小型无人直升机建模与分析

上海交通大学学报

JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY

Vol.42No.10󰀁Oct.2008󰀁

󰀁󰀁文章编号:1006󰀁2467(2008)10󰀁1726󰀁05

小型无人直升机建模与分析

杜建福,󰀁吕恬生,󰀁KonstantinKondak,󰀁张亚欧

1

1

2

1

(1.上海交通大学机械与动力工程学院,上海200240;2.FacultyofElectricalEngineeringand

ComputerScience,TechnischeUniversit󰀁tBerlin,Berlin10587,Germany)

摘󰀁要:由于小型无人直升机具有不同于大型直升机的独特特点,提出采用结构分析法推导小型

无人直升机的数学模型.将小型直升机看作2个刚体(机体和主旋翼),借助Kane方法推导了小型直升机的动力学模型,并与单刚体建模进行了比较.分析表明,2种建模方法的运动学方程和平移动力学方程相同,但旋转动力学模型完全不同.采用2种刚体所建模型的响应具有余弦规律而单刚体所建模型则呈线性规律.飞行试验验证了模型的有效性.关键词:无人直升机;动力学建模;Kane方法中图分类号:TP242;V278󰀁󰀁󰀁文献标识码:A

ModelingofaSmallScaleUnmannedHelicopter

DUJian󰀁fu,󰀁L󰀁Tian󰀁sheng,󰀁KonstantinKondak,󰀁ZHANGYa󰀁ou

(1.SchoolofMechanicalEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China;2.FacultyofElectricalEngineeringandComputerScience,TechnischeUniversit󰀁tBerlin,

Berlin10587,Germany)

Abstract:Basedontheanalysisofthedifferencebetweensmallscaleunmannedhelicoptersandnormalscalehelicopters,thesmallscalehelicopterwasmodeledastworigidbodies:fuselageandmaintailrotor.ThedynamicalmodelwasdeducedbyKanemethod,andanothermodelconsideringthehelicopterasone

rigidbodywasalsodeducedforcomparison.Itshowsthatthekinematicsandtranslationaldynamicsarethesame,buttheyhavedifferentrotationaldynamics.Theresponseofthedynamicsmodeledastworigidbodyiscosinewhiletheresponseofthedynamicsmodeledasonerigidbodyislinear.Therealflightexperimentsverifythevalidityofthemodel.

Keywords:unmannedhelicopter;dynamicsmodeling;Kanemethod

1

1

2

1

󰀁󰀁直升机可以定点悬停、垂直起降,具有其他飞行器所不具有的突出优点,可广泛用于地形勘测、灾情监视、环境检测、森林防火、高压线巡检、大桥、水坝检查等场合.研究开发无人驾驶直升机自主飞行控制系统具有非常重要的现实意义.然而,由于它是一

个典型的强耦合、多变量、有滞后的非线性系统,实现精确建模与自主控制颇具挑战性[1,2].

文献[3󰀁7]中对直升机动力学建模进行了详细阐述.动力学建模多以刚体动力学为基础,并辅以辨识方法.常规建模方法是将直升机作为一个刚体建

收稿日期:2007󰀁12󰀁19

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60475039)

作者简介:杜建福(1976󰀁),男,山东临沂人,博士,研究方向为机器人建模与控制,计算机仿真.

吕恬生(联系人),男,教授,博士生导师,电话(Tel.):021󰀁54743102;E󰀁mail:tslu@sjtu.edu.cn.󰀁第10期

杜建福,等:小型无人直升机建模与分析󰀁󰀁

1727

模,没有考虑主旋翼的惯性效应.文献[4,5]中仔细分析了小型无人直升机主旋翼惯性效应在建模中的作用,发现旋翼惯性效应,需简化为刚体而不能简化为质点;但在推导模型时,欧拉角为绕体坐标轴1󰀁2󰀁3的旋转角而非Yaw󰀁Pitch󰀁Roll(YPR).采用YPR建模,各个通道可以独立控制且便于系统的线性化.本文以双刚体建模方法为基础,采用YPR为欧拉角重新建模,并通过试验对模型进行了验证.

[8]

[4,5]

位置;󰀁、󰀂、 分别为俯仰、横滚和航向角;u、v、w为直升机在惯性系下的平移速率;p、q、r分别为直升机绕体坐标轴f1、f2、f3的旋转速率.

