导数与定积分(极值最值带参数)

1时, 函数取得极大值, 则m的值为 ( ) 31122、解：因为当x＝时, 函数取得极大值，所以x＝时, 导数y'3x4xm0即

331114） 3()24m0解得m1（附：极小值f(1)0极大值f()33327323、函数f(x)xax3x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a ( )

23、解：由已知f(x)在x3时取得极值则在x3时导数y'2x2ax30即

12563(3)22a(3)30解得a5（附：极小值f(3)0极大值f()） 32734、已知函数y＝－x 2－2x＋3在区间[a, 2]上的最大值为3, 则a等于 ( ) 44、解：令y'2x22(x1)0得极值点是x1通过列表得函数在(,1)是增函数，在x1处取得极大值f(1)4，函数在(1,)是减函数。如图所示： 3由于函数在区间[a, 2]上的最大值34则必定有 43a在对称轴右边，并且所求的最大值3f(a) 4232所以a1，a2a33 -1431解得a1（舍去），a2 -5222、若函数y＝x 3－2x 2＋mx, 当x＝

864210-551015-2-420

y＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的-6-815、函数x值分别为0和, 则a、b的关系式是 3A. a2b＝0 B. 2ab＝0 C. 2ab＝0 D. a2b＝0

125、解：y'3ax2bx由函数y＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x值分别为0和,则代入导数，y'值为

3112120 ；①x0代入得3a02b00②x代入得3a()2b0由①②得a2b0

333-10-126、求函数yx6xa的极大值和极小值 6、解：令

3y'3x260解得x12,x22列表可以知道极大值是

f(2)(2)36(2)a42a极小值是f(2)(2)362a42a

7、已知函数yaxbx,当x1时, y的极值为3.求: (1) a, b的值; (2) 该函数单调区间. 7、解：(1) y3ax2bx

232f'(1)3a2b0a6当x1时, y的极值为3.y6x39x2.

f(1)ab3b92(2) 令y18x18x00x1

2令y18x18x0x1或x0 y在(0, 1)上为单调增函数;

y在(, 0),(1, )上为单调减函数.

函数极值最值的讨论（陆开昌编辑2007年5月9日星期三）

328、已知函数f(x)x3x9xa, (1) 求f(x)的单调递减区间;

(2) 若f(x)在区间[2, 2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.

28、解：令f'(x)3x6x93(x3)(x1)0得x11,x23列出表格得

自变量x的取值 (,1) 1 f'(x)3(x3)(x1)  (1,3) 3 (3,) 0  0  极小值 增函数 极大值 减函数 f(x)x33x29xa, 减函数 （1）f(x)的单调递减区间是(,1)和(3,) （2）由表格可知，区间[2, 2]上的最大值是f(2)或f(2)最小值是f(1)

因为f(2)81218a2a, f(2)81218a22a,

所以f(2)f(2)，所以22a20,,a2所以故f(x)x3x9x2,最小值

32f(1)13927

9、已知f(x)2x36x2a（a是常数），在2,2上有最大值3，那么在2,2上的最小值

是 A．5 B．11

C．29 D．37

9、解：令f'(x)6x26x6x(x1)0得x10,x21列出表格得 自变量x的取值 (,0) 0 (0,1) 1 (1,) 0 0 f'(x)6x(x1)   f(x)2x36x2a 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 在2,2上的最大值是f(0)或f(2)；因为f(0)a，f(2)8a所以最大值是f(0)a3 所以函数f(x)2x36x23，最小值是f(2)或f(1)；

因为f(2)2(2)36(2)2337，f(1)21361231所以函数在2,2上的最小

值是f(2)37

10、已知函数yx2x3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A．[1,)

22B．[0，2]

C．(,2]

D．[1，2]

10、解：函数yx2x3在(,1)上是减函数，在[1,)上是增函数并且f(0)3，f(1)2，

f(2)3。由题目，函数在区间[0，m]上的最小值是2，最大值3，所以 1m2

11、函数yx6xm的最小值为1，则m的值为

11、令y'2x60得x3则最小值是f(3)363m1解得m10

22，2]上的最大值是4，求a的值． 12、已知f(x)x2ax1在[112、解：令f'(x)2x2a0得xa

2函数极值最值的讨论（陆开昌编辑2007年5月9日星期三）

13、函数f(x)axlnx,(a0)有最大值, 则a的取值范围是 14、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

(1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 15、设a为实数,函数f(x)xxxa.

(1) 求f(x)的极值.

(2) 当a在什么范围内取值时, 曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.

3216、已知f(x)x3bx2c, 若函数f(x)的一个极值点落在x轴上, 求bc的值.

332x22xa1

17、已知函数fx，x[1,)， 1)当a时，求函数的最小值。

x2

2)若对于任意的实数x[1,)，fx0恒成立，求实数a的取值范围。

18、（11年天津卷.文6理5）若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小

值的3倍，则a=

2211 A. B. C. D.

424219、（11年湖北卷.理7）函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为

（A）

11 （B） （C）2 （D）4 4220、（本小题满分15分）已知函数f(x)xln(xm)在定义域内连续. （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

21、（本小题满分15分）设函数f(x)x6x5,xR （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围.

［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.

23、 已知x1是函数f(x)mx3(m1)xnx1的一个极值点, 其中m,nR,m0, (1) 求m与n的关系式; (2) 求f(x)的单调区间;

32326、例3：设

623＜a＜1，函数f(x)=x3－ax2＋b，(x∈[－1，1])的最大值为1，最小值为－，

232求常数a，b的值。