曲线方程专题题一

一．解读探究

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是历届高考的一个重点，出现的频率较高，求轨迹方程主要考察大家的分析问题和解决问题的能力及逻辑推理能力、运算能力，创新意识等，求轨迹方程这一热点，恰好能很好的反映大家在这些能力方面的掌握程度。 二.方法技巧 1.直接法

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。直接按“建系设点，列出条件，带入坐标，整理化简，限制说明”这五个基本步骤求轨迹方程。

例。已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2y21，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则MN2MOON。设M(x,y),则

22x2y21(x2)2y2化简得(21)(x2y2)42x(142)0

（1） 当1时，方程为x5，表示一条直线。 42221322（2） 当1时，方程化为(x2表示一个圆。 )y221(1)

2。定义法

定义法是指先分析，说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，在求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程。

例：某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.

错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.

技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

116(x)2242y=1 ① 253同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

14(x－)2+y2=1 ②

23由①、②可解得P(39123912912,),Q(,)，∴r=()2()2

21414714141414故所求圆柱的直径为

6cm. 73。代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，在代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，也称相关点发、转移法。

例：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x4)2y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

x4y0, ,y122(x42yx4－10=0 )()24222整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

练习：如图所示，点F(a,0)(a0),点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且

→PMPF0,PNPM0求点N的轨迹C的方程；

解：（1）设N(x,y),M(x0,0),P(0,y0),

则PM(x0,y0),PF(a,y0),PN(x,yy0).

2由PNPF0,得ax0y00①

xx,xx00,0PNPM0，得(xx0,y2y0)0，即即y并代入①，

y2y0,y,002得y24ax为所求.

4。几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程。 5.参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横，纵坐标x,y间建立联系，然后在从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程。

例：设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.

错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.

技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有

2y14px12y24px2y1y2 1x1x2yy1y21xxx12y1y2yy1xx1x1x2①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2) 若x1≠x2,则有

① ② ③ ④ ⑤

y1y24p

x1x2y1y2⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2

③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦⑥代入④，得

4px⑧⑥代入⑤，得

y1y2yyy1yy14p(yy1)4p4p所以即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2 22y1y2xx1y1y2y4pxy1x14p⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

x解法二：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB，得k=－

y由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0

b2所以x1x2=2,消x,得ky2－4py+4pb=0

kb24pb4pk所以y1y2=，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以=－2,b=－4kp

kkk故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

x代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) y故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 6。交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程，称交轨法。

2y4px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物

例1。抛物线

线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

2yyA解（1交轨法）：点A、B在抛物线y4px(p0)上，设A（B（B,yB),yA)，

4p4p22所以kOA=

4p4pkOB=,由OA垂直OB得kOAkOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方yAyB2yAyByA(x)，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB= -16p2代入得程可求得yyA224pyAyB4p4pAB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ①又OM的方程为y22yAyBx②

4P2由①②消去得yA+yB即得xy4px0，即得(x2p)222y24p2。

所以点M的轨迹方程为(x2p)y4p，其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。

解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆。所以方程为(x2p)2y24p2，除去点（0，0）。

例2．已知两点P2,2,Q0,2以及一条直线l:yx，设长为2的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。 【解】设M(x,y), A(a, a) , B(b, b), 不妨规定aP  Q  a2(x2) a2b2x 直线QB方程为y – 2 = bA  B   M a2y2(x2)a2b222∴动点M满足y2，消去参数a, b得xy2x2y80 xbba1说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 7.点差法

求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A(x1,y1),B(x2,y2)并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

例题.已知ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A2,8，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.

解 由已知抛物线方程得G8,0.设BC的中点为Mx0,y0，则A、G、M三

22x0812点共线，且AG2GM，G分AM所成比为2，于是，

82y0012x011解得，M11,4.

y40设Bx1,y1,Cx2,y2，则y1y28. 又y1232x1，（1）y2232x2，（2）

12得：y12y2232x1x2，kBCy1y232324.

x1x2y1y28BC所在直线方程为y44x11，即4xy400.

8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 二、注意事项：

1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

三。能力升华

1.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙

O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.2. 两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是

3.已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

sinBsinA5sinC,求点C的轨迹方程为 4x2y24，双曲线221 (a>0,b>0)满足如下条件:(1)ab=3;(2)过右焦点F的直线l的斜率为

ab21，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程. 25.如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线， 垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。

22

xyx2y26。已知椭圆：1，直线l:1，P是l上一点，射线

1282416OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||OP||OR|2，当点P在l上移动时，求点Q

的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

y l P R Q O x 图2

7.如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，

0

其中AP=100m，BP=150m，∠APB=60，问怎能样运才能最省工？

8. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

9. 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab，动

点M(x,y)的轨迹为E．求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

x2y22110.已知点P（b为正常数）上任一点,F2为双曲线的右焦点,1(x0,y0)为双曲线28bbP的轨过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2.求线段P1P2的中点

迹E的方程.

PyP2AP1F1OF2xx2y21的两个焦点是F1(c,0)与F2(c,0)(c0)，且椭圆上存在点M，11.设椭圆

m1使MF1MF20.

(1)求实数m 的取值范围；

(2)若直线:yx2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF1||EF2|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；

12..已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于

A，B两点．

O为坐标原点）（I）若动点M满足F，求点M的轨迹方程； 1MF1AF1BFO1（其中（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存

在，请说明理由．

y21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，12.设椭圆方程为x4111点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求：

2222（1）动点P的轨迹方程；