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June2017（C）
常微分方程教学中融入Maple软件的应用探索
卢
亮欧乾忠郭秀凤
（贺州学院数学与计算机学院
广西·贺州
542899）
中图分类号：G642文献标识码：A
DOI：10.16871/j.cnki.kjwhc.2017.06.024
摘
要本文基于常微分方程的教学实践与科学研究，探讨能调动学生的学习积极性和创新精神。
在教学过程中融入数学软件Maple应用的教学意义，并提出数学软件具有良好的运行环境、强大的符号计算能力了一些设想和建议，再通过举例说明应用符号计算命令来和高效的可编程功能，而且数值计算精度高、图形显示灵活,实现微分方程的计算和图形的绘制，以期提高教学质量和受到越来越多的教师、学生和科研人员的喜爱,成为了他们教学效果。
处理数学问题的主要工具[2,3]。Maple软件是三大数学软件之关键词常微分方程Maple软件课程教学
一，它不仅在符号计算中表现突出，在数值计算等方面也显AnInitialStudyfortheApplicationofMapleSoftwareIn原示出强大的功能，而且也有较多文献介绍了该软件的详细tegratingintoOrdinaryDifferentialEquationTeaching//用法（如[4]）。本文结合科研与教学中的经验，阐述常微分方LuLiang,OuQianzhong,GuoXiufeng
AbstractInthispaper,basedontheteachingpracticeandsci-程教学中融入Maple软件应用的意义，并给出了几点建议。
1常微分方程教学融入Maple软件应用的教学意entificresearchofordinarydifferentialequations,wediscusstheapplicationofmathematicalsoftwareMapleanditssignificancein义
mathematicsteaching.Thenwegivesomeideasandsuggestions将Maple软件应用于常微分方程教学具有以下几点教forcourseteaching.Finally,someexamplesaregiventoillustrate学意义：一是改进教学方法，帮助学生理解数学概念。概念howtousetheMaple'sfunctiontorealizeofcalculationand是数学的基础,也是数学的灵魂，但因其抽象性学生有时又paintingfordifferentialequations.Wehopeitcanhelpustoim-难以理解。例如相图、分支图的概念。若使用Maple软件将其provethequalityofteachingandclassroomefficiencyofthe变化过程演示出来,并让学生亲身参与和体验软件的应用，course.
便使得学生更好地理解与把握抽象的数学概念。二是实验Keywordsordinarydifferentialequation;Maplesoftware;cur-课的交互式学习环境，有利于调动学生的学习主动性。学生riculumteaching
通过软件自己动手动脑计算，成为了教学和实践的主体。他们不仅可以接受教师的指导，还可以按照自己的设想进行常微分方程不仅是数学专业的一门基础课，也是很多学习探讨。在自由的学习环境和教学模式下,有利于学生学理工科专业的基础课和重要学习工具，在物理、生物学、经习积极性,观察、归纳、思维能力的培养和训练。Maple软济学、通信工程及航空航天技术等领域都有着重要的作用[1]，件简单、方便、快捷、准确的使用特点,也有助于学生从中体故其教学显得尤为重要。然而，很多院校在教学过程中过验成就感，从而激发学习兴趣。三是学生亲身体验过程，有多强调严谨的理论,其实践性得不到重视，学生的动手能力利于“数学发现”。在问题的探索和求解过程中,学生认真思和应用能力也没有得到有效的培养。所以，在大数据时代考，积极查阅资料，把知识点的联系建立起来，为学生提供背景下和地方院校转型发展过程中，如何使得教学既要重了“数学发现”的机会和空间。在获取知识、培养能力和增长视理论研究也要突出实践性已经成为了教学改革的热点。才干的同时,也使他们充分发挥丰富的想象力和创造力。
而在常微分方程教学中融入数学软件是解决该实际问题的2融入Maple软件应用的一些设想和建议
一种方法，其不但能有效训练学生的思维和应用能力，并且
常微分方程课程中应用Maple软件属于数学实验课的
基金项目：本文为广西高等教育本科教学改革工程项目《大数据时代背景下数学与应用数学专业课程体系重构的研究与实践》（编号：
2016JGA349），贺州学院硕士点建设数学支撑学科自主课题（编号：2016HZXYSX04）和广西高校符号计算与工程数据处理重点实验室的成果之一。作者简介：卢亮（1985—），讲师，硕士，研究方向为微分方程。
