随着课程改革的展开和进一步发展，作为一名教师，在新课程改革形势下应该怎么做。在新的课程标准和新的教育理念指导下，我们要培养学生的创新精神和实践探究能力，合作交流自主学习能力，提高学生的综合素质，使学生全面 发展。数学课程的基本理念是使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
数学源于生活，应用于生活，使学习者在学习活动中，探索发现规律，掌握方法，进而达到解决问题的目的。
在我们的教学学习活动中，有许多方法经验都是在实践中悟出来的，有些是在你不经意之中发现的。做为一个创新探究型的学习者，只要你善于学习，敢于探索，你一定会成功的。在你身边的生活事情中，每一件事里面可能都蕴涵着数学思想、数学理念，你是在数学中生活的，只要你留意，一定能找到。自己的一个尝试所受的启发。
操作—发现—猜想—验证 问题一：按图1摆放方式，你能找出在有n层时，小正方形的个数s与层数n的关系吗？第200层有多少个？
解：得通过动手摆放画图实验操作可得 n1 = 1 n 2 = 2 n3 = 3 n4 = 4 s1 = 1 s2 = 3 s 3 = 6 s4 = 10„„ 列表
观察表中数据，可以得到s与n之间的规律 (1)、 s2 = s1 + n2 s 3 = s2+ n 3 „„ (2)、 s随n的增大而增大。 猜想：
（1）、n1 ：s1≠n2 ：s2 , n1 s1≠n2 s2 ,即s与n不可能成正比例函数和反比例函数关系。
（2）、假设s = kn + b，根据题意，有
解之，得
从而有s = 2n - 1
验证：当n = 3时，2n- 1 = 2×3 - 1 = 5≠ 6 = s，即s与n不可能成一次函数关系。
（3）假设s = an2+ bn + c，根据题意，有
解之，得
从而有s = n2+ n。
验证：当n = 4时，n2+ n = ×42+ ×4 = 10 = s； 当n = 5时，n2+ n = ×52+ ×5 = 15 = s；„„
因此，s与n之间的关系是：s = n2+ n。 当n = 200时，n2+ n = ×2002+ ×200 = 20100 问题二：市场营销问题
对北师大版九年级数学教材引例的引伸：T恤衫的批发单价是2.5元，销售价每件13.5元每天可售500件。下面是几天的销售情况统计（单位：元）
（1）你认为售价x与利润y之间有怎样的关系？请说明你的理由。
（2）请你帮助商家设计一个营销方案，使商家可以获取最大利润。
仿问题一进行猜想、验证。
解：（1）观察表中数据，可以得到x与y之间的规律是 x随y的增大而增大。
猜想：假设y = ax2+bx+c，根据题意，有
解之，得
从而有，
y = -200x2+3700x - 8000 验证：当x = 10.5时， -200x2+3700x - 8000 = -200×10.52+3700×10.5-8000 = 8800 = y 当x = 9.5时， -200x2+3700x - 8000 = -200×9.52+3700×9.5 - 8000 = 9100 = y
因此，售价x与利润y之间的关系是 y = -200x2+3700x - 8000
（2）在y = -200x2+3700x - 8000中，当x = -= 9.25时，y有最大值9200。
因此，当售价为9.25元时，可获最大利润。建议商家售价为9.25元。
问题三：平面内n条相交直线最多有几个交点的探讨。 （1）实验操作：画图（如图2）。 „„
直线条数n与交点个数s间的关系是： 当n = 2 时，s = 1 ； 当n = 3 时，s = 3 ； 当n = 4时，s = 6 ；
= -
当n = 5 时，s = 1 0；„„
列表
观察表中数据，可以得到s与n之间的规律有：s随n的增大而增大。
（2）仿问题一进行猜想、验证可得：平面内n条相交直线交点最多个数为
s = n2 - n 。
问题四：平面内n条直线将平面最多分成几部分的探索。 仿问题三通过画图实验操作可得直线条数n与将直线平面最多分成部分数s有，下表
仿问题一进行猜想、验证可得：直线条数n与将直线平面最多分成部分数s有，
s = n2+ n +1。
问题五：（北师大版九年级数学第六章频率与概率中一个练习的引伸）
在九年级数学上册频率与概率一章的随堂练习中有这样的一个问题，“老师有5张电影票，现在要将它们随机分给5个同学，为了保证公平，你能用计算器帮老师作出决定吗？”在处理这个题目时，由于部分学生没有计算器，我说：“不
用计算器，请你帮老师设计一个分配方案（学生有62人）.”学生进行思考,讨论说出他们的方法。
①有说把学生进行1、2、3、„„、60、61、62编号，编号能被12整除者可得电影票；
②有说抓阄的；
③有说老师愿给谁给谁等等。
针对这三种方法，你认为哪个符合要求，保证公平？让学生讨论，大家一直认为方法①和②保证公平，是好方法。
若选用抓阄的方法，你认为先抓好还是后抓好？请你解释一下。老师有5
张电影票，将它们随机分给有50人的班上的5个学生，为了保证公平，请你帮老师设计一种分配方案，分析每人抽中的概率可能值的个数规律。（解答此问题时有学生提出用抓阄的方法）
抓阄的探讨
抓阄按先后顺序抓，用p（n）表示第n人抽中的概率值的可能值的个数，从而有
第一人抽中的概率值为第二人抽中的概率值为
，有1个，p（1）= 1； 、 ，有2个，p（2）= 2；