对于动力学方程,需要将直升机考虑为2个刚体.在此选择计算量小、求解简单的Kane方法建模.在动力学建模前,首先需对系统做如下简化和假设.

(1)f3轴和主旋翼旋转轴重合,并假定机体质心在f3轴上(可用配平得到);

(2)r为常数(可用独立的航向控制环实现);(3)主旋翼转速!MR为常数;(4)主旋翼转动惯量I11=I22;

(5)忽略平尾升力、平尾阻力、垂尾侧向力、垂尾阻力和机身空气动力;

(6)忽略尾翼惯性效应.

利用Kane方法建模需要定义广义坐标和广义速率.本文将直升机的空间位置x、y、z以及俯仰、横滚、航向角󰀁、󰀂、 定义为广义坐标,平移速率u、v、w和旋转角速率p、q、r定义为广义速率.

为了建立Kane方程,首先需求出机体坐标系原点O、OTR、飞机质心CM、OF、OMR的速度以及机体和主旋翼的角速度,然后求出相应的偏速度和偏角速度.

OF对各个广义速率的偏速度为:󰀁󰀁v󰀁󰀁v󰀁󰀁v󰀁󰀁v

O

1

F

1󰀁系统建模

小型直升机和大型直升机相比,除了在结构尺寸上有明显差别外,还具有以下特点:󰀂更高的主旋翼转速; 没有挥舞铰且主旋翼具有更强的刚性.这些特点使得主旋翼的惯性效应在小型无人驾驶直升机的旋转运动中起主要作用.本文不仅将机体视作刚体,而且把主旋翼也看作刚体,采用双刚体建模.

图1所示为小型无人直升机简化模型示意图.图中:ON󰀁n1󰀁n2󰀁n3为惯性坐标系;O󰀁f1󰀁f2󰀁f3为机体坐标系;O为机体质心;O

TR

F

MR

MRMR

为主旋翼质心;

MR3

O为尾翼质心;主旋翼产生的升力为F力矩为T

TR2

MR1

,产生的

、T

MR

2

和阻力距T

TR2

MR3

,尾翼产生的拉力为

F,阻力矩为TTR表示尾翼.

;F表示机体,MR表示主旋翼,

=󰀂v=n1

󰀂u󰀂vO==n2

󰀂v󰀂vO==n3

󰀂wOMR󰀂vFMRm==-(L-L)f󰀂pm

FFF

OF

OF

2OF3

OF4

F

2

图1󰀁小型无人直升机简化模型

Fig.1󰀁Simplifiedmodelofsmallscaleunmannedhelicopter

󰀁󰀁v󰀁󰀁v

O5

=󰀂v=(LF-LMR)mf

󰀂qm=󰀂v=0󰀂rO

=󰀂v=n1

󰀂u

TR

OF

MR

1

O6

F

OF

󰀁󰀁无人机的平移运动方程和旋转运动方程可以根据运动学基本原理得到,在此不再赘述.下面直接给出计算结果:

平移运动方程

x󰀂=u,󰀁y󰀂=v,󰀁󰀂z=w

󰀁󰀁旋转运动方程

󰀁=p+tan󰀂(qsin󰀁+rcos󰀁)󰀂=qcos󰀁-rsin󰀁 =(qsin󰀁+rcos󰀁)/cos󰀂󰀂

!!

󰀁󰀁O对各个广义速率的偏速度为:󰀁󰀁v

OTR

1

TR

TR

(1)(2)(3)(4)

󰀁󰀁v󰀁󰀁v

O2

=󰀂v=n2

󰀂v=󰀂v=n3

󰀂w󰀂vOLFmF+LMRmMR==f󰀂pm

TRTR

OTR

O

3

TR

OTR

󰀁󰀁v󰀁󰀁v

OTR4

2

式中:x、y、z为直升机在惯性坐标系下的三维空间OTR

5

󰀂vOLFmF+LMRmMR1T==-f+Lf3

󰀂qm

1728

上󰀁海󰀁交󰀁通󰀁大󰀁学󰀁学󰀁报

OTR6MR

第42卷󰀁

MR

MR

MR

MR

MR

MR

󰀁󰀁v

󰀂vO=

󰀂rTR

=-Lf2

T

󰀁󰀁O对各个广义速率的偏速度为:

MR

OMR󰀂vO

󰀁󰀁v1==n1

󰀂u󰀁󰀁vO2󰀁󰀁v

MR

maOMR!vi+[Ia

相应的广义惯性力为:

*

*

*4

MR11

F11

MR

MR

OMR

+!