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.com.cn. All Rights Reserved.教改教法
范畴，而且数学实验是数学教学中的一个新生事物，需要各级领导的大力支持。这项工作的开展需要配备必要的硬件设备，购置Maple软件，创造良好的学习环境和条件。除此之外，我们建议以下几点：首先，教会学生熟练使用Maple软件,了解其功能的强大、应用之广泛，举例说明Maple软件的使用方法，让学生懂得一些语句和算法，并按照使用手册会计算一些具体的实际问题。在学生的学习过程中，老师应充分体现该软件的方便之处，激起学生的学习欲望。其次，让学生自己思考，分组讨论，做好答题准备。老师引导学生阅读相应的参考资料，以学生为主，相互讨论,通过学生自己的探索、发现、提出、分析问题，结合学过的知识，在解决问题的过程中，再获取和掌握新的知识。最后，在Maple软件上编程并计算，求出解析解或数值解,必要时，写出总结报告。总之，在教学过程中，老师少讲，学生多练，让学生自己去观察、分析、解决问题，获得知识，提高能力。
3Maple软件在常微分方程应用中的两个例子
3.1求解线性常微分方程
常微分方程中最常见的计算就是求解微分方程，但目前仍有大量微分方程无法求出其解析解，特别是非线性微分方程，这也是为什么微分方程的研究经久不衰的原因。这里主要介绍比较简单的计算，目的在于引入，而非解决所有的问题。Maple软件求解常微分方程的基本命令是
dsolve,大部分线性微分方程都可以用dsolve来实现，即使如此，其符号方法的能力也比较有限,只能求解一些特殊类型的微分方程。其用法为：
dsolve（{微分方程（组）,初值},待解函数,选项）。缺少项的可以留空，例如以下微分方程：dyMaple软件的计算命令为：
dx=y+sinx。>dsolve(diff(y(x),x)=y(x)+sin(x),y(x));y(x)=-1这里得到2cos(x)-1的是方2sin(x)+ex_C1，
程的通解，_C1为待定常数项。若给定一个初值为y(0)=2，那么这时候我们求得方程的特解，其命令可以为：
>dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+sin(x),y(0)=2},y(x));y(x)=-1下面我2cos(x)-1sin(x)+5ex，们看看文2献[1]中高2阶线性微分方程求解的例子。例1：求二阶微分方程xy''-y'=x2的所有解，命令如下：>dsolve(x*diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=x^2,y(x));y(x)=
1x3+1_C1x2其中3+_C2_C1，_C22为常数，如果给定初值也就确定了这两
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个常数项。方程组也可以通过相似的方法计算得到。显然，老师可以引导学生观察与思考这些问题在求解过程中所存在的差异，更好地理解微分方程的求解方法，以便下次遇到类似的方程时，可以自己动手解决，或者通过查阅Maple软件的使用手册并应用相关命令快速地解决这类问题。3.2绘制微分方程的相图分支
Maple软件不仅符号计算能力突出，图形处理的功能也很优秀。特别是其计算仿真和绘图的能力，语言非常简练，方便使用。下面再给大家介绍比较复杂的计算以及用Maple软件绘制图形的例子。例如作出以下方程组的相图分支：
扇设设2设dydt=9y+2x-4,缮设设设设设dx墒
设设dt=-9xy首先，计算求其平衡点（奇点），并通过雅克比行列式判断，可知点(0,
23)、(0,-2)为鞍点；奇点(-1,0)是中心。在经2
3过
整理得到dydx=9y9xy+2x-4。求其首次积分得到方程组对应的
哈密顿函数H(x,y)=
9x2y2+2x3-2x2
=h。其中水平集H(x,y)=h(h23∈R)给出了方程的所有不变曲线，再用Maple软件计算并作图可以得到方程的相图分支图：>restart;>with(plots):
>H:=9/2*x^2*y^2+2/3*x^3-2*x^2;
H:=
9x2y2+2x32
>implicitplot([H=-1,H=0,H=1],x=-2..4,y=-1.5..1.5,color=[blue,23-2xred,black],style=line,thickness=3,numpoints=10000);
渊下转第57页冤
.com.cn. All Rights Reserved.2017总第年3906月（期下）Total.390
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人员队伍，满足实验室建设与管理的需求[15]。
完整[J].实验技术与管理,2017,34(1):260-262+276.
应用型本科院校着力于培养应用型人才。培养应用型[6]刘震,张丽梅,棕红,等.新时期高校设备管理探索与实践[J].实验室人才必须通过实验、实际训练等各种实践教学方式来培养，研究与探索,2010,29(4):183-186.
