2018-2019学年高三第一次月考理科数学试卷

A．𝑏>𝑎>𝑐 B．𝑏>𝑐>𝑎 C．𝑎>𝑏>𝑐 D．𝑐>𝑏>𝑎

2018-2019学年高三第一次月考理科数学试卷

考试范围：选修4-4；集合与常用逻辑用语；基本的初等函数； 考试分值：150分考试时间：120分钟命题人：张丽玲

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

9．（本题5分）函数𝑓(𝑥)= 𝑥2−2𝑥−8的单调递增区间是（ ） A．(−∞,−2] B．(−∞,1] C．[1,+∞) D．[4,+∞)

10．（本题5分）已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥3−7𝑥+sin𝑥，若𝑓(𝑎2)+𝑓(𝑎−2)>0，则实数𝑎的取值范围是 A．(−∞,1) B．(−∞,3) C．(−1,2) D．(−2,1)

𝑥2，0≤𝑥≤1 11．（本题5分）已知𝑓(𝑥)是周期为4的偶函数，当𝑥∈[0,2]时𝑓 𝑥 = ，则

log2𝑥+1,1<𝑥≤2„ __„○___○„___„„___„„：„号„考„订___订„___„„___„„__：„„级„○班_○„___„„___„„___„„_：„装名姓装„__„„___„„___„„___„○:校○„学„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„第I卷（选择题）

一、解答题（共60分）

𝑓 2014 +𝑓 2015 =（ ） 1．（本题5分）点M的极坐标为（1，π），则它的直角坐标为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

A．（1，0） B．（−1，0） C．（0，1） D．（0，−1） 12．（本题5分）已知函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)满足𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥),𝑓(4+𝑥)=𝑓(4−𝑥)，且−3<𝑥≤3时，2．（本题5分）已知函数f(3x1)x23x2，则f(10)（） 𝑓(𝑥)=ln(𝑥+ 1+𝑥2)，则𝑓(2018)=（ ） A.30 B.6 C.9 D.20

A．0 B．1 C．ln( 5−2) D．ln( 5+2) 2

3．（本题5分）已知集合𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥−9<0}，𝐵={−3,0,1}，则（ ） 第II卷（非选择题）

A．𝐴∩𝐵=∅ B．𝐵⊆𝐴 C．𝐴∩𝐵={0,1} D．𝐴⊆𝐵

二、填空题（共20分）

4．（本题5分）在同一坐标系中，将曲线𝑦=2sin3𝑥变为曲线𝑦′=sin𝑥′的伸缩变换是( ) 13．（本题5分）若函数𝑓(𝑥)=𝑎+log2𝑥在区间[1,𝑎]上的最大值为6，则𝑎=_______. A． 𝑥=3𝑥′𝑥′=3𝑥𝑦=12𝑦′ B． 𝑦′=1 C． 𝑥=3𝑥′′ D． 𝑥′′=3𝑥 2

𝑦𝑦=2𝑦𝑦=2𝑦14．（本题5分）已知椭圆的参数方程为 𝑥=5cos𝛼𝑦=3sin𝛼 ，则该椭圆的普通方程是_________.

5．（本题5分）下列图形中可以表示以M= 𝑥 0≤𝑥≤1 为定义域N= 𝑦 0≤𝑦≤1 为值域的函数的15．（本题5分）若f图象是( )

x是一次函数，ffx4x1且，则fx= _________________. 16．（本题5分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为______．

A． B． C． D．

6．（本题5分）已知函数fx{ax4a3,x2log,x2 的值域为R，则实数a的取值范围是（）

2xA．0,34 B．0,1 C．31,2 D．30,2 7．（本题5分）若直线 𝑥=1−2𝑡𝑦=2+3𝑡

（t为参数）与直线4𝑥+𝑘𝑦=1垂直，则常数k=（ ）

A．8

3 B．−6 C．6 D．−8

3 8．（本题5分）若𝑎,𝑏,𝑐满足2𝑎=3,𝑏=log25,3𝑐=2，则

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„„„线„„„„○„„„„

三、解答题(共70分)

