圆与方程

★知识要点

1. 确定圆的三要素：圆心坐标a、b和半径r；一般方程中D、E、F且D+E-4F＞0。

2. 直线与圆的位置关系的判定 圆心C(a,b)到直线的距离——圆心距dAaBbCAB2222

⑴若dr相交0 ⑵若dr相切0 ⑶dr相离0

AxByC0 △法利用直线与圆的方程联立方程组2来判断和求解。 2xyDxEyF03. 经过一点M（x0，y0）作圆（x-a）+（y-b）=r的切线

2

⑴点M在圆上时，切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）= r ⑵点M在圆外时，有2条切线、2个切点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），方程（x0-a）（x-a）+

2

（y0-b）（y-b）= r不是切线方程，而是经过2个切点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线方程。 4. 直线被圆所截得的弦长公式

│AB│=2r2d2（垂径分弦定理）

O222

=(1k2)[(x1x2)24x1x2]=(112)[(yy)4y1y2] 122kCABl 5. 圆与圆的位置关系

设两个大小不等的圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，圆心距︱O1O2︱=d .则共有五种位置关系如下：

d＞r1+r2 外离； d= r1+r2 外切；

︱r1-r2︱＜d＜r1+r2 相交； d=︱r1-r2︱内切； O1O2 0≤d＜︱r1-r2︱内含；

若大小相同的两个圆，则只有外离、外切、相交、重合四种位置关系。 学法指导

1. 求圆的方程

【方法点拨】三种方法求圆的方程：

⑴若圆过已知的两点或三点，可设圆的一般方程；⑵若与圆心、半径有关，可设圆的标准方程；

⑶圆的直径式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0 。 【案例剖析】已知圆心为C的圆经过两点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的方程.

【解析】方法一 ∵圆心C与A、B两点的距离相等，

4113则C在线段AB的垂直平分线y+=（x-）上

232∵圆心C在直线l：x-y+1=0上，

113 联立方程x-y+1=0 和y+=（x-）

232 得圆心C（-3， -2）

l2A-5m5-2CB-4-6 2

22 则 半径r=CA=（=5 ∴ 所求圆的方程为（x+3）+（y+2）=25 13）（12）2

方法二∵圆过A、B两点，设圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0  圆心C的坐标为（-2

2

D， 2-

E） 2DE-2210 由已知得 DEF20 ∴D= 6 ，E= 4，F= -12

2D2EF80 ∴ 所求圆的方程为x+y+6x+4y-12=0

【点评】：本题属于“理解”层次，设圆的方程用待定系数法求a、b、r或D、E、F是主要方法。

1． 关于圆的切线

【方法点拨】判定直线与圆相切的方法：联立方程由△=0，或圆心距d=r, 或要点3的结论。

22

【案例剖析】经过点P(2，1) 引圆x+y=4的切线，求：⑴切线方程，⑵切线长。

22

【解析】⑴ ∵将点P(2，1)代入圆方程右边得x+y=5＞4，∴点P(2，1)在圆外，可引两条切线

设切线方程为y－1=k(x－2) 即：kx－y－2k＋1=0

∵圆心(0,0)到切线的距离是2 22

2k132 解得k=－

41k2 ∴切线方程为33xy10 即：3x+4y－10=0 42 另一条切线方程为x=2 （无斜率） ∴所求切线方程为3x+4y－10=0和x=2 ⑵切线长=

PC2r2=2212-22=1

PC2r2。

【点评】：本题属于“理解”层次，圆外一点P（x0,y0）向圆引的两条切线，切线长=

练习

1、两圆x+y-4x+6y=0和x+y-6x=0的连心线方程是（ ）

A、x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0

2、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）

A、x+y=4 B、 x+y=16

222C、x+y=2 D、x4(y4)16

22

2

2

2

22223、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）

522

＝0 B、ｘ＋ｙ－3ｘ＋ｙ＝0 252222

C、ｘ＋ｙ＋3ｘ－ｙ＝0 D、ｘ＋ｙ－3ｘ－ｙ－＝0

2A、ｘ＋ｙ－3ｘ＋ｙ－

2

2

4、方程ｘ＋ｙ＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）

A、ａ＜－2或ａ＞

222

222 B、－＜ａ＜2 C、－2＜ａ＜ D、－2＜ａ＜0 33325、已知圆的方程是x2(y3)4，则点P（1，2）满足( )

2A、是圆心 B、在圆上 C、在圆内 D、在圆外

2222

6、如果方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F＞0)所表示的曲线关于y=x对称，成立的是（ ）

A、D=E B、D=F C、E=F D、D=E=F 7、如果直线l将圆x2y22x4y0平分，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）

A、[0，2] B、[0，1] C、[0，] D、[0，]

1123