用凯特摆测量重力加速度
实验目的:学习凯特摆的实验设计思想和技巧,掌握一种比较精确的测量重力
加速度的方法。
实验原理:1、当摆幅很小时,刚体绕O轴摆动的周期:
实验仪器:
实验内容:
刚体质量m,重心G到转轴O的距离h,绕O轴的转动惯量I,复摆绕通过重心G的转轴的转动惯量为IG 。 当G轴与O轴平行时,有I=IG+mh2
∴
∴复摆的等效摆长l=( I2 G+mh)/mh
2、利用复摆的共轭性:在复摆重心G旁,存在两点O和O´,可使该摆以O为悬点的摆动周期T₁与以O´为悬点的摆动周期T₂相同,可证得|OO´|=l,可精确求得l。
3、对于凯特摆,两刀口间距就是l,可通过调节A、B、C、D四摆锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。
∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b
凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。 1、仪器调节
选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l,使两刀口相对摆杆基本对称,并相互平行,用米尺测出l的值,粗略估算T值。 将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上,调节底座上的螺丝,借助于铅垂线,使摆杆能在铅垂面内自由摆动,倒挂也如此。 将光电探头放在摆杆下方,让摆针在摆动时经过光电探测器。
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让摆杆作小角度摆动,待稳定后,按下reset钮,则测试仪开始自动记录一个周期的时间。 2、测量摆动周期T₁和T₂
调整四个摆锤的位置,使T₁和T₂逐渐靠近,差值小于0.001s,测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均值。 3、计算重力加速度g及其标准误差σg 。
将摆杆从刀承上取下,平放在刀口上,使其平衡,平衡点即重心G。测出|GO|即h₁,代入公式计算g。 推导误差传递公式计算σg 。
实验数据处理:1、l的值
l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cm σ=0.03055cm,uA =σ/
=0.01764cm,
∴ΔA =tP ·uA =1.32*0.01764=0.02328cm uB=ΔB /C=0.1/3=0.03333cm ∴uL =Te =
=0.04066cm =1.729s
2、T₁和T₂的值 T₁=1.72746s
σ=2.525*10¯⁴s,uA =σ/
=1.129*10¯⁴s
∴ΔA =tP ·uA =1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴s uB=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s ∴uT1 =T₂=1.72751s
σ=1.469*10¯⁴s,uA =σ/
=0.6570*10¯⁴s
=1.329*10¯⁴s
∴ΔA =tP ·uA =1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴s
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uB=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s ∴uT2 =
3、重力加速度g h₁=44.46cm
∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)] =4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)
+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]} =9.813m/s²
∴ug0.68 =g·{l¯²* uL ²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·uT1 ²
+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·uT2 ²}
=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²
+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)² +[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]² *(0.8197*10¯⁴)²}
=0.00545m/s² ∴ug0.95 =2* ug0.68 =0.011 m/s²
∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95
思考题:1、凯特摆测重力加速度,在实验设计上有什么特点?避免了什么量的
测量?降低了哪个量的测量精度?实验上如何来实现?
答:凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量,利用复摆上两点的共轭性,对难以精确测定的量,有些避免了对其的测量,不能避免的则降低了其测量精度。避免了对复摆转动惯量IG 的测量,降低了对重心G到悬点O的距离h₁的测量。实验上利用复摆上两点的共轭性,通过调节四个摆锤的位置,使得两刀口共轭,则两刀口距离即为等效摆长l,避免了对IG 的测量,此时正、倒悬挂的摆动周期基本相等,从而使4π²/g=a+b中不易精确求得的b项远小于a项,这样b项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。
=0.8197*10¯⁴s
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2、结合误差计算,你认为影响凯特摆测g精度的主要因素是什么?将所得的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较,你能得到什么结论?若有偏差,试分析之。
答:从误差计算中,易得知影响凯特摆测重力加速度精度的主要因素是对等效摆长l的测量,因为是用米尺测l,所以测量误差较大。所得实验结果与当地重力加速度公认值相比:g0 =9.7947m/s²,
相对误差d=(g-g0)/g0=1.9‰,可知凯特摆法得精度较高。此法的误差来源于:两刀口间距l的米尺测量误差,h₁的测量误差,摆锤在测量过程中受重力作用可能有所滑动,摆角的影响。
3、摆的角振幅(即摆杆的偏转角)的大小,对实验结果有无影响?能否进行理论修正。
答:有影响,且摆角越大影响越大。可以进行理论修正。单摆周期公式 为
,令l为复摆的等效摆长,则复摆周期公式为:
,若正、倒悬挂时,摆的角振幅相等,
则由T₁和T₂的公式消去IG ,可得:
4π²(1+θ²/16)/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b
4、到本实验为止,你用了哪些方法测重力加速度?试比较其优缺点。从原理上讲,哪个方法最准确?为什么?
答:单摆法测重力加速度、凯特摆法测重力加速度。单摆法的优点是实验装置简单、原理直接、直接测量量较少且容易测量,缺点是受悬线质量、悬线弹性、空气浮力影响较大,精度不高,有较大误差。凯特摆法的优点是用光电探头测周期误差较小,摆杆各部分处于对称状态可抵消空气浮力的影响和减小阻力的影响,缺点是实验中调节复摆的过程较为麻烦。从原理上讲,凯特摆法最准确,因为实验中用的凯特摆是刚体,
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不易形变,而单摆法中受装置影响太大,实验所测的量并不能很好的满足公式。
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