17．（本题10分）求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)𝑦=log1 𝑥2−3𝑥+2 ．

2

21．（本题12分）已知命题𝑝: 𝑚∈𝑅且𝑚+1⩽0，命题𝑞: ∀𝑥∈𝑅,𝑥2+𝑚𝑥+1>0恒成立． (1)若命题q为真命题，求m的取值范围；

(2)若𝑝∧𝑞为假命题且𝑝∨𝑞为真命题，求m的取值范围．

„„„线„„„„○„„„„ 18．（本题10分）C选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2 2cosθ和直线l：θ＝𝜋

4(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．

19．（本题12分）在极坐标系中，已知直线𝑙过点𝐴( 3,𝜋

)且倾斜角为𝜋

6

3

.

（1）求直线𝑙的极坐标方程；

22．（本题14分）已知函数fx2ax4a2axa（a0且a1）是定义在R上的奇函数. （2）若以直线𝑂𝑥为𝑥轴，𝑂为原点建立直角坐标系，曲线𝐶的参数方程为 𝑥=𝑡2𝑦=2𝑡 （𝑡为参数），直线𝑙交

（Ⅰ）求a的值；

曲线𝐶于𝐴,𝐵两点，求弦长|𝐴𝐵|. （Ⅱ）求函数fx的值域；

（Ⅲ）当x1,2时，2mfx2x0恒成立，求实数m的取值范围.

20．（本题12分）设fxloga3xloga3xa0,a1，且f02. （1）求实数a的值及函数fx的定义域； （2）求函数fx在区间0,6上的最小值.

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„ ○※„※○„题„※„※„„答„※„※„订内订„※※„„线„„※※„„订„○※※○„装„„※※„„在„„※※„装要装„※※„„不„„※※„„请„○※※○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

参考答案

1．B 【解析】 【分析】

将极坐标代入极坐标与直角坐标之间的互化公式，即可得到直角坐标方程. 【详解】

将极坐标代入互化公式得：𝑥=𝜌cos𝜃=1×cos𝜋=−1， 𝑦=𝜌sin𝜃=1×sin𝜋=0，所以直角坐标为：(−1,0). 故选B. 【点睛】

本题考查极坐标化为直角坐标的公式，注意特殊角三角函数值不要出错. 2．D 【解析】

2f(10)f(331)333220，选D. 试题分析：

考点：函数值 3．C

【解析】分析：求出集合A，求出A，B的交集即可． 详解：𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥2−9<0}={0，1，2}， B={﹣3，0，1}， 则A∩B={0，1}， 故选：C．

点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合的交集运算，属于基础题. 4．B

【解析】分析：先设出在伸缩变换前后的坐标，对比曲线变换前后的解析式就可以求出此伸缩变换．

详解：设曲线𝑦=sin𝑥上任意一点(𝑥′,𝑦′)，变换前的坐标为(𝑥,𝑦) 根据曲线𝑦=2sin3𝑥变为曲线𝑦′=sin𝑥′ 𝑥′=3𝑥

1 ， ∴伸缩变换为

𝑦′=2𝑦故选：B．

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点睛：本题主要考查了伸缩变换的有关知识，以及图象之间的联系，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】

根据函数图象，逐一判断选项中函数的定义域、值域即可得结果. 【详解】

对于选项𝐴，函数定义域为𝑀，值域不是𝑁； 对于选项𝐵，函数定义域不是𝑀，值域为𝑁； 对于选项𝐶,函数定义域是𝑀，值域为𝑁,符合题意； 对于选项𝐷，集合𝑀中存在𝑥与集合𝑁中的两个𝑦对应， 不构成映射关系，故也不构成函数关系，故选C. 【点睛】

本题主要考查函数的表示方法，函数的定义域、值域，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于中档题. 6．B

【解析】函数fx{ax4a3,x2 ，

log2x,x2当x2时，fxlog2x1,； 当x2时，fx ax4a3， 根据题意知函数fx{ax4a3,x2a0 的值域为R，则{ ，解得

log2x,x22a4a310a1.

