相关系数的计算

相关系数一般可以通过实验测量的方法或理论经验的分析得到。即一是用同时观测两个量的方法确定相关系数估计值；二是当两个量或以上均因与同一个量有关而相关时，依据相关系数定义公式，计算相关系数的估计值。

1．根据对x和y两个量同时测量的n组测量数据，相关系数的估计值按公式(4)计算： r(x,y)(xX)(yY)iii1n(n1)s(x)s(y) （4）

式中，s(x)，s(y)---为X和Y的实验标准偏差。

公式（4）还可以表示为：

uxi,xjxikk1nrx,yuxiuxjnxixjkxi2xjxj2 （5）

xikk1xjkk1n示例1：用同一钢卷尺测量某矩形的面积,对矩形的长（l）和宽（d ） 各测量10次,其测量列如表1 所示。

表1 矩形长和宽的测量数据

lmm40.1 40.2 40.0 40.1 40.1 40.0 40.1 40.1 40.2 40.1 l=40.10 dmm20.0 20.2 20.0 20.1 20.1 20.0 20.0 20.1 20.1 20.1 d=20.07

矩形面积的数学模型：sdl，因为对长和宽采用了同一测量

仪器，则它们的估计值会出现相关，根据表1有l 和d 算术平均值的标准不确定度为：

101sllil10101i120.021mm

101sddid10101i1i20.021mm

li11010ldid=0.03mm2

2llii120.04mm

di110id220.041mm

所以相关系数

r10l10i1ii1ildid21020.030.0400.0410.74

lldi1id面积S=l·d=804.81mm2

sl则考虑相关系数 r 得：ucsssdslsd2r0.15% llddsd0.12% ld22212sl当不考虑相关系数r时，ucss212从以上两式的结果可以看出考虑相关系数与不考虑相关系数存在明显的区别，不考虑相关系数时，明显使评定的不确定度偏小。

2.当两个量均因与同一个量有关而相关时，计算相关系数的估计值。假如在得到两个输入量的估计值xi和xj时，是使用了同一个测量标准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方法，则xi和xj两个量均因与同一个量有关而相关。

示例2：2014年度一级注册计量师考试《测量数据处理及计量专业实务》科目中的单项选择题第26题为“用1k的标准电阻Rs校准标称值均为1k的两个电阻器，校准值R11RS,R22RS.已知标准电阻

Rs的标准不确定度为uRs0.1，若

11,21,u1u21104，假设1、2、R1 互不相关，则R1与

R2的相关系数为（ ）。

A.1.0 B.0.75 C.0.5 D.0.25 ” [解] 1)每个电阻Ri校准时与标准电阻Rs比较得到比值i，校准值为：

Ri =iRs

2) 根据不确定度传播定律，每个Ri的标准不确定度： u(Ri) =

[RSu(i)]2[iu(RS)]2

式中的u(i)对每一个校准值近似相等，且i≈1，由比较仪的不确定度为u(i)= u1u21104， 则:

u(Ri) =

RSu2(i)u2(RS)

23) 任意两个电阻校准值的相关系数： RiiRS ；RjjRS Ri、Rj之间协方差的估计值：

RiRj2222u(R)u(R)u(RS) SijSu(Ri，Rj)=RRSS由于i ≈j= ≈1，协方差u(Ri，Rj) = u2(RS)

Ri、Rj之间相关系数：

rij=r(Ri,Rj)u(Ri,Rj)u(Ri)u(Rj)u2(RS)RSuiuRS222

2u =1 uRRSS1 由题意知，uRSRS104; u1u21104代入上式，得 rij=r(Ri，Rj)=0.5 本题正确选项为： C.0.5

分析可知，uRSRS104； u1u2100106； rij=0.5 如果 u1u210106； rij≈0.990 如果 u1u21106； rij≈1.000 因此当u0, r1 和 uRiuRS

一般来说，在与校准值比较时，如本示例，已校项的估计值间是相关的，其相关的程度取决于校准过程（比对过程）引入的不确定度与参考标准的不确定度之比。仅当与参考标准的不确定度相比，校准过程（比对过程）的不确定度可以忽略不计时，相关系数等于+1，并且每个校准项的不确定度与其参考标准的不确定度相同。

示例3：在示例2的条件中，若将R1和R2串联成Rref =R1 +R2 =2k的电阻，试确定串联后的Rref =2k电阻的合成标准不确定度uc(Rref)为多少？

[解法一]1)每个电阻Ri校准时与标准电阻Rs比较得到比值i，校准值为：

Ri =iRs

2) 根据不确定度传播定律，每个Ri的标准不确定度： u(Ri) =

[RSu(i)]2[iu(RS)]2

式中的u(i)对每一个校准值近似相等，且i≈1，由比较仪的不确定度为u(i)= u1u21104， 则:

u(Ri) =

RSu2(i)u2(RS)

2 =110311040.12

2=2×0.1

即：u(R1)=u(R2)= 2×0.1

3)根据示例2的计算结果，R1 、R2两个电阻校准值的相关系数：

r(R1，R2)=0.5

4)串联电阻Rref的合成标准不确定度： 根据Rref的测量模型： Rref= R1 +R2 Rref的合成标准不确定度为：

uc(Rref)=u2(R1)u2(R2)2u(R1)u(R2)r(R1,R2)

=(20.1)2(20.1)22(20.1)(20.1)0.5 =60.12≈0.25 [解法二]由于输出量 Rref= R1 +R2

输入量Ri的不确定度由两个分量构成，其一来自标准电阻

u(Rs)=0.1,作为uc(Rref)的分量，其灵敏系数ci均为+1；其二来自校

准（比对）过程，已知为Rsu(i)=1×103×1×10-4=0.1,灵敏系数也ci均为+1。

可以认为Rref一共有4个标准不确定度分量，其中2个为标准器

Rs引入的分量均为0.1,它们之间为强相关，可设定r=+1，这2个

0.1取代数和合成为：0.1+0.1=0.2；另2个为校准过程（比对过程）引入的分量Rsu(i)=1×103×1×10-4=0.1，主要是随机效应引起，可以设定彼此独立，r=0，而按方和根合成为：2×0.1；来源于Rs与来源于校准过程彼此不相关，因而

uc(Rref)=

0.22(20.1)2 =60.12≈0.25

解法二的特点是把相关和不相关的不确定度分量分别合成后再合成。这样的分组合成方法，在JJF1059.1-2012的引言中就已明确：“测量不确定度能从对测量结果有影响的不确定度分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关”。