2020-2021学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高
一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 集合𝐴={𝑥|−2≤𝑥≤2}，𝐵={0,2，4}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {0} B. {0,2} C. [0,2] D. {0,1，2}
2. 命题“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−4≥0”的否定是 ( )
A. ∀𝑥∈𝑅，𝑥2−4≤0 B. ∀𝑥∈𝑅，𝑥2−4<0 C. ∃𝑥∈𝑅，𝑥2−4≥0
D. ∃𝑥∈𝑅，𝑥2−4<0
3. 设𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥 (𝑥∈𝑅)，则𝑓(𝑥)>0的一个必要不充分条件是( )
A. 𝑥<0 B. 𝑥<0或𝑥>4
C. |𝑥−1|>1 D. |𝑥−2|>3
4. 不等式的解集|1+𝑥+𝑥22
|<1是( )
A. {𝑥|−1<𝑥<0} B. {𝑥|−3
2<𝑥<0} C. {𝑥|−5
4<𝑥<0}
D. {𝑥|−2<𝑥<0}
5. 下列各函数中，表示同一函数的是( )
A. 𝑦=𝑙𝑔𝑥与𝑦=1
2𝑙𝑔𝑥 2 B. 𝑦=
𝑥2−1𝑥−1
与𝑦=𝑥+1
C. 𝑦=√𝑥2−1与𝑦=𝑥−1
D. 𝑦=𝑥与𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)
6. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )
A.
B. 𝑦=𝑥3+𝑥 C. 𝑦=3𝑥 D. 𝑦=𝑥−1
7. 已知𝑓(𝑥)=𝑥+1
𝑥−2(𝑥<0)，则𝑓(𝑥)有( )
A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为−4 D. 最小值为−4
8. 不等式𝑥2−2(𝑎−2)𝑥+𝑎<0对任意𝑥∈(1,5)恒成立，则实数a的取值范围为(A. 𝑎>5 B. 𝑎≥5 C. −5<𝑎<5 D. −5≤𝑎≤5
9. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥≥1}，𝐵={𝑥|𝑥2−𝑥−2<0}，则𝐴∪𝐵=( )
A. {𝑥|𝑥≥1} B. {𝑥|1≤𝑥<2} C. {𝑥|−1<𝑥≤1}
D. {𝑥|𝑥>−1}
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)
(𝑥−𝑎)2+1,𝑥≤0
10. 函数𝑓(𝑥)={22，若𝑓(0)是𝑓(𝑥)的最小值，则a的取值范围为( )
𝑥+𝑥+𝑎,𝑥>0
A. [−1,2] B. [−1,0] C. [1,2] D. [0,2]
11. 定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数，又𝑓(−3)=0，则不等式𝑥𝑓(𝑥)<0
的解集为( )
A. (−3,0)∪(0,3) C. (−3,0)∪(3,+∞)
1
B. (−∞,−3)∪(3,+∞) D. (−∞,−3)∪(0,3)
12. 设函数𝑓(𝑥)=2𝑥−√𝑥−1+8，𝑔(𝑥)=log2(𝑎𝑥2−3𝑥+5)，对任意的𝑥1∈[1,+∞)，
存在实数𝑥2满足𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则实数a的取值范围是( )
A. [0,4]
9
B. (−∞,4]
9
C. (0,2]
9
D. (−∞,2]
9
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(2,8)，则它的解析式为______ ． 14. 函数𝑦=√𝑥2+𝑥+1的值域是____________．
15. 𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为(−1,1)，则𝑦=𝑓(3−𝑥)定义域为______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