故选B. 7．B 【解析】 【分析】

由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k. 【详解】

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由参数方程可求得直线斜率为：𝑘1=−，另一直线斜率为：𝑘2=−，

2

𝑘

34

由直线垂直可得：𝑘1·𝑘2=−×(−)=−1，解得：𝑘=−6.

2

𝑘

34

故选B. 【点睛】

本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0. 8．A 【解析】 【分析】

把对数写成指数2𝑏=5，根据指数函数的单调性可判断𝑎,𝑏,1的大小.再根据指数函数的单调性得到𝑐<1，从而可得三者的大小关系. 【详解】

因为𝑏=log25，则2𝑏=5，故2𝑏>2𝑎>2，故𝑏>𝑎>1. 又3𝑐=2<3，故𝑐<1. 综上，𝑏>𝑎>𝑐，故选A . 【点睛】

一般地，𝑎𝑏=𝑁 𝑎>0,𝑎≠1 等价于𝑏=log𝑎𝑁，因此指数问题和对数问题可以相互转化.另外，指数或对数比较大小时，可以通过中间数来传递大小关系，常见的中间数有0，1等. 9．D

【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.

详解：𝑥2−2𝑥−8≥0得𝑥≥4或𝑥≤−2， 令𝑥2−2𝑥−8=𝑡，则𝑦= 𝑡为增函数，

∴𝑡=𝑥2−2𝑥−8在[4,+∞)上的增区间便是原函数的单调递增区间， ∴原函数的单调递增区间为[4,+∞)，故选D.

点睛：本题主要考查二次函数与幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.

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10．D 【解析】 【分析】

先研究函数𝑓(𝑥)奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式𝑓(𝑎2)+𝑓(𝑎−2)>0，解得实数𝑎的取值范围. 【详解】

因为𝑓 −𝑥 =𝑥3+7𝑥−sin𝑥=−𝑓 𝑥 ,𝑓′(𝑥)=−3𝑥2−7+cos𝑥<0 , 所以𝑓(𝑥)为奇函数，且在R上单调递减，

因为𝑓(𝑎2)+𝑓(𝑎−2)>0，所以𝑓 𝑎2 >−𝑓 𝑎−2 =𝑓 2−𝑎 ,𝑎2<2−𝑎,−2<𝑎<1，选D. 【点睛】

解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为𝑓(𝑔(𝑥))>𝑓(𝑕(𝑥))的形式，然后根据函数的单调性去掉“𝑓”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意𝑔(𝑥)与𝑕(𝑥)的取值应在外层函数的定义域内. 11．D 【解析】 【分析】

利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可． 【详解】

f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=

𝑥2，0≤𝑥≤1𝑙𝑜𝑔2𝑥+1，1＜𝑥≤2

，

则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=3． 故选：D． 【点睛】

本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力． 12．D 【解析】 【分析】

先根据𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥),𝑓(4+𝑥)=𝑓(4−𝑥)得函数周期，再根据周期求𝑓 2018 . 【详解】

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因为𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥),𝑓(4+𝑥)=𝑓(4−𝑥)，

所以𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥),𝑓(𝑥)=𝑓(8−𝑥)∴𝑓(2−𝑥)=𝑓(8−𝑥)∴𝑇=8−2=6, ∴𝑓(2018)=𝑓(2)=ln(2+ 5) ，选D. 【点睛】

函数对称性代数表示

（1）函数𝑓(𝑥)为奇函数⇔𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥) ，函数𝑓(𝑥)为偶函数⇔𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)（定义域关于原点对称）；

（2）函数𝑓(𝑥)关于点(𝑎,𝑏)对称⇔𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥+2𝑎)=2𝑏，函数𝑓(𝑥)关于直线𝑥=𝑚对称⇔𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥+2𝑚)，