第三人抽剩下的48个阄中，里面有电影票的可能值是3、4、5，因此第三人抽中的概率值
、
、
，有3个，p（3）= 3；
第四人抽剩下的47个阄中，里面有电影票的可能值是2、3、4、5，因此第四人抽中的概率值 （4）= 4；
、
、
、
，有4个，p
第五人抽剩下的46个阄中，里面有电影票的可能值是1、2、3、4、5，因此第五人抽中的概率值个，p（5）= 5；
第六人抽剩下的45个阄中，里面有电影票的可能值是0、1、2、3、4、5，因此第六人抽中的概率值 0、 、 、 有6个， p（6）=6。
p（7）、p（8）、p（9）、„„、p（45）的可能值有6个。 p（50）= 2，p（49）= 3，p（48）= 4，p（47）= 5，p（46）= 6。 因此抽中的概率可能值的个数规律为：
p（1）= 1、p（2）= 2、p（3）= 3、p（4）= 4、p（5）= 5、p
（6）= 6、
p（7）=6、p（8）=6、„„、p
（46）= 6、p（47）= 5、p（48）= 4、
p（49）= 3、p（50）= 2。
反思：通过分析你认为抓阄时先抓有利还是后抓有利请说出
你的看法。
问题五：如图3，正方形ABCD和正方形BEFC。
、 、 ，
、
、
、
、
，有5
操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DM⊥MN，交对角线BF于点N。
探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。
说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取①完成证明得9分；选取②完成证明得6分。①M是线段AB的中点；②M、N分别是线段AB、BF的中点。
这是一个探究创新型的题目。
解：(1)由于点M是一动点，所以线段DM和MN的长是可变的，点N也是一动点。猜想DM = MN。
探索一：如图4，连接DN，证明△DMN是等腰三角形可得猜想正确，欲证明△DMN是等腰三角形，需证∠MDN =∠MND或证∠MDN = 450或证∠MND = 450，但这些都不易证得。
探索二：如图5，作NG⊥BE于G，证明△DAM≌△MGN可得猜想正确；欲证明△DAM≌△MGN，这时易证∠MDA =∠MNG，但在Rt△DAM和Rt△MGN中，不容易证明有两条对应边相等；这次探索虽然没有证明猜想正确，但符合说明(1)的要求。 根据题目要求，变更条件进行探索。
探索三：如图6，将动点M改为定点。设M为AB的中点。作NG⊥BE于G，设MN及延长线分别交BC、EF于P、Q点。证明Rt△
DAM≌Rt△MGN可得猜想正确；易证∠1 =∠2，只要找到一组对应边相等即可。不妨设正方形ABCD的边长为2a，从而有MB = a，ME = 3a；由于△DAM∽△MGN∽△MEQ，所以有PB = a，EQ = a，FQ =EF - EQ = a，易证△BPN≌△FQN，故N点为BF的中点，从而可得G为BE的中点，则MG = DA。因此猜想是正确的。 探索四：如图7，取M、N分别是线段AB、BF的中点，探索线段DM与线段MN间的关系。猜想DM = MN。仿探索三的分析可得猜想是正确的。
探索五：如图8，再将M点改为AB上的动点，进行探索。当M点远离A点时，进行画图比较，AM与BM不一定相等，设AM≠BM，仍猜想DM = MN。作NG⊥BE于G，设MN及延长线分别交BC、EF于P、Q点。不妨设正方形ABCD的边长为a，AM = m，NG = x，易知BG = NG则MG =a - m + x，利用△DAM∽△MGN可以得到，
=
，即
= ，所以可得x = m，从而MG = AD，故
Rt△DAM≌Rt△MGN，DM = MN，因此猜想正确。
探索六：如图9，在AD上取AP=AM，连接PM。这时可得PD=MB，∠DPM=∠MBN=1350，故△DPM≌△MBN，DM = MN，因此猜想正确。
总之M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DM⊥MN，交对角线BF于点N。总有DM = MN。
延伸反思：
如图10，当M是线段AE
延长线上一动点，DM⊥MN，交对角线BF延长线于点N，
探究线段DM和MN之间的关系，
并加以
对想，但
证明。
于上面的探索有的虽然不能证明猜我们可以从中找出规律。
问题五：如图a是小树四年树枝分叉示意图，请问第n年树枝分叉枝数S有多少？
由图a可知，第n年树枝分叉枝数S有下表
仿问题一进行猜想、验证可得：第n年树枝分叉枝数S与n 不成正比例函数也不成反比例函数关系，不是一次函数也不是二次函数关系。
但从表中可以看出
1 = 21- 1，3 = 22-1，7 = 23- 1，15 = 24- 1。 因此可以猜想 s = 2n- 1。
按上面的规律画出图b进行验证当n = 5时，上面猜想正确，依此方法可以验证n = 6，n = 7时，s = 2n- 1成立，因此第n年树枝分叉枝数有s = 2n- 1。
这是一个不成正比例函数也不成反比例函数关系，不是一次函数也不是二次函数关系的初中探索规律问题，这就要求学生在数据的计算中猜想发现规律,积累知识，总结方法，用数学知识的思想方法将问题转化。
随着新课程改革的深入展开，现在初中数学学习中将高中的一些内容渗透了进来，如初中数学探索规律问题
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