其中实验室作为实践教学的载体，在实现这一培养目标的[7]孟庆南,王益民,刘彦强,等.高校大型仪器设备使用与管理中存在过程中具有不可替代的作用。因此，应用型本科院校必须重的问题与思考[J].实验室科学,2013,16(5):187-189.
视实验室的建设。大型仪器的采购和管理使用、实验室管理[8]浦玉忠.高校实验室资源共享的实践路径研究[J].实验技术与管体制、实验人员队伍培养作为新建应用型本科院校实验室理,2015,32(9):11-13,17.
建设的重点，在实验室建设中要着重加强。建设好实验室，[9]陈咸振.高校实验室管理工作的改革与创新[J].电脑编程技巧与新建应用型本科院校才能在培养具有国际意识，适应生产、维护,2017(3):40-42.
建设、管理及服务岗位需要的高素质应用型人时达到事半[10]王义安.强化高校实验室建设和管理的措施[J].管理科学,2017
功倍的效果。(1):104-105.
[11]郭立志.虚拟仿真实验室在高校中的构建[J].科技经济导刊,2016
参考文献
(28):130,138
[12]韩方珍,曹咏,冯署茗,等.高校实验室安全管理现状分析启示与
[1]史天贵,彭绍春,兰山,等.高校实验室综合改革的思考[J].实验技术与管理,2016,33(2):1-3.
对策[J].实验室研究与探索,2012,31(8):452-455.
[2]张宏玉.地方高校实验室建设管理的探索与实践[J].实验技术与[13]周开兵,陈梦晖.重视高校实验教师队伍的建设[J].实验室研究与
管理,2016,33(7):4-7,32.
探索,2008,27(1):145-148.
[3]韩方珍,曹咏,冯署茗,等.中外高校实验室安全管理现状分析启示[14]刘昌.高校实验室精细化管理的探索与实践[J].高教学刊,2017
与对策[J].实验室研究与探索,2012,31(8).
(3):134-135.
[4]曹忠,张玲,谭亚非,等.借鉴国外管理模式浅谈高校实验仪器管理[15]张惠芹,周骥平,周俊.高校实验室管理机制改革的思考与对策
[J].实验技术与管理,2008,25(11):184-186.
[J].实验技术与管理,2015,32(9):236-238.
[5]赵庆双,高云峰,窦莹.加强高校仪器设备管理保障国有资产安全
编辑张效瑞
渊上接第54页冤图中的蓝、红、黑线分别为h=-1，h=0，h=1所对应的相会增加学生的学习兴趣，降低学生的学习难度。而且在大数图。
据时代背景下，掌握和应用计算机及数学软件处理一定信对于以上的微分方程组，给定初值后,利用前面的命令息量的数据，将逐渐凸显其重要性。所以建议应用Maple软dsolve还可以计算得到方程组的解.
件来辅助常微分方程的课堂教学，为培养产学研结合和应>dsolve({diff(x(t),t)=-9*x(t)*y(t),diff(y(t),t)=-9*y(t)^2+2*x(t)-4，用型人才奠定基础。同时，这也会加快促使其他数学课程融x(0)=1,y(0)=1},{x(t),y(t)});
入数学软件的应用，培养学生的创新能力。这样，我们的教学改革及人才培养事业也将会不断向前推进。参考文献
当然还有很多这方面的例子，例如计算微分方程的级[1]王高雄,周之铭,朱思铭等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育数解，向量场及在方向场中的积分曲线[5]。具体使用方法也出版社,2006.
可以参阅以下相关Maple软件手册（如文献[4]）。教师在把[2]于海燕.合理使用数学软件提高常微分方程教学质量[J].内蒙古Maple软件的应用融入常微分方程教学的过程中,应当设计民族大学学报,2013,28(6):637-639.
合理的教学方案以达到（1）学生掌握常微分方程课程中所[3]李银,位瑞英.基于Maple软件《常微分方程》一体化教学的探讨要求的基本Maple求解技巧；（2）学生掌握Maple符号计算[J].韶关学院学报,2016(12):73-77.
的一些基本命令。另外，老师也可以布置一些作业让学生用[4]张韵华,王新茂.符号计算系统Maple教程[M].合肥:中国科学技术计算机完成并提交电子作业。
大学出版社,2007.
4结语
[5]李姝敏.数学软件Maple在常微分方程教学中的应用[J].阴山学数学软件Maple具有十分强大的数值计算和图形处理刊,2013,27(4):55-58.
能力,老师在授课时若能把理论与实例更好地结合起来，将
编辑张效瑞
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