相似三角形知识点总结及练习题

1. 比例线段的有关概念： 在比例式ac(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项， bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

2

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：aca±bc±dacadbc ②合比性质： bdbdbdacmac…ma…(bd…n≠0) bdnbd…nb③等比性质：3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则ABDEABDEBCEF，，，… BCEFACDFACDF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比

例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

中考试题分类汇编 相似三角形

一、选择题 1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）

A.60° B.70° C.80° D.120° A C D

O E D

B A B C 图1 2、如图，已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点，DEBC,且SADES四边形DBCE1 那么AE:AC等于（ ） A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2

3、图为ABC与DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB // DE。若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）

A、6米 B、8米 C、18米 D、24米

5、如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2

6、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )

A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假

7、如图2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ ） A.

3321 B. C. D. 2322

8、如上图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）

A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

9、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若BC6，则DE等于 A．5 B．4 C．3 D．2 A

E D

B C

第4题

10、已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）

A．2 B．3 C．6 D．54

11、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于 D,设BP=x,则PD+PE=（ ）

A.

x53 B.4x5 C.

72 D.

12x12x52ADC25

EBP12、 如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的关系式是（ ） A、bac B、bac C、bac D、b2a2c

113、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中

阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ）

222A E H F B G C Ａ．

1214 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 993914、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

（第7题） A． B． C． D．

15、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，

则树的高度为（ ）

A、4.8米 二、填空题

1、如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．

2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ．

3、如图5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果那么

B、6.4米

C、9.6米

D、10米

A D E

B A F B C E

图5

CC

D BE2， BC3BF ． FD

4、在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,

BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 5、如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，

ADBB B3 △A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和

为 ．

B2 4 B1 1 O A1 A2 A3

A4 A

（第5题图）

6、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 ． 7、如图8，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使

A △AED∽△ABC的条件是 ．

DB 图8

E C

8、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=

A D B

（第12题）

9、如图，在△ABC中，若DE5，则BC的长是 ． D，E分别是AB，AC的中点，

10、如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．

图3

三、解答题

1、如图5，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，

点E是AB的中点，连结EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. 2、如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF;

E C

(2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC

和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取值范围。

C

E F

P

A B

H

3、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：（1）AECG；

（2）AN•DNCN•MN.

4、如图，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交

AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

A D P B

H Q

R E

C

5、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP:PQ:QR．

B A P O C

D R E

6、如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE⑴求证：△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

1CD。 2EFDAB第21题图 C7、如图，在平面直角坐标系中，点C(3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB3OA10．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． y

B

x

C O A

2

8、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

9、如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．

（1）求证： ADE∽BEF；

（2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y．当x取什么值时， y有最大值?并求出这个最大值．

10.如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.

（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？