直线与方程
一、 知识要点: 1、
直线的斜率:倾斜角不是90°的
直线.
它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.
直线的斜率常用k表示,即 ktan 2、
直线的斜率公式:在坐标平面上,
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 由于两点可以确定一条直线,直线P1P2就是
确定的.当x1≠x2时,直线的倾角不等于90°时,这条直线的斜率也是确定的.怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率?
P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2,再作P1Q⊥P2M,垂足分别是M1、M2、Q.那么:
α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)
在图甲中:tan在图乙中:
QP2y2y1 P1Qx2x1 .
.
tantanP2P1QQP2y2y1 QP1x2x
如果P1P2向下时,用前面的结论课得:tany1y2y2y1 x1x2x2x综上所述,我们得到经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:
3、直线的点斜式方程:
yy0k(xx0) ………… ①
其中(x0,y0)为直线上一点坐标,k为直线的斜率。
y 方程①是由直线上一定点及其斜率确定,叫做直线的点斜l 式方程,简称点斜式。 4、直线斜截式方程:
o b x ykxb ………… ②
我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的,所以叫做直线斜截式方程,简称为斜截式。
.
.
5、直线方程的两点式:
yy1xx1(x1x2,y1y2) y2y1x2x1其中x1,y1,x2,y2是直线两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标. 6、直线方程的截距式:上截距.
7、直线方程的一般形式:Ax+By+C=0 (A、B不全为0) 8、两条直线的交点坐标: 设两直线的方程是
l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.
xay1,其中a,b分别为直线在bx轴和y轴
(2)当A1B2-A2B1=0时:方程无解,即两直线平行. 9、两点间的距离公式:
思考题1、如图(1),求两点A(—2,0),B(3,0)间的距离。 即:AB3(2)5
.
y 3 y 3 2 A' • B 1 2 2 1 A • -2 1 -1 o -1 - • A B 1 2 3 x -2 • -1 o -1 -2 • 3 x .
(图1) (图
2)
思考题2、将图(1)中的A点移到第二象限A'2,2处。如何求A'、B间的距离?
思考题3、将图(2)中的B点移到第三象限B'3,2处。怎样求A',B'间的距离? 3 A' A y y • 2 1 -1 O -1 P2 3 N2 2 1 -1 O -1 1 2
1 2 B -2 3 x •B' M2 -2 3 x M1
C • -2 Q -2 N1 P1
.
.
(图3) (图4) 在图(4)中构造出一个直角△P1QP2
∵P1QM1M2x2x1,P2QN1N2y2y1 ∴P1P2P1QP2Q(x2x1)2(y2y1)2
10、点到直线的距离:
例题:过点P0(x0,y0)作直线l的垂线,垂足为Q。求P0到直线l的距离
(1)若直线l∥x轴,即:A=0,直线l的方程AxByC0为:
yC (∵B≠0). B22点P0到直线l的距离dy0C。 B(2)若直线l⊥x轴,即:B=0,直线l的方程AxByC0为:
yC (∵A≠0). A点P0到直线l的距离dx0
C。 Al(3)若直线l不平行x轴,也不垂直x轴,则直线l的斜率是。 y AB直线P0Q的方程为yy0(xx0), 即:BxAyBx0Ay0。
P0BAQ 与直线l的方程AxByC0联立,得方程组 O x .
.
P0QAxByC0BxAyBx0Ay0
Ax0By0CAB22。
因此,点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为:
dAx0By0CAB22
1点A(a,2)到直线l:3x-4y+3=0的距离为1,求a的值
2已知平行线2x3y30与2x-3y-9=0,求与它们等距离的平行线的方程
3已知A(1,2),B(3,4),直线l1:x=0,l2:y=0和l3:x+3y﹣1=0、设Pi是l(2,3)上与A、B两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3ii=1,的面积是 .
4已知直线(a2)y(3a1)x1. 求证:无论a为何值时直线总经过第一象限.
5若直线l:y=kx.
3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求
.
直线l的倾斜角的取值范围.
6若直线2t3x2yt0不经过第二象限,求t的范围
7已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1,则a=( ).
A.2 B.-2 C.21 D.21
8求过直线l1:y1x10和l2:3xy0的交点并且与原点相距为1的直
33线l的方程.
9直线l过点P(1,2),且M(2,3),N(4,-5)到l的距离相等,则直线l的方程是
10若两平行直线3x2y10和6xayc0之间的距离为
c2的值. a213,求13
11两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是( ). A. 2 B. 1 C.
13131 26 D.
5 26
.
.
12与直线l:5x12y60平行且与l的距离2的直线方程是
13 已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为2,点
N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.
14△ABC中,A(3,3),程.
15与直线2x3y60关于点(1,-1)对称的直线方程是 求点A(2,2)关于直线2x4y90的对称点坐标
16在函数y4x2的图象上求一点P,使P到直线y4x5的距离最短,并求这个最短的距离.
17在直线l:3xy10上求一点P,使得:
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大。 (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小。
.
B(2,2),C(7,1). 求∠A的平分线AD所在直线的方
.
18已知点P在直线x+2y﹣1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ的中点为M(x0,y0),且y0>x0+2,则
19试求直线l1:xy20关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程.
20在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
的取值范围是
21已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O为原点.
(1)当△ABO面积最小时,求直线l的方程; (2)当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程.
.
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容