+取得最小值，y满足𝑥2+𝑦2=1，16. 已知正数x，则当𝑥= 时，最小值为 ． 𝑥𝑦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
𝑥∈17. 已知函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−2+lg(3−𝑥)的定义域为A，函数𝑔(𝑥)=−𝑥2+2𝑥+1，
[0,3]的值域为B． (1)求集合A，B； (2)求(∁𝑅𝐴)∩𝐵．
1
1
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𝑥+1,𝑥≤1
18. 已知函数𝑓(𝑥)={2
𝑥−2𝑥,𝑥>1
(1)作出函数𝑓(𝑥)的图像． (2)求𝑓(𝑓(2))的值． (3)求𝑓(𝑥)定义域和值域．
(4)若𝑓(𝑚)<3，求𝑚∼的取值范围．
19. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥
值．
(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的单调递增区间；
(Ⅱ)求a的取值范围，使得存在b，满足𝑀(𝑎,𝑏)=−1．
2−𝑎𝑥−𝑏2
𝑥+𝑎
𝑏∈𝑅.记𝑀(𝑎,𝑏)为𝑓(𝑥)的最小其中𝑎>0，(𝑥∈[0,+∞))，
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20. 已知𝑎>0，𝑏>0，√𝑎+√𝑏=2.求证：
(1)𝑎√𝑏+𝑏√𝑎≤2； (2)2≤𝑎2+𝑏2<16．
21. 已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0𝑎、b为常数)满足𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)，且方
程𝑓(𝑥)=𝑥有两相等实根 (1)求𝑓(𝑥)的解析式；
(2)在区间𝑥∈[−1,1]上，𝑦=𝑓(𝑥)的图象恒在𝑦=2𝑥+𝑚的图象上方，试确定实数m的范围．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥−1．
(1)求证：𝑓(𝑥)是奇函数． (2)判断𝑓(𝑥)的单调性，并证明．
3𝑥+1
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(3)已知关于t的不等式𝑓(𝑡2−2𝑡+3)+𝑓(−𝑡2−1)<0恒成立，求实数t的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵𝐴={𝑥|−2≤𝑥≤2}，𝐵={0,2，4}， ∴𝐴∩𝐵={0,2}． 故选：B．
由A与B，求出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】 【分析】
本题主要考查全称量词的命题的否定，比较基础． 根据全称命题的否定是特称命题进行求解． 【解答】
解：全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：∃𝑥∈𝑅，𝑥2−4<0． 故选：𝐷.
3.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查一元二次不等式的解法以及充分、必要条件的判断，属于基础题．
先解不等式𝑓(𝑥)>0，得到x的取值范围，再根据充分、必要条件的定义，逐项分析，即可得到答案． 【解答】
解：由𝑓(𝑥)>0解得：𝑥>4或𝑥<0，
A.𝑥<0⇒𝑥>4或𝑥<0，是充分条件，故A不正确； B.𝑥<0或𝑥>4是充要条件；
C.由|𝑥−1|>1解得：𝑥−1>1或𝑥−1<−1，则𝑥>2，或𝑥<0，
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由𝑥>4或𝑥<0⇒𝑥>2，或𝑥<0，但𝑥>2，或𝑥<0⇏𝑥>4或𝑥<0，故|𝑥−1|>1是𝑓(𝑥)>0的一个必要不充分条件，
D.|𝑥−2|>3 ，则𝑥−2>3或𝑥−2<−3，解得𝑥>5或𝑥<−1， 由𝑥>4或𝑥<0⇏𝑥>5或𝑥<−1，故不是必要条件， 故选C．
4.【答案】D
【解析】解：∵|1+𝑥+∴−1<1+𝑥+