#(I

*

!)]!i

F1=-m󰀂u,󰀁F2=-m󰀂v,󰀁F3=-mw󰀂F

=-I

F

22

I+I

F33

=󰀂v󰀂vOMR

!FMR2

+mm(L-L)p+

mMR11

FMR

=n2

-I-I

MR

MR

OMR3OMR

󰀁󰀁v4󰀁󰀁v

O󰀂v==n3󰀂wMR󰀂vOMRFmF==-(L-L)f󰀂pm

MR

+mmm

MR

FMR

(LF-LMR)2#

F

MR

qr-2I11!q

2

F

*5

=-I+I

F22MR11

-(L

-L)mmm

F

2

q+

!

O5

MR

=󰀂v=(LMR-LF)mf

󰀂qm

TR

OMR

F

1

MR

2IMR11!p+MR

IF33+I11-MR

O

=󰀂v=0

󰀂r󰀁󰀁机体F和主旋翼MR对各个广义角速度的偏

󰀁󰀁vO6

MR

I+(L-L

*

F

F

F

F

F

F

11

F

)#mmm

2MR

FMRpr

!

F6=(I11-I22)pq-(2I11+I33)r

F

角速度(F和MR具有相同的偏角速度)为:󰀁!(!)=󰀂!=0,󰀁

󰀂uF1

MR1F3

MR3

F

!(!)=󰀂!=0

󰀂vF2

MR2

F

其中,I11、I22、I33分别为机体相应于各轴的转动惯量.

由Kane方程Fi+F*i=0(i=1,2,∀,6)可得下面的平移和旋转动力学方程:

平移动力学方程m󰀂u=FMR3(sin󰀁sin∀+sin󰀂cos󰀁cos∀)-󰀁󰀁󰀁F2(sin∀cos󰀁-sin󰀁sin󰀂cos∀)m󰀂v=FTR2(cos󰀁cos∀+sin󰀁sin󰀂sin∀)-󰀁󰀁󰀁F3(sin󰀁cos∀-sin󰀂sin∀cos󰀁)mw󰀂=FTR2sin󰀁cos󰀂+FMR3cos󰀁cos󰀂-mg󰀁󰀁旋转动力学方程

!MRTR

󰀁󰀁󰀁q=a21p+bu22T2+bv22T2+bprpr

MRvTR󰀁󰀁󰀁p=a12q+bu11T1+b11F2+bqrqrTRvMR󰀁󰀁󰀁r=bu31F2+b33T3+bpqpq

!!MRTR

FF

󰀂!FMR󰀂!󰀁!(!)==0,󰀁!4(!4)==f1󰀂w󰀂pFMR󰀂!FFMR󰀂!F󰀁!5(!5)==f2,󰀁!6(!6)==f3

󰀂q󰀂r其中,n1、n2、n3、f1、f2、f3为单位向量;m

F

F

MR

MR

为主旋

(5)

翼质量,m为机体质量,m=m+m,为直升机总

质量;LMR为主旋翼质心OMR到体坐标系原点O的距离;LF为机体质心OF到O的距离;LT为尾翼中心到O的距离.

R

施加于直升机的主动力有尾翼拉力FT2、阻力距T

TR2

(6)(7)(8)

、主旋翼升力F

TR2

OTRi

MR3

、力矩Tf3!v

MRMR

OMR

i

MR1

、T

MR

2

和阻力距

OFi

TMR3.广义主动力Fi(i=1,2,∀,6)根据下式计算:Fi=Ff2!v

MRMR

式中:

MR

2mIMR11!

a12=-FMRFMR2FMRm(I11+I11)+(L-L)mm

+F

MR3

+mgn3!v+

TR

F

F

mgn3!vi

OMRMR

+(T1f1+

T2f2+T3f3)!!i+T2f2!!i

(Lm+Lm)mb=FFMR2FMRm(I11+IMR11)+(L-L)mm

u

11

FFMRMR

相应的广义主动力为:󰀁󰀁F1=FMR3(sin󰀁sin∀+sin󰀂cos󰀁cos∀)-F(sin∀cos󰀁-sin󰀁sin󰀂cos∀)

