2018届导数一轮复习教学与建议

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减性、变化快慢、最大（小）值问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力工具。

本章内容概念、公式较多，知识比较系统，综合性较强，导数的应用（单调性、极值、最值）是高考的重点和热点，理解概念，熟记公式并灵活运用公式进行运算是复习本板块的基础。

一、考纲解读

要求 内容 A 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 导数在实际问题中的应用 √ B √ √ √ √ C 从上表中可以看出，函数与导数在高考中多为B级要求，虽没有出现C级要求，但在近年高考中其地位依然不减，复习中应引起足够的重视．

二、高考统计

年份 题号 8 2008 20 3 2009 9 2010 14 12 线的位置关系 2011 单调性概念、导数运算及应用、线性规划、解二次不等式、二次函19 数、含参不等式恒成立问题，分类讨论、化归及数形结合的思想 2012 2013 18 20 函数的概念和性质，导数的应用 函数的概念和性质，导数的应用 难 难 难 导数的几何意义 函数和导数综合运用 指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直低 难 难 函数综合运用：指数函数、绝对值数、数形结合、分类讨论 导数、单调性 难 低 知识点或方法 导数的几何意义 难度 中 第 1 页 共 9 页

11 2014 19 2015 19 17 导数几何意义 函数的概念和性质，导数的应用 函数的概念和性质，导数的应用，分类讨论； 函数的概念、导数的应用，棱柱和椎体的体积；空间想象能力、数学建模； 中 难 难 中 2016 函数、基本不等式、利用导数研究函数的单调性和零点；综合运用19 数学思想及逻辑推理能力． 11 2017 14 20 导数、函数的性质（奇偶性、单调性）解不等式， 中 难 函数的图象性质、导数的应用，方程解的个数(或函数零点个数)判断． 难 利用导数研究函数得单调性、极值及零点． 难 分析近几年高考试题，从分值来看，约20分左右；从题型来看，一般一道填空题．一道解答题，在填空题中主要考查了导数的几何意义（切线问题）和导数的应用，解答题是作为压轴题出现，体现了函数和导数的综合运用。基础题、中档题、难题都有涉及。在试题难度上，小题主考双基，兼顾能力，大题主考能力，应用题、综合题仍会成为考点和重点．

三、学情分析

历年高考题中的导数大都是以压轴题为主，尤其对于解答题大部分学生感到恐惧，直接放弃。即便是优秀的学生对导数还是没有把握。存在的问题主要如下：

（1）概念不清：对导数定义、对利用导数研究函数性质的原理不能正确理解； （2）抢分意识不够，有的题就算不会完整的解不出来，但有时也可尽可能的得分； （3）运算能力不过关，对复杂类型的函数求导变形不熟练； （4）综合应用能力差，方法过死，不会变通；

（5）思维不严谨，用数形结合代替严密的证明；

（6）对字母的讨论恐惧，或者分类的依据把握不准。

四、复习建议

在复习导数问题时，许多教师会这样的想法：导数作为压轴题太难了，讲了学生也掌握不了不如不讲，在考试时把时间花在导数上不划算，还不如把基础题中档题做好……，因此平时教学时对复杂的问题有意的回避，确保学生能在导数题得分就行了，或者只讲第一问，把答案贴在教室里，让有兴趣的学生自己研究。

在一轮复习时，一味的回避难题也不是办法，其实导数的难题也并非“无迹可寻”。作为应试的策略，先易后难，有选择的“放弃”导数是可以的，但是在直接放弃则不可取。如果教师把这类问题抓在手上加强研究，注重一题多解、多题一解、一题多变，对学生分析、点拨到位，经常帮助学生总结、归类，慢慢学生就会对导数问题

第 2 页 共 9 页

有“有法可依”，这样不仅可以提高学生的数学思维水平，更可以提升学生的信心。建议一轮复习时从以下几个方面入手。

1、体系建构很重要

平均速度 平均变化率 割线斜率 2、基础知识要记牢 瞬时速度 切线斜率处的切线的斜率，即 瞬时变化率 yf(x)在点(xx0)就是曲线（1）函数yf(x)在xx0 处的导数f(kf(x0)；0,f(x0))曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为导数 yf(x0)f(x0)(xx0) （2）研究函数单调性一般步骤： 基本初等函数导数公式，运算法则 ①确定函数的定义域； ②求导数f(x) 导数与函数单调性，导数与极（最）值 ③若求单调区间（或者证明单调区间），只需在函数f(x)的定义域内解（或证明）不等式f(x)0或

f(x)0即可

（3）若在x0附近左侧f(x0)0，右侧f(x0)0，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；

若在x0附近左侧f(x0)0，右侧f(x0)0，则称f(x0)为函数f(x)的极大值； （4）设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小

值且在极值点或端点处取得。

3、概念辨析领悟好

（1）研究函数问题都要优先考虑定义域，导数也是如此，尤其要关注求导前后自变量的范围发生改变的函数如

ylnx，y11x11x；

（2）解决函数切线的相关问题，需抓住以下关键点： ①切点是交点；

②在切点处的导数是切线的斜率，因此解决此类问题，一般要设出切点，建立关系—方程组.