𝑥22∴{𝑥2
2
𝑥22
𝑥22
|<1，
<1，
+𝑥+2>0
，
+𝑥<0
∴−2<𝑥<0． 故选：D．
将绝对值不等式转化为二次不等式，即可得出结论．
本题考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
5.【答案】D
【解析】解：A，B函数的定义域不相同，不是同一函数； C，函数的表达式不相同，不是同一函数； D、函数的定义域、表达式都相同，是同一函数． 故选：D．
判断函数的定义域、表达式是否相同，即可得出结论． 本题考查同一函数的判定，正确理解函数的定义是关键．
6.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 利用函数的奇偶性，单调性逐个判断即可.. 【解答】 解：A选项，
，定义域是
，它在定义域上单调递减，但是非奇非偶
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函数，故A错误；
B选项𝑦=𝑥3+𝑥它在定义域上单调递增，且是奇函数，故B正确； C选项： 𝑦=3𝑥，它在定义域上单调递增，是非奇非偶函数，故C错误； D选项： 𝑦=𝑥−1=，定义域是{𝑥|𝑥≠0}，是奇函数，有两个单调减区间；
𝑥
，但在整个定义域上不单调，故D错误．
故选B．
1
和
7.【答案】C
【解析】 【分析】
此题考查函数的最值及其几何的意义，利用不等式的性质进行求解，是一道基础题，主要是符号的变化．
因为𝑥<0，可得−𝑥>0，然后利用不等式的基本性质进行放缩，从而求解． 【解答】
解：∵𝑥<0，∴−𝑥>0， ∴𝑥+−2=−(−𝑥+
𝑥1
1−𝑥
)−2≤−2√1−2=−4，
1
等号成立的条件是−𝑥=−𝑥，即𝑥=−1． 故选C．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，设𝑓(𝑥)=𝑥2−2(𝑎−2)𝑥+𝑎，
若𝑥2−2(𝑎−2)𝑥+𝑎<0对任意𝑥∈(1,5)恒成立，则𝑓(𝑥)<0在区间(1,5)上恒成立， 𝑓(1)≤01−2(𝑎−2)+𝑎≤0
, 必有{，即{
𝑓(5)≤025−10(𝑎−2)+𝑎≤0解可得：𝑎≥5； 故选：B．
根据题意，设𝑓(𝑥)=𝑥2−2(𝑎−2)𝑥+𝑎，分析可得𝑓(𝑥)<0在区间(1,5)上恒成立，结𝑓(1)≤0合二次函数的性质可得{，解可得a的取值范围，即可得答案．
𝑓(5)≤0本题考查不等式的恒成立问题，涉及二次函数的性质，属于基础题．
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9.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查并集的运算，属于基础题．解出集合B，然后进行并集的运算即可． 【解答】
解：𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}； ∴𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥>−1}． 故选：D．
10.【答案】D
(𝑥−𝑎)2+1,𝑥≤0
【解析】解：函数𝑓(𝑥)={22，若𝑓(0)是𝑓(𝑥)的最小值，可得𝑎≥0．
𝑥+𝑥+𝑎,𝑥>0可得𝑓(0)=𝑎2+1，
∴𝑥2+𝑥+𝑎≥𝑎2+1，即𝑥2+𝑥≥𝑎2−𝑎+1，𝑥>0时恒成立． 𝑥2+=𝑥2++≥33𝑥2⋅⋅=3，当且仅当𝑥=1时取等号．
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥可得3≥𝑎2−𝑎+1，𝑎2−𝑎−2≤0，解得𝑎∈[−1,2]． 综上𝑎∈[0,2]． 故选：D．
利用分段函数求出函数的最小值，利用基本不等式列出关系式求解即可． 本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用．
2
1
1
1
1
2
2
11.【答案】A
【解析】解：由题意得：∵𝑓(−3)=−𝑓(3)=0，
∴𝑓(3)=0，又𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数，
∴当0<𝑥<3时，𝑓(𝑥)<0，当𝑥>3时，𝑓(𝑥)>0，
又𝑓(𝑥)为定义在R上的奇函数，
