【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请把答案填在答题卷的相应位置．
1．集合M={y|y=lg〔x2+1〕}，N={x|4x＜4}，那么M∩N等于〔 〕 A、[0，+∞〕 B、[0，1〕 C、〔1，+∞〕 D、〔0，1]
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，那么z1z2=〔 〕
A、﹣5 B、5 C、﹣4+i D、﹣4﹣i
3．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为A、
4．假设x，y满足约束条件那么•的取值范围〔 〕
A、[，5] B、[，5] C、[，4] D、[，4]
5．函数f〔x〕=sin2x+2cos2x﹣1，将f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g〔x〕的图象，那么函数y=g〔x〕的解析式为〔 〕
，那么tanθ的值为〔 〕
B、±1 C、 D、
，且向量=〔3，2〕，=〔x，y〕，
A、C、
B、 D、
6．各项均为正数的等比数列{an}中，3a1，
=〔 〕
A、27 B、3 C、﹣1或3 D、1或27
7．在△ABC中，〝
成等差数列，那么
=0〞是〝△ABC是直角三角形〞的〔 〕
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8．等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11那么一定有〔 〕
A、a6≥b6 B、a6≤b6 C、a12≥b12 D、a12≤b12
9．定义在区间[a，b]〔b＞a〕上的函数
的值域是
，那么b﹣a的最大值M和最小值m分别是〔 〕
A、
10．函数 f〔x〕=〔x2﹣2x〕ex的图象大致是〔 〕 A、
B、 C、 D、
B、 C、 D、
11．如图，
，
A、 B、 C、 D、
12．设f〔x〕的定义域为D，假设f〔x〕满足下面两个条件，那么称f〔x〕为闭函数．①f〔x〕在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f〔x〕在[a，b]上的值域为[a，b]．如果〔 〕 A、﹣1＜k≤
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．设函数f〔x〕=
，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣ax，x∈[﹣
B、≤k＜1 C、k＞﹣1 D、k＜1
为闭函数，那么k的取值范围是
，
，
，假设m=，那么n=〔 〕
2，2]为偶函数，那么实数a的值为 ． 14．函数
那么
= ．
15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A〔1，3〕，那么b的值为
．
16．函数f〔x〕=ax﹣x2〔a＞1〕有三个不同的零点，那么实数a的取值范围是 ．
【三】解答题，本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0 〔1〕求C的大小；
〔2〕求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点． 〔Ⅰ〕试证：AB⊥平面BEF；
〔Ⅱ〕设PA=k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
19．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α〔0＜α＜〕．
〔1〕为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
〔2〕为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．
20．设fk〔n〕为关于n的k〔k∈N〕次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk〔n〕都成立． 〔I〕假设k=0，求证：数列{an}是等比数列；
〔Ⅱ〕试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．
21．设函数f 〔x〕=〔x+1〕lnx﹣a 〔x﹣1〕在x=e处的切线与y轴相交于点〔0，2﹣e〕． 〔1〕求a的值；
〔2〕函数f 〔x〕能否在x=1处取得极值？假设能取得，求此极值；假设不能，请说明理由． 〔3〕当1＜x＜2时，试比较
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲．
22．AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1． 〔Ⅰ〕求证：AC平分∠BAD； 〔Ⅱ〕求BC的长．
与
大小．
选修4-4：坐标系与参数方程．
23．在平面直角坐标系xOy中，C1：有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
〔θ为参数〕，将C1上的所和2倍后得到曲线C2以平面直
角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：ρ〔
cosθ+sinθ〕=4
〔1〕试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
〔2〕在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
选修4-5；不等式选讲． 24．函数
．
〔1〕a=5，函数f〔x〕的定义域A；
〔2〕设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈〔B∩CRA〕时，证明：
．
参考答案与试题解析
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请把答案填在答题卷的相应位置．
1．集合M={y|y=lg〔x2+1〕}，N={x|4x＜4}，那么M∩N等于〔 〕 A、[0，+∞〕 B、[0，1〕 C、〔1，+∞〕 D、〔0，1] 【考点】交集及其运算． 【专题】集合．
【分析】求出M中函数的值域确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可． 【解答】解：∵x2+1≥1，
∴y=lg〔x2+1〕≥0，即M=[0，+∞〕， 由N中的不等式变形得：4x＜41，即x＜1， ∴N=〔﹣∞，1〕， 那么M∩N=[0，1〕． 应选：B、
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，那么z1z2=〔 〕
A、﹣5 B、5 C、﹣4+i D、﹣4﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论． 【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为〔2，1〕， ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， ∴〔2，1〕关于虚轴对称的点的坐标为〔﹣2，1〕， 那么对应的复数，z2=﹣2+i，
那么z1z2=〔2+i〕〔﹣2+i〕=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5， 应选：A
【点评】此题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决此题的关键，比较基础．
3．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为A、
B、±1 C、
D、
，那么tanθ的值为〔 〕