③求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，这样的切线可能有多条；在点P处的切线，点P是切点，切线也只有一条

④切线是一个局部概念，切线和曲线不一定只有一个公共点；在切点附近的曲线不一定只在切线的同侧。 （3）①“函数yf(x)在给定区间上f(x)0”是“函数在该区间上单调递增”的什么条件？

②“函数yf(x)在给定区间上f(x)0”是“函数在该区间上单调递增”的什么条件？ ③使f(x0)0的离散点不影响函数的单调性；

第 3 页 共 9 页

④与求函数单调区间不同，若已知函数f(x)的在给定区间单调性，一般情况下转化为不等式f(x)0或

f(x)0在该区间上恒成立。

（4）①“f(x0)为函数f(x)的极值”是“f(x0)0”的什么条件？

如果函数在给定的区间上处处可导则是什么条件？

②“yf(x)在给定区间存在极值”与“f(x)0在给定区间有解”不等价，需验证。 （5）导数不可以“滥用”，比如求函数y12aax2x的值域、函数ysin(2x)的单调期间、函数62x2x1y2x11(x)的值域等没有必要用导数。

2（6）研究数列的单调性时，不可以直接求导，即便借助导数求解也需要构造函数进行说明。

4、规范书写要做到

（1）单调期间最好用开区间，“慎用”并集；

（2）题目中涉及到极值（包括求极值、利用极值）都要进行检验，检验需要列出表格，切不可让检验流于形式； （3）与导数相关的应用题中要做到：有设、有答、有定义域、有单位； （5）函数零点个数的判断要依据零点存在定理，严谨证明；

5、反复训练不可少

（1）通过练习熟记导数公式、求导法则，并进行适应性训练，这是解决导数问题的基础。

（2）对于导数综合题要从多渠道多角度进行剖析，总结出其中的解题方法和解题规律，培养学生应用知识解决实际问题的能力。

（3）要有意识地与解析几何、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程、不等式、代数不等式的证明等进行知识交汇，综合运用。

（4）导数的压轴题不可能一蹴而就，需要反复总结，鼓励学生用错题集或者纠错本的形式做好收集、整理、分类、归纳。

6、常用结论要知晓

（1）常用的不等式：

①lnxx1（x0）（当且仅当x=1时取等）进一步有：

111x211x1lnx(x)x1lnx（x0）等； ，（x1）x2x2exe ②ex1，eex等；

xx第 4 页 共 9 页

③已知a、b是两个不等的正数，则有abmn2abab（对数平均不等式）； lnalnb2④在③中，设ae,be，则有e（2）常用函数图象：①f(x)mnemenemen（指数平均不等式）. mn2lnx；②g(x)x.lnx； xxx③h(x)x；④(x)x.e.

e五、实战演练

例题：已知函数f(x)lnxax，

1、若函数yf(x)在x1处的切线与圆(x1)y2相切，求a的值． 答案： a=0

2、若直线y3x1是函数fx图象的一条切线，求实数a的值； 答案： a=-2

3、若函数yf(x)的切线过点（1，1），求a的最小值． 答案： a=-1

4、若函数yf(x)的增区间为（0，1），求a的值． 答案： a=1

5、若yf(x)在（1,2）上单调递增，求a的取值范围．（若单调、不单调、存在递减区间呢？） 答案：(,]、(,][1,)、(,1,)、(,) 6、讨论f(x)的单调性．

答案：当a0时f(x)为(0,)上增函数，当a0时f(x)在(0,)增，在(,)减 7、若x

22121212121a1a1

是函数f(x)的极值点，求f(x)在x1处的切线方程；． 2

答案： yx1 8、若函数yf(x)1既有极大值又有极小值，求a的取值范围. x第 5 页 共 9 页

答案： (0,)

9、已知函数yf(x)是奇函数，当x(0,2)时f(x)lnxax，当x(2,0)时f(x)的最小值为1，求a

14的值． 答案： a=1

10、求f(x)在区间[1,2]上的最大值．（若求最小值呢？）

ln22alna1a12a答案：

f(x)max f(x)min1a12a1ln22aaaln2aln2

211、若函数fx在1,e上的最大值为1ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；

答案：a1 e12、当a1时，求证： f(x)10．

提示：即证明lnxx1 13、当a1时，求证：f(x)0， ex e提示：即证明lnx14、若函数yxf(x)有两个极值点，求a的取值范围．

答案：(0,)

21215、若f(x)0在[1,e]上有解，求实数a的取值范围． 答案：[0,]

16、若关于x的方程ln2xx3txxtlnxt有且仅有唯一的实数根，

221e求实数t的取值范围.