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𝑓(−3)=0，
∴当𝑥<−3时，𝑓(𝑥)<0，当−3<𝑥<0时，𝑓(𝑥)>0，其图象如下： ∴不等式𝑥𝑓(𝑥)<0的解集为：{𝑥|−3<𝑥<0或0<𝑥<3}． 故选A．
利用R上的奇函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数，又𝑓(−3)=0，可求得𝑓(3)=0，从而可作出其图象，即可得到答案．
本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于作图，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】 【分析】
求出𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的值域，则𝑓(𝑥)的值域为𝑔(𝑥)的值域的子集．本题考查了函数的值域，集合的包含关系，二次函数的性质，属于中档题． 【解答】
解：对任意的𝑥1∈[1,+∞)，存在实数𝑥2满足𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则𝑓(𝑥)的值域是𝑔(𝑥)值域的子集，
𝑓(𝑥)=2𝑥−√𝑥−1+8，设√𝑥−1=𝑡,则𝑓(𝑥)=ℎ(𝑡)=2𝑡2−𝑡+所以𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤2，所以(𝑎𝑥2−3𝑥+5)𝑚𝑖𝑛≤4， 𝑎>09
所以𝑎=0或{20𝑎−9≤4，解得0≤𝑎≤4，
4𝑎
1
178
∈[2,+∞)
故选A．
13.【答案】𝑦=𝑥3
【解析】解：设幂函数为𝑦=𝑥𝑎，因为幂函数图象过点(2,8)， 所以8=2𝑎，解得𝑎=3， 所以幂函数的解析式为𝑦=𝑥3． 故答案为：𝑦=𝑥3
设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式． 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．
314.【答案】[√,+∞) 2
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【解析】 【分析】
本题考查函数的值域的求法，可用配方法求值域． 【解答】
解：𝑦=√𝑥2+𝑥+1=√(𝑥+)2+≥√=√，
2
4
4
2
1
3
3
3故函数𝑦=√𝑥2+𝑥+1的值域为[√,+∞)．
2故答案为[√,+∞)
23315.【答案】(2,4)
【解析】解：∵−1<3−𝑥<1， 解得：2<𝑥<4， 故答案为：(2,4)．
由题意得不等式−1<3−𝑥<1，解出即可． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．
2 16.【答案】√2
2√2
【解析】 【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式求解即可． 【解答】
解：由基本不等式可得𝑥2+𝑦2⩾2𝑥𝑦，当且仅当𝑥=𝑦时等号成立． ∵正数x，y满足𝑥2+𝑦2=1，
∴𝑥𝑦⩽2，当且仅当𝑥=𝑦=√2时等号成立，
2
∴𝑥+𝑦⩾2√𝑥𝑦⩾2√2，当日仅当𝑥=𝑦=√时等号成立，
2∴𝑥+𝑦的最小值为2√2． 故答案为√；2√2．
221
11
1
1
21
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17.【答案】解：(1)函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−2+lg(3−𝑥)，
∴{
2𝑥−2≥0
，
3−𝑥>0
𝑥≥1解得{，即1≤𝑥<3，
𝑥<3∴𝐴={𝑥|1≤𝑥<3}；
又函数𝑔(𝑥)=−𝑥2+2𝑥+1，𝑥∈[0,3]， 且𝑔(𝑥)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减； 所以𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(1)=2， 𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(3)=−2， ∴𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤2}；
