高数2 期末复习题

一、单项选择题

1、下列函数中是奇函数的是（

2）

x A、f(x)1sinx B、ln(x1x) C、f(x)arccosx D、

1cosx11，则f(f(x))=（ ） xxx2x11 B、 A、 C、 D、 1x1x1x1x3、当x0时，下列函数哪个是x的高阶无穷小量（ ）

2、设f(x) A、xsin2x B、tanxsinx C、xsinx D、cos(4、当x0时，下列函数哪个不是x的同阶无穷小量（ ） A、tanxsin2x B、e2x22x)

1 C、13x1 D、1cos3x

5、下列式子不正确的是（ ）

sinx11A、lim1 B、limxsin1 C、lim(1x)xe； D、lim(1)xe

x0x0xx0xxx6、当x0时，下列函数哪个不是x的等价无穷小量（ ）

A、sin2xtanx B、e1 C、ln(1x) D、2(1cosx) 7、x2是函数f(x)arctanx11的 （ ） x2A、连续点； B、可去间断点； C、跳跃间断点； D、第二类间断点；

dsinx1t2dt( ) 8、dx0A、cosxcosx B、cosx C、cosx D、cosx

29、设yxe2x的，则下列说法正确的是（ ）。

11是极小值点； B、x是极大值点； 2211C、x不是极值点； D、x是拐点.

22A、x10、 函数f(x)1x在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件的( )

A、 1/2 B、 1/3 C、 2/3 D、 3/4 11、设f(x)在xx0处可导，则limx0f(x0)f(x0x)等于（ ）

x A、 f(x0) B、f(x0) C、2f(x0) D、 f(x0)

12、设F(x)G(x)，则（ ）

A、 F(x)G(x)0 B、 F(x)G(x)0 C、F(x)G(x)为常数 D、 F(x)G(x) 为常数 13、函数f(x)xe2x的下凸区间为

A、(,) B、(,) C、(,1) D、(1,). 14、设函数f(x)满足f(x0)0，且f(x)在xx1处不可导, 则（ ） A、xx0和xx1都是极值点 C、只有xx1是极值点

B、只有xx0是极值点

D、xx0和xx1都有可能不是极值

12121xsin, x0,15、f(x), 则f(0)=（ ） x 0 , x0.A、0 B、1 C、-1

D、不存在

f2(x)f2(x0)16、设函数f(x)在x0可导，则 lim （ ）

xx0xx0 A、f(x0) B、f(x0) C、0 D、2f(x0)f(x0)

1xsin, x0,17、f(x) 在x=0处可导, 则（ ） x 0 , x0.A、1 B、1 C、1 18、极限lim D、2

sinxy （ ） x1xyy1A、等于0 B、等于1 C、等于2 D、不存在 19、设f(x)3xyxy，则下列说法中正确的是（ ） A、（0, 0）是极小值点； B、（0, 0）是极大值点； C、（1，-1）是极小值点； D、（1, -1）是极大值点 20、下列级数中发散的是

A、

33n13n3n(1) B、 C、n2 D、 2nn1n!n1n1nn121、设a为常数，且a0，则级数

1n1na1cos（ ）

nA、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、收敛性与有关

22. 级数

(1)n ln(2n)n1A发散； B 绝对收敛； C条件收敛； D 无法判断.

23. 下列结论错误的是

un11，则正项级数un收敛； A 若un收敛，则limun0；B 若

nunn1n1C 若

un1n收敛，则

un1n收敛；D

(un1nvn)收敛，则un与vn都收敛.

n1n124. 下列说法正确的是： A 级数

xn1n收敛，则级数

xn12n也收敛. B 绝对收敛的级数一定收敛.

C 级数

kun1n和

un1n同敛散. D收敛级数去括弧后所成的级数一定收敛.

25、微分方程y2yx的通解为( ) x2A、 Cxx B、 xxC C、 xCx D、Cxx

12226、曲线

yxex2的渐近线的条数有

A、 0 B、 1 C、2 D、 3 27、方程xlnx0实数根的个数是（ ） A、0 个 B、1个 C、2个

y2 D、3个

28、已知zx，则下列结论正确的是（ ）

2z2z2z2zA、0 B、0

xyyxxyyx2z2z2z2zC、0 D、0

xyyxxyyx29. 改换

(A) (C)

dy011y21y2f(x,y)dx的次序，则下列结果正确的是 ( )

11dx1x20f(x,y)dy； (B)

11dx01x2f(x,y)dy；

11dx1x21x222f(x,y)dy； (D)

dx011x21x2f(x,y)dy．

2z ( ) 30. 设zsin(xy)，则

xy(A) sin(xy)； (B) sin(xy)； (C) (2x2y)sin(xy)； (D) 4xysin(xy)．

22222222二、填空题

1、由曲线y1x2,yx21所围成的平面图形的面积为 2、函数f(x)arcsinx在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的=_______. 3、设函数yy(x)由方程y1xsiny确定，则

3dy_________. dx4、函数f(x)x3x,x[2,]的最大值为

5、微分方程4y4yy0满足初始条件y02, y(0)0的特解为 6、yarccosx2 则y(0)_________. 7、 曲线y322x上点(1，1)处的切线方程为_______.

n18、级数

(1)n12nnx的收敛半径R ______. n19、设D是由曲线xy1,xy1及x0所围的区域，则10、设f(x)x(x1)(x2)(x100)，则f(1)___

1xdxdy =_______.