（3）函数周期为T,则𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇) 13．4

【解析】由题意，函数𝑦=log2𝑥在 0，+∞ 上为单调递增函数，又𝑎>1，且𝑥∈ 1,𝑎 ，所以当𝑥=𝑎时，函数𝑓 𝑥 取得最大值，即𝑎+log2𝑎=6，因为4+log24=6，所以𝑎=4. 14．

𝑥225

+

𝑦29

=1

【解析】 【分析】

利用公式𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1即可得到结果 【详解】

根据题意， 5 + 3 =1 解得25+

𝑥2

𝑦29𝑥2

𝑥2

𝑦2

=1

𝑦29

故答案为25+【点睛】

=1

本题主要考查的是椭圆的参数方程，解题的关键是掌握𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1，属于基础题 15．2x-1或－2x+1 32

【解析】由题意可设f（x）=ax+b， 所以f[f（x）]=a（ax+b）+b=ax+ab+b， 又∵f[f（x）]=4x﹣1，

答案第5页，总11页

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a2a2 ∴{，或 ，解得{{ ， 1b1babb13a241或－2x+1 31故答案为：2x-或－2x+1

3∴f（x）=2x-16．4 【解析】

分析：令𝑥=−2，可求得𝑓(−2)=𝑓(2)=0，从而可得𝑓 𝑥 是以4为周期的周期函数，结合𝑓(1)=4，即可求解𝑓(3)+𝑓(10)的值． 详解：由题意可知𝑓(𝑥+4)=𝑓 𝑥 +𝑓 2 ， 令𝑥=−2，可求得𝑓(−2)=0，

又函数𝑓 𝑥 是定义在𝑅上的偶函数，所以𝑓(2)=0，即𝑓(𝑥+4)=𝑓 𝑥 ， 所以𝑓 𝑥 是以4为周期的周期函数，又𝑓(1)=4， 所以𝑓(3)+𝑓(10)=𝑓(−1)+𝑓(2)=𝑓(1)+0=4．

点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得𝑓(2)=0是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 17．(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】

（1）画出函数的图象，根据图象可得函数的单调区间．（2）根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解． 【详解】

（1）由于𝑦=－𝑥＋2 𝑥 ＋1= 画出函数图象如下图所示，

2

－𝑥2＋2𝑥＋1,𝑥≥0

－𝑥2−2𝑥＋1,𝑥<0

=

－(𝑥−1)2＋1,𝑥≥0 －(𝑥+1)2＋2,𝑥<0

，

由图象可得，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和

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[1，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，

则原函数可以看作𝑦=log1𝑢与u＝x2－3x＋2的复合函数．

2令u＝x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2．

所以函数𝑦=log1(𝑥2−3𝑥+2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

2又抛物线u＝x2－3x＋2的对称轴𝑥=，且开口向上．

2

3

所以u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而𝑦=log1𝑢在(0，＋∞)上是单调减函数，

2所以𝑦=log1(𝑥2−3𝑥+2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

2

【点睛】

对于形如𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))的函数，可看作是由函数𝑦=𝑓(𝑡)和函数𝑡=𝑔(𝑥)复合而成的，其单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即当𝑦=𝑓(𝑡)和𝑡=𝑔(𝑥)的单调性相同时，𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))为增函数；当𝑦=𝑓(𝑡)和𝑡=𝑔(𝑥)的单调性不相同时，𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))为减函数． 18．2

【解析】分析：先话普通方程：圆C：ρ＝2－

cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2

x＝0，即(x

)2＋y2＝2，直线l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．求出圆心C到直线l的距离

d=．利用弦长公式求解即可. 解：圆C：ρ＝2

cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2

x＝0，即(x－

)2＋y2＝2．

直线l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．

圆心C到直线l的距离d＝所以AB＝2．

＝1．

点睛：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题． 19．（1）𝜌sin 3−𝜃 =

π

16 3；（2） 23

【解析】试题分析：（1）由题意，建议采用数形结合法进行求解，根据正弦定理建立等式关

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系，再进行化简，从而问题可得解；（2）由（1）可将直线𝑙的极坐标方程，转化为直角坐标方程，曲线𝐶的方程转化为普通方程，联立两方程，再由弦长公式进行求解运算即可. 试题解析：（1）设𝑙上动点𝑀(𝜌，  𝜃)，𝑙与𝑥轴交于𝐵，则𝑂𝐵=1， 又在△𝑂𝑀𝐵中，

