四川省仁寿县2020_2021学年高二数学下学期期末模拟考试试题理

共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．已知i为虚数单位，复数z2i1ai，aR，若z为纯虚数，则a（ ） A．

11 B． C．2 D．2 222．某学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1至2000编号，已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（ ） A．997 B．1007 C．1047

D．1087

3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：x1,y1,x2,y2,......,xn,yn，则下列说法中不正确的是（ ）

A．由样本数据得到的回归方程ybxa必过样本中心x,y B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为r0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

4．甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、 乙两人的平均成绩分别为x,y，下列说法正确的是（ ） A．xy，且乙比甲的成绩稳定 C．xy，且甲比乙的成绩稳定

B．xy，且乙比甲的成绩稳定 D．xy，且甲比乙的成绩稳定

5．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（ ）

理科试题 第 1 页 共 11 页 1

A．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元 B．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小 C．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大 D．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%

6．如图所示的程序框图，若输入x的值为2，输出v的值为16，则判断框内可以填入（ ） A．k≤3？ B．k≤4？ C．k≥3？

D．k≥4？

7．5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ） A． 72 B．144 C．12

D．36

8．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：

x2x3x4ln(1x)x234(1)n1n1xnn，试根据此公式估计下面代数式

224242353ln3.414＝1.23）

(1)(2)nn（可能用到数值ln2.414＝0.881，(n5)的近似值为（ ）

A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23 9．函数fxex（其中e为自然对数的底数）的图象大致是（ ） 21xA． B． C． D．

110．已知2x的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）

xA．二项展开式中各项系数之和为37 C．二项展开式中无常数项

B．二项展开式中二项式系数最大的项为90x2 D．二项展开式中系数最大的项为240x3

3n 理科试题 第 2 页 共 11 页 2

11．已知函数fx是函数fx的导函数，对任意x0,的是（ ）

A．2f3f B．

63，f(x)f(x)tanx0，则下列结论正确2f3f C．2f3f D．f3f 636443x1,7x0212．已知函数f(x)，g(x)x2x，设a为实数，若存在实数m，使2lnx,exef(m)2g(a)0，则实数a的取值范围为（ ）

A．[1,) B．[1,3] C．(,1][3,) D．(,3] 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷中的相应位置. 13．曲线yx及yx2x0围成的平面区域如图所示，向正方形OACB中随机投

入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为__▲___

1i（i是虚数单位）是方程x22xc0的一个根，则实数c___▲___ 1i315．已知函数yf(x)的定义域为(,3)，且yf(x)的图像如右图所示，记yf(x)的导函数为

214．复数1yf'(x)，则不等式xf'(x)0的解集是____▲___

16．若函数fxe2x图象在点x0,fx0处的切线方程

x为ykxb，则kb的最小值为___▲___

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．（本小题10分）已知函数f(x)x3x． （1）求曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程； （2）求曲线yf(x)过点(2,6)的切线方程．

18．（本小题12分）

某企业有A，B两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于120的为优质品．分别从A，B两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：

3 理科试题 第 3 页 共 11 页 3

（1）根据频率分布直方图，分别求出B分厂的质量指标值的中位数和平均数的估计值；

（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？

19．（本小题12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：

（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程（结果保留两位小数）；

（2）现从2012—2018年这7年中抽出三年进行调查，记年利润增长－投资金额，设这三年中2（万元）的年份数为X，求随机变量X的分布列与期望.

理科试题 第 4 页 共 11 页 4

参考公式：bxxyyxynxyiiiii1nnxxii1n2i1nxi12inx2，aybx.参考数据：

xyii17i359.6，xi2259.．

i1720．（本小题12分）已知函数f(x)(2x1)lnxx1. （1）求函数g(x)f(x)xlnx的最值； （2）求证：f(x)1．

21．（本小题12分）某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为

2，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为3311，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节4322331都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，

3442若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立. （1）求乙未能参与面试的概率；

（2）记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；

（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职．

22．（本小题12分）已知函数f(x)(x2)eax2ax(aR,e为自然对数的底数） （1）若x1是f(x)的极值点，求a的取值； （2）若f(x)只有一个零点，求a的取值范围．