D11.极限lim(12sinx0x) (,1)12.设函数zexyy2sinx，则它的全微分dz

13.

222sinxln(x1x)dx 214. 某商品需求函数为Q200.25P，则当P10时的需求价格弹性为 15. 微分方程dy

三 、 计算题 1、求lim3x2ydx的通解为 313

x1x1x13x34x222、求 lim3

x7x5x23ln1xcosx1tanxsinxlim3、求lim，，． lim23x0x0x0secxcosxx(arctanx)2x1,0x1,x1, 在点x1处的连续性． 4、讨论函数 f(x)1,x3,1x2.5．下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义求下列极限，指出A表示什么？

f(x0x)f(x0)A；

x0xf(x)(2) limA，其中f(0)0，且f(0)存在；

x0xf(x0h)f(x0h)(3) limA．

h0h(1)lim6、y312x2 求

dy dxdy7、ysin2x2 求

1xdx8．求下列函数的导数：

(1)y2exsinx； (2)y(4x3)2； (3)ytan(12x)； (4)yarctan(ex)；

1lnx；(8)ysinnxcosnx；

1lnx1sin2xx (9)ylnlnlnx；(10) ye； (11)yxarccos2x2 3xy9．用微分求由方程1sin(xy)e确定的函数yy(x)的微分与导数．

(5)yln(sinx)；(6)yex2cos3x；(7)y2z2z2z10．求下列函数的二阶偏导数2，，：

xxyy2(1)zx2y； (2)zx．

x2y211．求下列函数的全微分:

xy(1)zarctan； (2)zy2x2ycos(xy)；

xy(3)zln1x2y2； (4)uxyyzzx． 12．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：

dy； dxzz(2)x2y2z24z，求，．

yx(1)sin(xy)x2y2xy，求13、求函数y5e4x的弹性函数14、某商品需求函数为Q20EyEy及在x3处的弹性

ExEx。

x3P，求： 4(1)需求弹性函数；

(2)当P5时的需求价格弹性；

(3)当P5时，若价格上涨1%，其总收益是增加还是减少?它将变化多少? 15、验证下列各题，确定的值：

(1)对函数ycosx在区间[,]上验证罗尔定理；

22(2)对函数y3x32x22在区间[0,1]上验证拉格朗日中值定理；

x216、证明当x0时，有e1x

2x17、证明 当x1时， lnx18、求函数fx2xx22(x1)

x123的极值．

19、求函数

x)(x3)2f(4(x1)的极值与并判断其凸性.

20、求下列曲线的渐近线：

(1)yln1x； (2)yx3x2； 21、求函数fx,yx3y33x23y29x的极值．

22、计算下列不定积分 1（1）

exx2dx；（2）cos3xdx；（3）sin(45x)dx；（4）dxcos27x； （5）cos5xsinxdx；（6）2xx21dx；(7)

dx3；（8）

2x2xdx1ex (9) arctanxdx (10) 求e3xdx (11)

xexdx (12) e3x9dx

23、 求下列极限：

xt2x2x（1）lim0edt； （2）lim0ln(12t)dtln(1t)dt1cosx； （3）lim0x0xx0x0x2；

24. 计算下列积分： （１）

2１3312x214dt1(3x12)dx； （２）09x2dx； （3）1xdx；（4）01t2（5）5u1udu； （6）e1lnxdx； （7）110arctanxdx； （8）40cosxdx；

25、计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形面积.

26、计算xyd，其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域．

D27、xyd,其中D:yx和yx2所围成的闭区域；

D28．将二重积分If(x,y)d化为二次积分（两种积分次序都要），积分区域给定如下：

D (1) D:xy1,xy1及x0所围成的闭区域；

(2) D:yx2及y4x2所围成的闭区域；

(3) D:yx,x2及y1x(x0)所围成的闭区域

29．交换下列二次积分的积分次序： (1)1dyy10yf(x,y)dx； (2)2dx2x0xf(x,y)dy；(3)dx101x2f(x,y)dye1dx1lnxf(x,y)dy；

30.判别下列正项级数的敛散性：

(1) (n1)2n3； (2)112； (3)n(a0).

n1n2n1n11a ；

n13n (4) n； (5)  ；

n12n1n!31.判别下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？

n(1)n(1) ； (2) (1)n；

n1ln(2n)n1n1(3)

(1)n1n11πln(1)； (4) (2)nsinn.

n3n132.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：

(1)nn(1) x； (2)

n02n1xn； n2n!12n(1)nn(3) nx； (4) x；

n1n13n133．求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：

（1）2xy2dx(1x2)dy0； （2）xyylny0； （3）ysinxylny,y|e； （4）x2xdyyyln； dxx212y(x1)3； （6）yylnx,y|x11； x1xx34．求一曲线，使该曲线通过原点，并且在点(x,y)处的切线斜率为3xy．

（5）y35．设曲线L位于xoy平面的第一象限，L上任一点M(x,y)处的切线与y轴相交，交点记为A．已知

33|MA||OA|，且L过点(,)，求L的方程．

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