微分几何的基本概念

微分几何的基本概念：

一、 一些重要的基本概念：

1. 平面上的测地线是：

曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广：

定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。

定理2 对于曲面上的任意一点P以及在店P的任意一个单位切向量V，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P，并且以V为它在点P的切向量。

平面上的直线具有这个性质。

2. 确定一个直纹面的要素有：

所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。

正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。

确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u).

经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是

r=r(u,v)=a(u)+vl(u)

曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。

(s)(s)(s)(s)||r3. 曲线的曲率公式为, 空间曲线的基本公式是 . ；这是著名的伏

雷内公式

如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面．

平面上的点满足的条件为rurv在(u0,v0)点不等于零．

4、 切平面方程为(Rr(u0,v0),ru(u0,v0),rv(u0,v0))0． 坐标曲线正交的条件为

Frx•ry0． du：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行．

球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交．

apn,bqn,crn，那么a,b,c位置关系是共面, r(s)具有固定方向与rr=0的关系

5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果

是充分条件 。

6. 一次函数r(t)atb（t为参数 ,a曲率和挠率与参数的选择关系是无关, 球面曲线的法面一定过球心, 过曲面上正常点处坐标曲线的个数为2。

7. 曲面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 可展曲面有三种类型：柱面，锥面，切线曲面, 两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，它们具有相同的第一基本形式, 球面曲线的法面一定过球心．

（1） 称二次微分式I(dP(u),dP(u))dP(u),dP(u)为曲面S的第一基本形式。

2222LhP/u,nhP/uu,nhP/u,n 1111212222（2） 记，M=，N=

2我们称

L(dP,dP)(du1,du2)M222P/u2,ndu2Mdu12222P/u,ndu2P/u1u2,ndu1du211Ndu2为S在

P(u1,u2)处的第二基本形式，称L，M，N为第二类基本量。

8．曲线的参数方程：

由矢量分析可知，若矢函数rr(t),t[t1,t2]中的矢量r为半径，且在区间[t1,t2]上连续，则矢径终点的轨迹一般为一条空间曲线，且r(t)的坐标分量表达式就是该曲线的参数方程。

xx(t)yy(t),t[t1,t2]zz(t)r(t){x(t),y(t),z(t)}即若对应一条空间曲线，则为的参数方程。

9． 几种特殊的矢函数：

（1）矢函数r(t)为定长变矢的充要条件是rr0。

（2）不为零的变矢 r(t)为定向变矢 的充要条件是rr0。

（3）若rr0，则变矢 r(t)平行于某一平面的充要条件是(r,r,r)0。

222xyR二 、 包络面：如果圆（R是常数）是直线族AxByC0的包络，那么2222这个直线族一定是圆的切线族，所求条件是R(AB)C。

曲线论基本定理 给定区间 I  (a, b) 上的连续可微函数`(s) > 0 和连续函数`(s) ，则在 E3 中

① 存在弧长 s 参数化曲线 C: r  r(s) ，使其曲率函数 (s) `(s) ，并且其挠率函数 (s) `(s) ；

② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的．

曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行．

曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果．

——只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet公式．

例1 求平面族xcosysinzsin10的包络面()。

(xcosysinzsin1)

解答：

0 =xsinycoszcos，

于是，

(yz)cosxsin。

令

xtcos，

则

yztsin。

22xcos,yzsin,x(yz)1，这就是包络面t1代入平面族的方程，可得，因而

的方程发。又

(x,y,z)(cos,zsin,z)

=(cos,sin,0)z(0,1,1)，

所以这个包络面是一个柱面。

x2y2a2例2 求半径为R，球心位于圆周z0上的球面族的包络面，这里R，a全是

正常数。

解答： 该球面族即为

2222(xacos)(yasin)zR 。

对参数求导，有

xsinycos。

令x(at)cos，则y(at)sin，代入球面族方程，有

222 tRz，

222xy(at) ，

22222xyRza2at 。

两边平方后，有包络面方程

2222222224a(Rz)(xyzRa)。

练习

1． 求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

解 令cost=1,sint=0, 的切线为

t=0得t=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)

