整数值GARCH模型的稳健估计和mean targeting估计

传统的时间序列模型处理的都是连续数据(比如某地区的月降雨量、股票日交易价格等).用这些模型建模整数值数据的效果较差,当取值小于20时更是如此.常见的缺陷是:用连续数据逼近时偏差较大、在预测时得到的不是整数.这些数据在实践中广泛存在于精算学、经济学、金融学、流行病学、水文学、气象学等,比如,每天因患某种特定疾病到医院就医的门诊人数、某个险种每月的保单数目、一个生产线上每小时产出的次品数、商场每天销售某种商品的个数、某个理发店每小时到来的顾客人数等.这些相依的数据与传统的取值为实数的时间序列有较大差异,研究起来也更加困难.常见的时间序列模型是自回归模型和GARCH模型,分别建模条件均值和条件方差,它们都有对应的整数值形式.整数值时间序列模型的研究起源于上个世纪80年代基于细化算子的一阶整数值自回归模型的研究,之后人们提出了泊松整数值GARCH模型.这个模型假设数据的条件分布是泊松分布,条件均值(称为强度过程)是历史观察值和历史强度的线性函数,它可处理整数值数据中的波动性,特别是异方差性.众所周知,用GARCH模型来处理金融数据非常流行,它的提出者Robert Engle更是因此获得了2003年诺贝尔经济学奖.而整数值GARCH模型是其相应的整数值推广,从而一经出现就引起了广泛关注.整数值GARCH模型未知参数最常用的估计方法是最大似然,但是它的数值结果对初始值和和算法策略的选择非常敏感,这和经典的GARCH模型一样.为了消除这个数值困境,不采用数值最优化过程的显式估计是一个好的选择.另外一个思路是类比瞄准方差(variance targeting)估计的思想,引入瞄准均值估计(mean targeting estimation,MTE),通过减少数值最优化的参数的个数来减轻对初始值的依赖.当数据中存在离群值时一个常见的思路是采用稳健估计,我们分

别考虑了基于显式估计和估计的稳健估计.本文的主要内容分为三个部分,具体如下:1.稳健显式估计.作为采用数值最优化的估计量的替代品,人们想考虑显式的矩估计量.这些估计量可能会降低有效性,但是有容易计算的优点,可作为一些需要数值最优化估计量的初始值.我们给出了整数值GARCH模型的显式估计,建立了该估计量的相合性和渐近正态性.当所考虑的问题中存在离群值时,在一些情形下稳健估计和过滤掉离群值是非常重要的,我们考虑了显式估计量的稳健形式,它是通过将样本均值和自相关函数分别用它们的基于权、秩和符号的稳健估计量替换得到的.在加性或瞬态离群值的情况下稳健估计量给出了比较合理的估计.我们通过五个来自股票市场的实际例子展示了新估计量的表现,采用的评价标准是样本内预测、样本外预测和得分规则,并推荐了实际中应采用的方法.也讨论了其它可能的定义稳健估计量的方法.2.基于修正Tukey双权损失的数据自适应稳健估计.估计是比较常见的稳健估计方法,已有两篇论文考虑了整数值GARCH模型的两类估计,但是它们在建立估计量的大样本性质时存在一些缺陷.为建立估计量的存在性、唯一性、相合性和渐近正态性,需假设损失函数是三次连续可微的或估计方程对应的表达式是二次连续可微的,已有的Huber或Tukey损失函数不满足这个要求.首先,我们提出了一个被称为三权(tri-weight)的损失函数,它是Tukey的双权(biweight)函数的一个修正且是三次连续可微的.进一步,我们提出了一个新的混合损失函数,相对小的误差采用三权损失而相对大的误差采用指数平方损失.给出了Mallows拟似然估计,它可看作一种估计.建立了该估计量的存在性、唯一性、相合性和渐近正态性,也给出了一个计算估计量的算法,其中损失函数的两个调整参数的选取是数据驱动的.最后我们通过模拟检查了新估计量的表现,分析了三个实际例子来展示新估计量的优良性.3.mean

targeting估计.前面已经谈到,整数值GARCH模型参数的最大似然估计(maximum likelihood estimator,MLE)的数值结果对初始值和和算法策略的选择很敏感.为了消除这个数值困境,我们提出了MLE的一个备选并将它命名为MTE,这是GARCH模型中的瞄准方差估计方法的类似物.MTE依赖于模型的一个重新参数化过程,使得条件均值的表达式中明确含有无条件均值.第一步将无条件均值的一个估计量代入,第二步用MLE估计剩余的参数.两步估计过程可能破坏MLE渐近分布的精度,但精确性的损失不能由直觉得到.另外,对非泊松模型,不能想当然地认为MLE优于MTE.另一方面,MTE的优点可能不局限于数值简单性.这个过程能保证模型的无条件均值的估计值等于样本均值.当真实的模型不是泊松时,MTE提供的拟合优于MLE,这需要通过预测进一步检验.我们建立了MTE的相合性和渐近正态性.给出了与MLE的比较并讨论了新方法的优点.模拟和实际例子进一步验证了MTE相对MLE的优良性.