高一数学2007．11．16
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．将答案填在答案卷的表格内）
1. 已知集合P＝{x∈N｜1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R｜x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于 （A）{1，2，3} （B）{2，3} （C）{1，2} （D）{2}
3x2
2. 函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是
1－x1
（A）(－，＋∞)
3
2
2
1
（B）(－，1)
3
2
11
（C）(－，) 33
1
（D）(－∞，－)
3
3. 已知log1b＜log1a＜log1c，则 （A）2b＞2a＞2c
（B）2a＞2b＞2c
（C）2c＞2b＞2a
（D）2c＞2a＞2b
9－x24. 函数f(x)＝的图象关于
x
（A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）原点对称 （D）直线x－y＝0对称
5. 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的 取值范围是 （A）a≤2 （B）a≥－2 （C）－2≤a≤2 （D）a≤－2或a≥2 6. 设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，计算
得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间 （A）(1，1.25) （B）(1.25，1.5) （C）(1.5，2) （D）不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答卷纸上） 7. 函数y＝2的值域为____▲____.
11
8. 已知f(x)＝｜logax｜，其中0＜a＜1，则f(2)，f()，f()由大到小排列为_____▲_____.
349. 若函数y＝mx2－6x＋2的图像与x轴只有一个公共点，则m的取值集合为______▲___. 2
10. 若loga＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是_____▲_____.
3
11. 已知函数f(x)＝ax7＋bx－2，若f(2008)＝10，则f(－2008)的值为_____▲_____.
－2x， x≤0，
12. 函数f(x)＝2若f(x)＝10，则x＝_____▲_____.
x＋1，x＞0，
x13. 已知：两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表： x f(x) 1 2 2 3 3 1 x g(x) 1 1 2 3 3 2 x g[f(x)] 1 2 3 填写后面表格，其三个数依次为：____▲____.
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14. 关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下四个结论：
①定义域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③最小值为1；
④图象恒在x轴的上方.
其中正确结论的序号是_______▲_______.
三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本题满分8分）
327
（1） 化简：0.25×()2×()4；
24
－1
11
x
（2） 已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，求log2 的值.
y
16. （本题满分10分）
设函数f(x)＝｜x2－4x－5｜，x∈R.
（1） 在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图像； （2） 写出该函数在的单调区间. ．R．上．
y 8 6 4 2
x －2 O 2 4 6
17. （本题满分10分）
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1） 当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
（2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月效益最大？最大效益是多少？
18. （本题满分10分）
－＋
已知幂函数f(x)＝x(2k)(1k)（k∈Z）满足f(2)＜f(3).
（1） 求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式； （2） 对于（1）中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，
使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x，在区间[0，1]上的最大值为5. 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
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19. （本题满分12分）
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
（1） 若a＞b＞c，且f(1)＝0，证明f(x)的图象与x轴有2个交点；
（2） 在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f(m)＝－a成立时，f(m＋3)为正数，若
存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
1
（3） 若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，
2
证明必有一个根属于(x1，x2).
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江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试
高一数学答案
一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案填在相应的横线上．
7．[1，＋∞) 9
9．{0，}
2
11
8．f()，f()，f(2)
432
10．(0，)∪(0，＋∞)
3
11． －14 12．3或－5 13．3，2，1 14．②③④
三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） （1）解：原式＝4×2
1
－214
×3×27×4
34
－12
1414
－
14
＝4×2
－
－
12
×3×3×2
＝4×21×3 ＝6.
＞0，xy＞0，
（2）解：根据题意，得
x－2y＞0，( x－2y)＝xy，
2
x＞2y＞0，解得
x＝y，或x＝4y，
因此x＝4y.
x
所以log2 ＝log24＝4.
y
16．（本题满分10分） 解：（1）函数f(x)＝｜x2－4x－5｜＝｜(x－2)2－9｜，（列表，描点，作图） x y －2 7 －1 0 0 5 1 8 2 9 3 8 y 8 6 4 2 4 5 5 0 6 7 （2） 函数在(－∞，－1]上单调递减；
函数在[－1，2]上单调递增； 函数在[2，5]上单调递减； 函数在[5，＋∞)上单调递增.
第 4 页 ,共 6 页 17．（本题满分10分） 解：（1）3600－3000＝600（元） 600÷50＝12（辆） 100－12＝88（辆）
答：当每辆车的月租金为3600元时，能租出88辆.
（2）设每辆车的月租金定为(3000＋50x)元时，租赁公司的月效益为y元，
则y＝(100－x)(3000＋50x－150)－50x，其中x∈N， 对于y＝(100－x)(3000＋50x－150)－50x
＝－50(x－21)2＋307050，
当x＝21时，此时月租金为3000＋50×21＝4050（元），ymax＝307050（元）. 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月效益最大，为307050元. 18．（本题满分10分） 解：
－＋
（1）对于幂函数f(x)＝x(2k)(1k)满足f(2)＜f(3)， 因此(2－k)(1＋k)＞0， 解得－1＜k＜2， 因为k∈Z， 所以k＝0，或k＝1， 当k＝0时，f(x)＝x2，
当k＝1时，f(x)＝x2，
综上所述，k的值为0或1，f(x)＝x2.
（2）函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x
＝－mx2＋(2m－1)x＋1，
因为要求m＞0，因此抛物线开口向下，
2m－1
对称轴x＝，
2m
2m－11
当m＞0时，＝1－＜1，
2m2m因为在区间[0，1]上的最大值为5，
1
1－2m＞0，1－1≤0，
所以或2m
1
g(0)＝5，
g(1－2m)＝5，
5
解得m＝＋6满足题意.
2
19. （本题满分12分） 解：
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（1）因为f(1)＝0， 所以a＋b＋c＝0， 又因为a＞b＞c， 所以a＞0，且c＜0， 因此ac＜0， 所以Δ＝b2－4ac＞0， 因此f(x)的图象与x轴有2个交点.
（2）由（1）可知方程f(x)＝0有两个不等的实数根， 不妨设为x1和x2， 因为f(1)＝0， 所以f(x)＝0的一根为x1＝1，
bc
因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
aabc
所以x2＝－－1＝，
aa
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以－2＜x2＜0.
因为要求f(m)＝－a＜0， 所以m∈(x1，x2)， 因此m∈(－2，1)， 则m＋3＞1，
因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增； 所以f(m＋3)＞f(1)＝0成立.
1
（3）构造函数g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
2
11
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，
2211
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]，
22
11
于是g(x1)g(x2)＝[f(x1)－f(x2)][f(x2)－f(x1)]＝－[f(x1)－f(x2)]2，
44因为f(x1)≠f(x2)，
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1
所以g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2＜0，
4所以方程g(x)＝0在(x1，x2)内有一根， 1
即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一根属于(x1，x2).
2
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