2019-2020学年新教材人教A版必修第二册 7.3.1 复数的三角表示式 学案

7.3.1 复数的三角表示式

知识点一 复数的三角形式

(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．

→

(2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线(射线OZ)为01终边的角θ叫复数z＝a＋bi的02辐角． 因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)． 知识点二 辐角的主值

(1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.

(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的． 特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．

1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或

k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．

2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

□□(1)－1＝cosπ＋isinπ.( ) ππ

(2)2i＝2cos2＋isin2.( )



(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做

(1)将复数z1＝－1＋3i表示成三角形式为________． 5π

(2)已知|z|＝23，argz＝3，求复数z＝________. (3)若a<0，则a的三角形式是________． 2π2π

答案 (1)2cos3＋isin3 (2)3－3i

(3)－a(cosπ＋isinπ)

题型一 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i；(2)1－i. [解] (1)r＝3＋1＝2， ∵3＋i对应的点在第一象限， ∴tanθ＝

13π＝3，即θ＝6， 3

ππ

∴3＋i＝2cos6＋isin6.

(2)r＝1＋1＝2.

∵1－i对应的点在第四象限， －17π

且tanθ＝1＝－1，∴θ＝4， 7π7π

∴1－i＝2cos4＋isin4.



复数代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限．

(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)． (4)求出复数三角形式．

把下列复数表示成三角形式．

3π3π

(1)－2＋2i；(2)2sin4＋icos4.



3π223π

解 (1)原式＝22－＋i＝22cos4＋isin4.

227π227π

(2)原式＝2－i＝2cos4＋isin4.

22题型二 判断复数三角形式的条件

例2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．

π1π

(1)2cos4－isin4；

π1πcos＋isin(2)－2； 33ππ

(3)2－cos5＋isin5；

ππ(4)sin5＋icos5.

[解] 根据复数的三角形式的结构， z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断． π17π7π1π

(1)不是.2cos4－isin4＝2cos4＋isin4.

π111π3

(2)不是．－2cos3＋isin3＝2－－i

224π14π

＝2cos3＋isin3.



ππ4π4π

(3)不是.2－cos5＋isin5＝2cos5＋isin5.

ππ3π3π

(4)不是．sin5＋icos5＝cos10＋isin10.

判断复数的三角形式的条件

(1)r≥0； (2)加号连接；

(3)cos在前，sin在后； (4)θ前后一致，可任意值．

即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．

ππ

求复数z＝3sin3－icos3的辐角主值．



11π3111π

解 ∵z＝3－i＝3cos6＋isin6，

2211π

∴辐角主值argz＝6.

题型三 复数三角形式化为代数形式 例3 把下列复数表示成代数形式． ππ

(1)4cos3＋isin3；

11π11π

(2)6cos6＋isin6.



[解] 根据a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，可得 a＝rcosθ，b＝rsinθ，故可解．

π13πcos＋isin(1)43＝4×＋4×322i＝2＋23i. 11π311π1

(2)6cos6＋isin6＝6×2＋6×－2i＝33－3i.



将复数的三角形式化为代数形式： 由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ， 可得a＝rcosθ，b＝rsinθ.

将下列复数的三角形式化成代数形式． ππ

(1)z1＝2cos6＋isin6；

(2)z2＝6(cos60°＋isin60°)． 31

解 (1)z1＝2＋i＝3＋i.

2213

(2)z2＝6＋i＝3＋33i.

22

1．－6的辐角主值为( ) ππ

A．0 B.2 C．π D．－2 答案 C

解析 －6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C. 2．下列说法正确的是( )

7π7π3π

A．已知复数z＝cos5＋isin5，则z的辐角主值为5 B．复数z＝2i＋3的虚部为2i C．(3＋i)6＝－64

3π3π

D．复数z＝2i的三角形式为z＝2cos2＋isin2

答案 C

7π

解析 A项，z的辐角主值argz＝5，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(3＋i)6＝[(3＋i)2]3＝(2＋23i)3＝8＋3×2×(23i)2＋3×22×(23i)＋(23ππ

cos＋isini)＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝22，错误．故C正确． 2

3

13

3．复数2－2i的三角形式是________． 5π5π

答案 cos3＋isin3

135π5π135π5π

解析 2－2i＝cos3＋isin3，故复数2－2i的三角形式是cos3＋isin3. π5π

4．设复数z，z＋2的辐角主值为3，z－2的辐角主值为6，则z＝________. 答案 －1＋3i

πr13r1π

解析 设z＋2＝r1cos3＋isin3＝2＋2i，

5π3r2r25π

z－2＝r2cos6＋isin6＝－2＋2i.

r13r13r2r2

∴2－2＋2i＝2－2＋2i， r13r22－2＝2－2， 易得

3r1r22＝2， ②

①

∴r2＝3r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋3i－2＝－1＋3i.

5π－

5．设复数z满足z－3z的辐角主值为4，z＋1的模为10，求复数z. 解 设z＝x＋yi(x，y∈R)．

由|z＋1|＝10，得|(x＋1)＋yi|＝10， ∴(x＋1)2＋y2＝10.①

又z－3－z＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，所以

－2x<0，5π

arg(z－3－z)＝4⇔4y<0，

－2x＝4y，解①②，可得x＝2，y＝－1. 所以z＝2－i.

②