第 6 页 共 9 页

答案：方程ln2x2x3tx2xtlnxt可化为

ln2x2x3t令hxlnx1122xx3tlnxtxt， 221x，故原方程可化为h2x2x3thxt， 22x2x3txt由（2）可知hx在0,上单调递增，故有且仅有唯一实数根，

xt0即方程xxt0（※）在t,上有且仅有唯一实数根

2①当4t10，即t②当0，即t111时，方程（※）的实数根为x，满足题意； 4241时，方程（※）有两个不等实数根，记为x1,x2,不妨设x1t,x2t, 42Ⅰ）若x1t,x2t,代入方程（※）得t2t0，得t0或t2，

当t0时方程（※）的两根为0,1，符合题意； 当t2时方程（※）的两根为2,1，不合题意，舍去；

2Ⅱ）若x1t,x2t,设xxxt，则t0，得0t2；

综合①②，实数t的取值范围为0t2或t1. 417、若曲线yf(x)，x(1,)上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a的最小值。

答案：-3

18、当a0时，比较

f(n)f(m)nm与的大小，其中n,m0

2nmf(n)f(m)nm 

2nm解：由对数平均不等式可得

19、若f(x)0恒成立，求a的取值范围．

答案：[,)

1e20、若

x11在区间[e,e2]上恒成立，求a的取值范围． f(x)32e1,2) e2答案：(第 7 页 共 9 页

221、若对于任意的a(1,2)，存在x0[1,2]，使得不等式f(x0)x0mlna恒成立，

求实数m的取值范围． 答案：m≤1．

22、设g(x)xlnxa，若f(x)g(x)在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围。

答案：a2

23、设函数f(x)的图象C1与二次函数g(x)=

12

bx图象交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，2C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． （2005年湖南高考试21题第二问）

证：设点P、Q的坐标分别是x1,y1,x2,y20x1x2，则点M、N的横坐标为xx1x2，C1在点M处的切线

22，C在点N处的切线切线斜率为Kaxbxxax1x2b。假设C在点切线斜率为K1212x12122xxx1x2x1x22M处切线与C2在点N处的切线平行，则k1k2.

2x2x1a2aax2x12bx2x1x22bx2x12bx1x2x1222y2y1lnx2lnx1.所以

x2212t1xxx,t1① ln21，设t2，则lntxx11tx112x12t1t114',t1,则r'(t)令rtlnt.因为时,t1rt0.所以rt在1,上单22tt11ttt1调递增,故rtr10,则lnt不平行.

24、设a1，g(x)22t1,这与①矛盾.,假设不成立. 故C1在点M处切线与C2在点N处的切线1tlnx1求证：当x0,e时，f(x)g(x)恒成立． x，2'证明：当x0,e时，由f(x)0得：0x1,

f(x)在(0,1)上单调增，在(1,e)上单调减，故f(x)在(0,e]上f(x)maxf(1)1

第 8 页 共 9 页

而x0,e，g(x)

'显然f(x)maxg(x)minlnx11，∴g(x)在上单调减， 0g(x)g(e)x0,emin2 ex11故证得当x0,e时，f(x)g(x)恒成立 2225、（1）试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

（2）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=0，f(x2)=0，求证x1x2＞e2． 答案：（1）2013年江苏高考试20题第二问 当a0或a111时1解；当0a时2解；当a时无解。 eee（2）由题意得lnx1bx10,lnx2bx20, 所以lnx1x2b(x1x2)0,lnx2lnx1b(x2x1)0, 所以

lnx1x2xx12，不妨设x1lnx2lnx1x2x1x1x2(lnx2lnx1)2. x2x1要证x1x2e2 , 只需要证lnx1x2即证lnx2lnx12(x2x1)x，设t2(t1),

x2x1x114(t1)22(t1)40, 则F(t)lntlnt2,所以F(t)t(t1)2t(t1)2t1t1所以函数F(t)在（1，+）上单调增，而F(1)0， 所以F(t)0即lnt

2(t1),所以x1x2e2 . t1第 9 页 共 9 页