【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值． 【解答】解：角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x=坐标为y=±故tanθ==±应选：C、
，那么它的纵
， ，
【点评】此题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．假设x，y满足约束条件那么•的取值范围〔 〕
A、[，5] B、[，5] C、[，4] D、[，4] 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：∵向量=〔3，2〕，=〔x，y〕， ∴•=3x+2y， 设z=3x+2y，
作出不等式组对于的平面区域如图： 由z=3x+2y，那么y=平移直线y=
，
，
，且向量=〔3，2〕，=〔x，y〕，
，由图象可知当直线y=
经过点B时，直线y=由
，解得
的截距最大，此时z最大，
，即B〔1，1〕，
此时zmax=3×1+2×1=5， 经过点A时，直线y=由
的截距最小，此时z最小，
，解得，即A〔，〕，
此时zmin=3×+2×=， 那么≤z≤5 应选：A、
【点评】此题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键．
5．函数f〔x〕=sin2x+2cos2x﹣1，将f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g〔x〕的图象，那么函数y=g〔x〕的解析式为〔 〕 A、C、
B、 D、
【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换． 【专题】转化思想．
【分析】由中函数f〔x〕=sin2x+2cos2x﹣1，我们根据倍角公式及辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法那么，结合中将f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐
标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g〔x〕的图象，即可求出函数y=g〔x〕的解析式．
【解答】解：∵函数f〔x〕=sin2x+2cos2x﹣1， ∴f〔x〕=sin2x+cos2x=
将f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，可以得到y=
的图象
再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=
=
故函数y=g〔x〕的解析式为应选D
【点评】此题考查的知识点是函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，熟练掌握y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法那么及方法是解答此题的关键．
6．各项均为正数的等比数列{an}中，3a1，
=〔 〕
A、27 B、3 C、﹣1或3 D、1或27 【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得代值计算可得．
成等差数列，那么
=q3，
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， 由题意可得a3=3a1+2a2， ∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q 解得q=3，或q=﹣1〔舍去〕， ∴
=
=q3=27
应选：A
【点评】此题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．
7．在△ABC中，〝
=0〞是〝△ABC是直角三角形〞的〔 〕
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题；规律型；转化思想；分析法；简易逻辑．
【分析】通过数量积判断三角形的形状，利用三角形的形状说明数量积是否为0，即可得到充要条件的判断． 【解答】解：在△ABC中，〝直角三角形〞．
三角形是直角三角形，不一定B=90°， 所以在△ABC中，〝条件． 应选：B、
=0〞是〝△ABC是直角三角形〞的充分不必要
=0〞可知B为直角，那么〝△ABC是
【点评】此题考查三角形的形状与数量积的关系，充要条件的判断，是基础题．
8．等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11那么一定有〔 〕
A、a6≥b6 B、a6≤b6 C、a12≥b12 D、a12≤b12 【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由得a1+a11=b1+b11=2a6，由此利用均值定理能比较a6和b6的大小．
【解答】解：∵等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11，
∴a1+a11=b1+b11=2a6， 那么a6=
=
≥
=b6，
当等号成立时有b1=b11，此时q=1， ∴a6≥b6． 应选：A、
【点评】此题考查等差数列{an}和等比数列{bn}中两项大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．
9．定义在区间[a，b]〔b＞a〕上的函数
的值域是
，那么b﹣a的最大值M和最小值m分别是〔 〕
A、 B、 C、 D、
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】利用两角差的正弦化简得，f〔x〕=sin〔在∈[
上的值域为
，不妨设
〕，由函数f〔x〕，可得b﹣
]，由此可得b﹣a的最大值M和最小值m的值．
=sin〔
〕， ，
上的值域为
，那么b﹣∈[
；
．
]，
，
【解答】解：
∵x∈[a，b]〔b＞a〕，∴由函数f〔x〕在不妨设
∴b﹣a的最大值M=最小值m=应选：D、
【点评】此题考查两角差的正弦，考查了三角函数的值是基础题．
10．函数 f〔x〕=〔x2﹣2x〕ex的图象大致是〔 〕 A、
B、
C、
D、
【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象． 【解答】解：由f〔x〕=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，
∴函数f〔x〕有两个零点，∴A，C不正确． ∴f'〔x〕=〔x2﹣2〕ex，
由f'〔x〕=〔x2﹣2〕ex＞0，解得x＞由f'〔x〕=〔x2﹣2〕ex＜0，解得，﹣即x=﹣
是函数的一个极大值点，
或x＜﹣＜x＜
．
∴D不成立，排除D、 应选：B
【点评】此题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，此题使用特殊值法是判断的关键，此题的难度比较大，综合性较强． 11．如图，
，
A、 B、 C、 D、
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由可得， =将m=代入，可得n值． 【解答】解：∵
，
，根据三点共线的充要条件，可得
=1，
，
，
，假设m=，那么n=〔 〕
故C为线段AB的中点， 故=∴=
=2， ，
由∴∴=
，，
， ， ，
∵M，P，N三点共线， 故
=1，
当m=时，n=， 应选：C
【点评】此题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中熟练掌握三点共线的充要条件，是解答的关键．
12．设f〔x〕的定义域为D，假设f〔x〕满足下面两个条件，那么称f〔x〕为闭函数．①f〔x〕在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f〔x〕在[a，b]上的值域为[a，b]．如果〔 〕 A、﹣1＜k≤