高2019级仁寿县第四学期期末模拟试卷

一、选择题

1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 二、填空题

理科数学参考答案

x21311(,)(0,1)2e 13．3 14．2 15．22 16．

三、解答题

217．解：(1)由已知得f(x)3x3,则f(1)0，所以切线斜率

k0，···························1分

理科试题 第 5 页 共 11 页

5

因为f11312，所以切点坐标为

3(1,2)，··········································

···········2分 所以所求直线方程为y20， 故曲线yf(x)在x1处的切线方程为

y20.··········································

·············3分 (2)由已知得f(x)3x3，设切点为

2(x0,x033x0),·······································

············4分

x033x063x023，即2x036x020，得x00或3， 则

x02所以切点为(0,0)或(3,18)，切线的斜率为3或

24，············································

·····8分

所以切线方程为y3x或y1824(x3) 即切线方程为3xy0或

24xy540·······································

·····················10分

18．解：（1）B分厂的质量指标值；

由100.008100.016100.0260.5，则B的中位数为

120······································2分

B的平均数为

950.081050.161150.261250.31350.161450.04119.2·········6分

（2）22列联表：

理科试题 第 6 页 共 11 页 6

·································

··············································7分

由列联表可知K2的观测值为：

nadbc20029507150K29.22696.63510010079121abcdacbd22···············

···················11分

所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差

异．················································12分

19．解：（1）x4.555.566.577.5)(677.48.18.99.611.1)6，y8.3

77ˆb359.6768.31.57，225976ˆ8.31.5761.13，·································a·······5分 故y关x的回归直线方程为：

ˆ1.57x1.13·······································y·····················6分 （2）由表格可知，20122018年这7年中 年份 2012 1.5 2013 2 2014 1.9 2015 2.1 2016 2.4 2017 2.6 2018 3.6 X X的可能取值为1，2，

3················································································7分

2112C2C51C2C54P(X1)P(X2)，，33C77C77 理科试题 第 7 页 共 11 页 7

3C52P(X3)3······························10分

C77可得：

E()1231747215··················77·············12分

20．解：（1）由题可知

g(x)2xlnx1······································

····························1分

所以g(x)22lnx，当x(0,)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(,)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以

1e1e12g(x)最小值g()1··································

ee································4分 （

2

）

方

法

一

：

f(x)12xlnxlnxx，·······························

···························8分

易得

(2xlnx)min2e，(lnxx)max1，

2xlnx21lnxxe所以，得证

f(x)1········································

··············12分 方法二：f'(x)2lnx113,x(0,)，令h(x)2lnx3,x(0,)， xxh'(x)212x1220，故h(x)在(0,)上单调递xxx增.············································5分

又h(1)20,h()1ln4ln12e0，又h(x)在(0,)上连续， 48

理科试题 第 8 页 共 11 页

112lnx30.h(x)0f'(x)0x0(,1)使得0，即，00x02（*）·····························7分

f'(x),f(x)随x的变化情况如下：

x (0,x0) x0 0 (x0,)  ↗ f'(x) f(x)  ↘ 极小值 f(x)minf(x0)(2x01)lnx0x01. 由（*）式得lnx013，代入上式得 2x02f(x)minf(x0)(2x01)(1313)x012x0. 令t(x)2x13,x(1,1)， 2x022x022x22t'(x)即

1(12x)(12x)1t(x)20(,1)上单调递减.t(x)t(1)，又t(1)1，. ，故在222x2x2f(x0)1f(x)1.··································

···············································12分

21．解：（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率

12111132112111P.······················

43243243243224·········3分

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，

111111122，22，PX1C1PX0PX2C， 3332733933421811131721122， PX3C334233424227131172113122PX4C3， 342423342542311PX5.································

3429 理科试题 第 9 页 共 11 页

9

33232232··················································7分 则X的分布列为：

X P 故

0 1 2 92 3 4 5 1 271 187 2717 541 9EX012171717912345.···················279182754927························9分

1131522（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率PC， 甲39334218乙成为在职教师的概率P乙12112313. 243448因为P甲P乙，所以甲更可能成为该校的在职教

师··················································12分 22．解：（1）

f(x)(x1)(ex2a)，···································

···································1分 当a的极值

点······························································································3分 所以

e时，x10，exe0；x10，exe0，此时f(x)0恒成立，则x1不是函数f(x)2eea(,)(,)···································

22················································4分

（2）f(x)(x2)(eax)只有一个零点，显然是x2，所以分为两种情况

xex2第1种情况：满足ax0，此时

x 理科试题 第 10 页 共 11 页 10

e2a2··········································

···········6分

xxxg(x)eaxg(x)ea； eax0第2种情况：无解，令，

11g()ea10,g(a)eaa20(,a)x①当a0时，g(x)0，g(x)单调递增a，故在a上存在0使得

1g(x0)0；········································

·············································

····8分

x②当a0时，方程eax0显然无

解；·······························································9分

③当a0时，g(x)0解得xlna，当x(,lna)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(lna,)时，g(x)0，g(x)单调递增，则g(x)ming(lna)aalna0，即1lna0，所以

0ae·········································

·············································

···········11分 综上所述：

e2a[0,e){}2······································

··········································12分

理科试题 第 11 页 共 11 页 11