𝜌

2πsin

3

=

1

πsin −𝜃 3⇒𝜌sin 3−𝜃 =

π

3.   2

（2）C的普通方程是𝑦2=4𝑥与𝑙的直角坐标方程𝑦= 3𝑥− 3联立， 得 3𝑦2−4𝑦−4 3=0，𝛥=82，  

∴|𝐴𝐵|= 1+1816=.   3 33点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及弦长公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解. 20．(1)a3;3,3;(2)1.

【解析】（1）根据题设，由f02，可求出参数a的值，根据对数函数的定义，由3x0且3x0，解此不等式，从而求出函数的定义域；（2）由（1）可确定函数fx的解析

2式，经化简整理得fxlog39x，再根据函数fx的单调性可知该函数的最小值

为f6. 试题解析：

（1）∵f02，∴loga92a0,a1，∴a3. 由{3x0,3x0, 得x3,3，

∴函数fx的定义域为3,3.

2（2）fxlog33xlog33xlog33x3xlog39x.

∴当x3,0时，fx是增函数；当x0,3时，fx是减函数， 故函数fx在区间0，6上的最小值是f6log31. 321．（1）−2<𝑚<2（2）𝑚≤−2或−1<𝑚<2．

答案第8页，总11页

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【解析】分析：（1）由命题q为真命题可知△=𝑚2−4<0，即可得到结果；（2）分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假． 详解：解：(1)∴△=𝑚2−4<0，解得−2<𝑚<2． (2)若命题p：𝑚∈𝑅且𝑚+1≤0，解得𝑚≤−1． ∵𝑝∧𝑞为假命题且𝑝∨𝑞为真命题，∴𝑝，𝑞必然一真一假． 𝑚≤−1 ，解得𝑚≤−2， 当p真q假时，

𝑚≤−2或𝑚≥2𝑚>−1

当p假q真时， ，解得−1<𝑚<2．

−2<𝑚<2∴𝑚的取值范围是𝑚≤−2或−1<𝑚<2．

点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题. 22．(Ⅰ)a2；(Ⅱ)1,1；(Ⅲ)【解析】试题分析：

10,. 32ax4a2ax4a(Ⅰ)由函数为奇函数可得fxfx，即，可得xx2aa2aaa2．（Ⅱ）分离常数可得fx12x211，可得，故函数为增函数，再由x212x12x2211x1，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得m在x2121，x1,2时恒成立，令t2x11t3，则有mytt2t1t21tt，根据函数21的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m的取值范围． t试题解析：

（Ⅰ）∵fx是R上的奇函数， ∴fxfx，

2ax4a2ax4a即. xx2aa2aa整理可得a2．

（注：本题也可由f00解得a2，但要进行验证）

答案第9页，总11页

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22x22x121（Ⅱ）由（Ⅰ）可得fx，

22x22x12x1∴函数fx在R上单调递增，

x又211，

20， 2x121． ∴11x21∴2∴函数fx的值域为1,1．

2x10． （Ⅲ）当x1,2时，fxx212x12x2在x1,2时恒成立， 由题意得mfxmx212∴mxx12x22x1在x1,2时恒成立．

令t21，1t3，

则有mt2t1t21tt，

∵当1t3时函数yt∴t∴m21为增函数， t2101. tmax310. 3故实数m的取值范围为10,． 3点睛：解决函数中恒成立问题的常用方法

（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为afx（或afx）恒成立的问题求解，此时只需求得函数fx的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．

答案第10页，总11页

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（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．

答案第11页，总11页