(2)由(1)知，𝐶𝑅𝐴={𝑥|𝑥<1或𝑥≥3}， ∴(𝐶𝑅𝐴)∩𝐵={𝑥|−2≤𝑥<1}．
【解析】(1)求出函数𝑓(𝑥)的定义域A，函数𝑔(𝑥)在𝑥∈[0,3]上的值域B即可； (2)根据补集与交集的定义求出𝐶𝑅𝐴与(𝐶𝑅𝐴)∩𝐵即可．
本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了集合的运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)
(2)𝑓(2)=22−2×2=0
𝑓(𝑓(2))=𝑓(0)=1． (3)𝑓(𝑥)的定义域为R； 当𝑥≤1时，𝑓(𝑥)=𝑥+1≤2，
当𝑥>1时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥=(𝑥−1)2−1>−1; 所以𝑓(𝑥)的值域为(−∞,2]∪(−1,+∞)=𝑅 (4)当𝑚≤1时，𝑚+1<3，解得𝑚≤1；
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当𝑚>1时，𝑚2−2𝑚<3，解得1<𝑚<3． 综上所述𝑚<3．
【解析】本题考查了分段函数的图像，定义域与值域，及函数不等式，属于基础题． (1)分两段画出函数图象即可； (2)先求出𝑓(2)，再计算𝑓(𝑓(2))即可； (3)定义域直接得到，值域分段求，再求并集； (4)分𝑚≤1和𝑚>1解不等式即可．
19.【答案】解：(1)令𝑥+𝑎=𝑡(𝑡≥𝑎)，即有𝑦=(𝑡−𝑎)
2
2
2−𝑎(𝑡−𝑎)−𝑏2
𝑡
=𝑡+
2𝑎2−𝑏2
𝑡
−3𝑎，
当2𝑎−𝑏≤0，函数y在[𝑎,+∞)递增；当2𝑎2−𝑏2>0，由𝑦′=1−𝑡=√2𝑎2−𝑏2．
当𝑎≤√2𝑎2−𝑏2，即𝑎2≥𝑏2，函数在[√2𝑎2−𝑏2,+∞)递增； 当𝑎>√2𝑎2−𝑏2，即𝑎2<𝑏2，函数在[𝑎,+∞)递增． 综上可得，当2𝑎2≤𝑏2，𝑓(𝑥)的递增区间为(0,+∞)； 当𝑎2≥𝑏2，𝑓(𝑥)的递增区间为[√2𝑎2−𝑏2−𝑎,+∞)； 当𝑎2<𝑏2，函数的递增区间为(0,+∞)；
(2)由(1)可得当2𝑎2−𝑏2≤0，函数y在[0,+∞)递增， 可得𝑀(𝑎,𝑏)=−
𝑏2𝑎
2𝑎2−𝑏2
𝑡2
=0，解得
=−1，即𝑎=𝑏2，
1
由2𝑎2−𝑏2≤0，可得0<𝑎≤2；
当𝑎≤√2𝑎2−𝑏2，即𝑎2≥𝑏2，函数在[0,√2𝑎2−𝑏2−𝑎)递减， [√2𝑎2−𝑏2−𝑎,+∞)递增，可得最小值为2√2𝑎2−𝑏2−3𝑎=−1， 可得4𝑏2=−𝑎2+6𝑎−1>0，代入𝑎2≥𝑏2，解得1≤𝑎<3+2√2； 当𝑎2<𝑏2<2𝑎2，函数的递增区间为[0,+∞)，即有最小值为−解得1≤𝑎<3+2√2．
综上可得a的范围是0<𝑎≤2或1≤𝑎<3+2√2．
1
𝑏2𝑎
=−1，即𝑎=𝑏2，
【解析】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题． (1)令𝑥+𝑎=𝑡(𝑡≥𝑎)，即有𝑦=
(𝑡−𝑎)2−𝑎(𝑡−𝑎)−𝑏2
𝑡
=𝑡+
2𝑎2−𝑏2
𝑡
讨论当2𝑎2−𝑏2≤0，−3𝑎，
当2𝑎2−𝑏2>0，讨论𝑎2≥𝑏2，以及𝑎2<𝑏2，运用函数的单调性即可得到；
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(2)由(1)的结论，求得最小值，解不等式即可得到a的范围．
20.【答案】证明：(1)∵𝑎>0，𝑏>0，√𝑎+√𝑏=2，
∴2≥2√√𝑎𝑏>0，当且仅当𝑎=𝑏=1时取等号， ∴0<√𝑎𝑏≤1，
∴𝑎√𝑏+𝑏√𝑎=√𝑎𝑏(√𝑎+√𝑏)=2√𝑎𝑏≤2， (2)∵𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏，
∴(𝑎+𝑏)=(√𝑎+√𝑏)2−2√𝑎𝑏=4−2√𝑎𝑏，
∴𝑎2+𝑏2=16−16√𝑎𝑏+4𝑎𝑏−2𝑎𝑏
=2𝑎𝑏−16√𝑎𝑏+16=2(𝑎𝑏−8√𝑎𝑏+16)−16
=2(√𝑎𝑏−4)2−16=2(4−√𝑎𝑏)2−16， ∵0<√𝑎𝑏≤1， ∴3≤4−√𝑎𝑏<4， ∴9≤(4−√𝑎𝑏)2<16， ∴2≤2(4−√𝑎𝑏)2−16<16， 故2≤𝑎2+𝑏2<16
