． 请证明：NOC60°．

（2）如图12-2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接AN、DM，那么AN ，且DON 度．

（3）如图12-3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接AN、EM，那么AN ，且EON 度． （4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．

11、（12分）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合， 如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

12.．如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。

（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD； 【证】 CC BBS

P（2）对于图

RR1，若四

DA边形AD图2Q图1PRDS也是平

行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？ 【解】