󰀁󰀁F2=FTR2(cos󰀁cos∀+sin󰀁sin󰀂sin∀)-F

MR

3TR2

LMRmMR

b=MRFMR2FMRm(IF11+I11)+(L-L)mm

v

11

FFFMR2FMR

m(IMR11-I22+I33)-(L-L)mmbqr=-FMRFMR2m(I11+I11)+(L-L)mFmMRMR

2mIMR11!a21=-MRFMR2FMRm(IF22+I11)+(L-L)mm

(sin󰀁cos∀-sin󰀂sin∀cos󰀁)

MR

󰀁󰀁F3=FTR2sin󰀁cos󰀂+FMR3cos󰀁cos󰀂-mg

R

󰀁󰀁F4=TM1+LmMR

+LmFTR

2

m

FF

RRMR

󰀁󰀁F5=TM2+TT2,󰀁F6=T3-LTFTR2

mm(I+I)+(LF-LMR)2mFmMR

vmb22=-FMR

m(I22+I11)+(LF-LMR)2mFmMRbu22=-F

22

MR11

󰀁󰀁计算广义惯性力F*i(i=1,2,∀,6)需要求解机体和主旋翼的惯性力和惯性力矩,对应于ui的广义惯性力可由下式求解:

F

F*i=maF

OF

bpr=

MRFFMR2FMR

m(IF33+I11-I11)+(L-L)mm󰀁-FMRFMR2FMRm(I22+I11)+(L-L)mm

!v+[IFaF+!F#(IF!F)]!!Fi+

OF

i

1b=-FLMR,󰀁bv33=FMRI33+2I11I33+2I11u

31

T

󰀁第10期

F

IF11-I22

bpq=FMRI33+2I11

杜建福,等:小型无人直升机建模与分析󰀁󰀁

12

p󰀂=T,󰀁󰀂q=TI11I22

MR

MR

MR

1729

(15)

MR

2󰀁模型分析

方程(1)~(8)描述了系统的运动学方程和动力学方程.可以看出,方程是常系数线性方程.根据假设r、

MRF!为常数,IF11=I22.方程(6)~(8)也是常系数线性方程,但存在严重的耦合.方程(2)~(5)都是超越方程,给直升机控制器设计带来较大挑战.因此,在控制器设计中不仅要考虑旋转动力学的解耦,还需要考虑平移动力学和旋转运动学的非线性问题.

当无人驾驶直升机做悬停或低速运动时,由于俯仰角、横滚角较小,即cos󰀁∃1,cos󰀂∃1,sin󰀁∃󰀁,sin󰀂∃󰀂,忽略二阶小量,可以将旋转运动学方程(2)、(3)简化为

󰀁=p,󰀁󰀂=q

!

!

󰀁󰀁由式(15)可以看出,T1决定了p󰀂,T2决定了󰀂q.由式(14)中可见,T1

MRMR

MR

不仅影响󰀂p,还影响到q;

MR

T2不仅影响󰀂q,还影响p,耦合现象非常严重.当T1、T2是常量时,式(14)、(15)很容易求解.

对于式(14):

bu22

p=TMR2+C1cos(a12t)+C2sin(a12t)

a12b11MR

q=-T1+C2cos(a12t)-C1sin(a12t)a12

󰀁󰀁对于式(15):

p=

1MR

T1t+C1I11

(17)

u

(16)

1MR

T2t+C2q=I22

(9)

󰀁󰀁由式(9)可以看出,该模型已经是线性模型.需要提及的是,在文献[4,5]中,旋转运动学方程无法线性化,其旋转运动学方程如下:

q4=(u4cosq6-u5sinq6)/cosq5q5=u4sinq6+u5cosq6

q=u6+tanq5(u4cosq6-u5sinq6)式中:q4、q5、q6为欧拉角(Euler1󰀁2󰀁3);u4、u5、u6分别为绕体坐标轴f1、f2、f3的角速率.由于q4、q5与q6密切相关,从而使该式无法进行线性化,不便于控制器的设计.