x1yz011 ，法平面为 y + z = 0 。

23r2． 求三次曲线{at,bt,ct}在点t0的切线和法平面。

23xat0ybt0zct022r'(t0){a,2bt0,3ct0}a2bt3ct00解 ，切线为，

法平面为

223a(xat0)2bt0(ybt0)3ct0(zct0)0。

3. 证明圆柱螺线r={ a cos,asin,b} ()的切线和z轴作固定角。

r'kba2b2为证明 r'= {-asin ,acos,b},设切线与z轴夹角为,则cos =|r||e|常数，故为定角（其中k为z轴的单位向量）。

4. 求悬链线r={t，acosha}（-t）从t=0起计算的弧长。

ttt2tttcoshdtasinh1sinhsinhcoshaaa = a}，|r' | =a， ｓ＝0解 r'= {1， 。

t322y3x3ay,2xza5．求曲线在平面 与y = 9a之间的弧长。

a

x3a2a{x,2,2x}y3 与y = 9a的交点分别为解 曲线的向量表示为r＝3a，曲面与两平面

x4a4x2a2x2a214{1,2,2}22a44x＝a2x，｜r'｜＝2x，所求弧长为x=a 与x=3a , r'＝as3aax2a2(22)dx9aa2x 。

6. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

sa2b2，

解 r'= { -asint,acost,b}，s =

st0|r'|dta2b2t，所以

bstsa2b2,

代入原方程得 r={acosa2b2, asina2b2}

7.求用极坐标方程()给出的曲线的弧长表达式。

x()cosy()sin解 由，知r'={'()cos-()sin，'()sin+()cos}，

22()'()，从0到的曲线的弧长是s=r'|| =

02()'2()d 。

求平面族的包络面，其中每个平面到n个确定点的距离之和为定植。

解答： 若Mi(xi,yi,zi)(i1,2,)是已知点。取平面的法式方程： xcosycoszcosp0。

由点Mi(xi,yi,zi)到平面的距离：

dixicosyicoszicosp。

由问题的条件

cosxicosyicoszinpbi1i1i1nnn常数。

将这个关系式写成

cosxi/ncosyi/ncoszi/npb/ni1i1i1nnn。

这个条件说明了一个事实：具有坐标为

nnnxi1iyi1izi1i

n，n，n

的点与族中所有平面皆有同样的距离；因而，包络面是具有中心在该点的球面。

8．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

sintcostr'r解 ={ -a,a,b},''={-acost,- asint,0 }

所以曲线在任意点的密切平面的方程为

xacostasintacostyasintacostasintzbtb0 = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

9. 求曲线r = { tsint,tcost,te } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法

t线、副法线。

ttr解 原点对应t=0 , '(0)={ sint+tcost,cost- tsint,e+te}t0={0,1,1}，

r''(0){2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t0 ={2,0,2} ，

xyz011 ，法面方程是 y + z = 0 ； 所以切线方程是

xyz011密切平面方程是

202=0 ，即x+y-z=0 ，

xyz0yxz主法线的方程是yz0 即211 ；

xyz从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111 。

10．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt的主法线和z轴垂直相交。

sintsintcostcostr'r'r''r''r证 ={ -a,a,b}, ={-a,- a,0 } ，由⊥知''为主法线的方向向

量，而r''k0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

xacostyasintzbtcostsint0

与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

11.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

r'r解 = {-cossint, coscost, sin } , ''={ -coscost,- cossint , 0 }

r'r''|r'r''|{sinsint ,- sincost , cos } 新曲线的方程为r={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos }

对于新曲线r'={-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t),

rcos(-t), sin} , ''={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是

xcosacostsin(at)cos(at)ycosasintcos(at)sin(at)ztsinasina00

即 sin sin(t-) x –sin cos(t-) y + z – tsin – cos = 0 .

12证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

证 方法一：

r设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径(t)具有固定长，所以

r·r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。



r0，(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r·r'=

方法二：

rr(t)是球面曲线存在定点r0（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使(rr0)2R22(rr0)r0 ，即(rr0)r0 （﹡）

而过曲线rr(t)上任一点的法平面方程为(r)r0 。可知法平面过球面中心（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

13.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost，asint，bt}的副法线的直线轨迹是锥面

a2(x2y2)bz2.

a{bsint,bcost,a}sintsint证 r'={ -a,acost, }, r''={-acost,- a,0 } ，r'×r''=为副

yxz法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是bsintbcosta ，消去参数t得a2(x2y2)bz2。