【解析】本题考查了不等式的证明和基本不等式，考查了运算能力和推理论证能力，属于中档题．
(1)根据基本不等式先求出0<√𝑎𝑏≤1，即可证明，
(2)根据平方和公式则𝑎2+𝑏2=2(4−√𝑎𝑏)2−16，根据0<√𝑎𝑏≤1，即可证明
21.【答案】解：(1)∵𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)，
∴𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥+1 即−2𝑎=1． 即𝑏=−2𝑎．
∵𝑓(𝑥)=𝑥有两相等实根，
∴𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥=0 的判别式(𝑏−1)2−4𝑎=0． ∴𝑏=1，𝑎=−2 ∴𝑓(𝑥)=−2𝑥2+𝑥．
(2)由已知：𝑓(𝑥)>2𝑥+𝑚对𝑥∈[−1,1]恒成立 ∴𝑚<−2𝑥2−𝑥对于𝑥∈[−1,1]恒成立 设𝑔(𝑥)=−2𝑥2−𝑥=−2(𝑥+1)2+2，
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1
1
1
1
1
1
𝑏
该函数在𝑥∈[−1,1]上递减，
∴[𝑔(𝑥)]𝑚𝑖𝑛=𝑔(1)=−，𝑥∈[−1,1]，
2∴𝑚<−．
2
3
3
【解析】本题(1)由条件𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)得到图象对称轴为𝑥=1，由方程𝑓(𝑥)=𝑥得到方程根的判别式△=0，得到两个关于a、b的方程，解方程组得到本题结论；(2)将条件转化不恒成立问题，根据二次函数在区间上的值域，得到本题结论．
本题考查了恒成立问题，还考查了参变量分离的方法和函数方程思想，本题难度不大，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：由3𝑥−1≠0，得𝑥≠0，
∵𝑓(−𝑥)=
3−𝑥+13−𝑥−1
=
1+3𝑥1−3𝑥=−𝑓(𝑥)，
∴𝑓(𝑥)是奇函数；
(2)解：𝑓(𝑥)的单调减区间为(−∞,0)与(0,+∞)没有增区间， 设0<𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=
3𝑥1+13𝑥1−1
−3𝑥2−1=
3𝑥2+1
3𝑥1⋅𝑥2+3𝑥2−3𝑥1−1−3𝑥1−𝑥2−3𝑥1+3𝑥2+1
(3𝑥1−1)(3𝑥2−1)=
2(3𝑥2−3𝑥1)(3𝑥1−1)(3𝑥2−1)
．
∵0<𝑥1<𝑥2，∴3𝑥2>3𝑥1>1， ∴3𝑥2−3𝑥1>0,3𝑥1−1,3𝑥2−1>0， ∴𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)>0，∴𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2)， ∴𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数， 同理，𝑓(𝑥)在(−∞,0)上也是减函数；
(3)𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑓(−𝑡2−1)=−𝑓(𝑡2+1)，
∴𝑓(𝑡2−2𝑡+3)+𝑓(−𝑡2−1)<0化为𝑓(𝑡2−2𝑡+3)<𝑓(𝑡2+1)， 又𝑡2−2𝑡+3=(𝑡−1)2+2>0，𝑡2+1>0，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数， ∴𝑡2−2𝑡+3>𝑡2+1，∴𝑡<1，即𝑡∈(−∞,1)． 故实数t的取值范围是：(−∞,1)．
【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性．属中档题． (1)用函数奇偶性定义证明； (2)用函数单调性定义证明；
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(3)用函数奇偶性和单调性可解出t的取值范围．
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