对于式(5),由于非线性严重,控制器设计中需特别考虑.另外,为了便于比较常规单刚体建模和本文双刚体建模的异同.在此给出采用单刚体建模的结果(单刚体建模时将直升机看成一个刚体,不考虑主旋翼惯性效应).运动学方程及平移动力学方程和前面结果相同,而旋转动力学方程则变为:󰀁󰀁󰀂p=

1MRFTRI33-I22

(T1-LF2)-qr

I11I11

(11)(12)(13)

!

!

!

!6!!

󰀁󰀁从以上结果可以看出,2种情况下p、q的变化规律完全不同.由式(16)可以看出,p、q的变化符合余弦规律;而式(17)则揭示p、q的变化呈线性规律.分析式(14)~(17)可以看出,纵横向通道的相互耦合是p、q成余弦变化规律的直接原因.

(10)

3󰀁模型验证

本文模型已经通过实飞实验验证了其有效性.实验中采用了MPC控制算法.但由于篇幅所限,这里仅给出采用MPC算法的控制结果.

󰀁󰀁图2所示为室内的实飞场景.直升机被固定在1个保护架上(由炭纤维杆制成,质量1.2kg).保护架上有4个高亮度的指示灯,用于直升机的位置检测(通过三维视觉系统).图3所示为直升机实飞和仿真实验x、y、z3个坐标的曲线.实验中,直升机先悬停在(0,-1.5,0.9)位置,然后x轴有一个阶跃变化,从0到1m,其他2个轴位置保持不变.由图可见,x、y轴的控制误差分别为%0.15m,z轴为%0.05m.因此,该控制系统的最大控制误差在%0.15m以内,可以满足绝大多数应用场合的控制要求.

TRI11-I33pr󰀁󰀁󰀂q=1(TMR2+T2)-I22I22

T

I22-I111MRL󰀁󰀁󰀂r=T3-pq-FTR2

I33I33I33

式中,I11、I22、I33为直升机各相应轴的转动惯量.

比较式(6)~(8)和(11)~(13)可以看出,采用2种建模方法所得结果差异较大.为了便于进一步分析,可以认为FTR2和TTR2是干扰,r=0,则式(6)、(7)以及式(11)、(12)可分别变为

MRMR

p=a12q+bu󰀂11T1,󰀁󰀂q=a21p+bu22T2

(14)

图2󰀁实飞场景Fig.2󰀁Realflightscene1730

上󰀁海󰀁交󰀁通󰀁大󰀁学󰀁学󰀁报

第42卷󰀁

图3󰀁直升机飞行位置坐标Fig.3󰀁Thecoordinateofhelicopterflight

4󰀁结󰀁语

本文考虑直升机主旋翼惯性效应,采用Kane方法推导了系统的数学模型,并分析了直升机系统非线性的原因.其中平移动力学方程和旋转运动学方程的非线性是导致直升机非线性的重要原因.另外,文中还分析了双刚体模型和单刚体模型的异同.分析结果表明,2种建模方法得到的运动学方程和平移动力学方程相同,但旋转动力学方程不同.采用2种刚体建立的模型响应具有余弦规律;而采用单刚体所建模型则呈线性规律.最后给出实验验证了模型的有效性.参考文献:

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en.wikipedia.org/wiki/Tait󰀁Bryan-angles.2007.

下期发表论文摘要预报

网络外部性下我国企业技术引进策略

刘󰀁展,󰀁陈宏民

(上海交通大学安泰经济与管理学院,200052)

摘󰀁要:利用Hotelling模型所构建的多维产品差异化模型,深入研究了在具有产品网络外部性特征的行业中,我国政府和企业的优化技术引进策略,指出当国际可选择技术与我国自主研发技术质量差距较大时,技术引进国政府应鼓励本国企业引进尽可能高质量的技术;当国际可选择技术与我国自主研发技术质量差距较小时,我国政府应限制本国的技术引进活动;在推动本国企业技术引进活动时,技术引进国应权衡比较引进技术与原有技术的质量差距、技术之间兼容性、技术许可收费比例、技术引进的技术溢出强度等因素,并强调技术企业拥有新技术的知识产权.在此基础上,提出相应的政策建议.