B、≤k＜1 C、k＞﹣1 D、k＜1
为闭函数，那么k的取值范围是
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题；压轴题．
【分析】首先应根据条件将问题转化成：
在
上有两个和y=x
不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数﹣k在以化简方程
上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可
，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情
况分析亦可获得问题的解答．
【解答】解： 方法一：因为：b]上的值域为[a，b]， ∴
，即f〔x〕=x在上有两个不等实根．
∴问题可化为两个不同交点．
对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤对于临界直线n，令
=1，得切点P横坐标为0，
． ，
和y=x﹣k在
上有
上有两个不等实根，即
在
为
上的增函数，又f〔x〕在[a，
∴P〔0，﹣k〕，
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1． 综上，﹣1＜k≤方法二：因为：b]上的值域为[a，b]， ∴
，即f〔x〕=x在上有两个不等实根．
化简方程
，得x2﹣〔2k+2〕x+k2﹣1=0．
上有两个不等实根，即
在
．
为
上的增函数，又f〔x〕在[a，
令g〔x〕=x2﹣〔2k+2〕x+k2﹣1，那么由根的分布可得，即
，
解得k＞﹣1．又综上，﹣1＜k≤应选A、
，
，∴x≥k，∴k≤．
【点评】此题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分表达了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．设函数f〔x〕=
，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣ax，x∈[﹣
．
2，2]为偶函数，那么实数a的值为 【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】依题意，可求得g〔x〕=1〕=g〔1〕即可求得实数a的值． 【解答】解：∵f〔x〕=∴g〔x〕=f〔x〕﹣ax=∵g〔x〕=
为偶函数，
，
，
，依题意，g〔﹣
∴g〔﹣1〕=g〔1〕，即a﹣1=1﹣a﹣1=﹣a， ∴2a=1， ∴a=． 故答案为：．
【点评】此题考查函数奇偶性的性质，求得g〔x〕的解析式后，利用特值法g〔﹣1〕=g〔1〕是解决问题的关键，属于中档题． 14．函数
【考点】定积分． 【专题】导数的综合应用． 【分析】
=
，由定积分的几何意义可知：
那么
=
．
表示上半圆x2+y2=1〔y≥0〕的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出
【解答】解：
=
dx=，
．
由定积分的几何意义可知：面积， ∴又∴
故答案为：
dx=
=
． =． =e2﹣E、
表示上半圆x2+y2=1〔y≥0〕的
=好．
【点评】此题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．
15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A〔1，3〕，那么b的值为 3 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题．
【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点〔1，3〕处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．
【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A〔1，3〕， ∴
…①
又∵y=x3+ax+b，
∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…② ∴由①②得：b=3．
故答案为：3．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
16．函数f〔x〕=ax﹣x2〔a＞1〕有三个不同的零点，那么实数a的取值范围是 1＜a＜ ．
【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由ax﹣x2=0，可得lna=
，
构造函数，确定函数的单调性，求出1＜a＜时有两个交点，即可得出结论．
【解答】解：x＞0时，由ax﹣x2=0，可得ax=x2，∴xlna=2lnx， ∴lna=
，
，那么h′〔x〕=
=0，可得x=e，
令h〔x〕=
∴函数在〔0，e〕上单调增，在〔e，+∞〕上单调减， ∴h〔x〕max=h〔e〕=， ∴lna＜，
∴1＜a＜时有两个交点； 又x＜0时，必有一个交点，
∴1＜a＜时，函数f〔x〕=ax﹣x2〔a＞1〕有三个不同的零点， 故答案为：1＜a＜．
【点评】此题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【三】解答题，本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0 〔1〕求C的大小；
〔2〕求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值． 【考点】余弦定理的应用．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】〔1〕利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可． 〔2〕由余弦定理以及基本不等式求解最值即可．
【解答】解：〔1〕cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0 可得：cosBsinC﹣〔a﹣sinB〕cosC=0 即：sinA﹣acosC=0． 由正弦定理可知：∴
，
，
∴asinC﹣acosC=0， sinC﹣cosC=0，可得∴C=．
sin〔C﹣〕=0，C是三角形内角，
〔2〕由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC， 得1=a2+b2﹣又∴即：当
．
时，a2+b2取到最大值为2+
．
，
，
ab
【点评】此题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点． 〔Ⅰ〕试证：AB⊥平面BEF；
〔Ⅱ〕设PA=k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】计算题；证明题．
【分析】〔Ⅰ〕欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
〔Ⅱ〕以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可． 【解答】解：〔Ⅰ〕证：由DF∥AB且∠DAB为直角， 故ABFD是矩形，从而AB⊥BF． 又PA⊥底面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD， 因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF． 由此得AB⊥平面BEF．
〔Ⅱ〕以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，那么=〔﹣1，2，0〕，=〔0，1〕 设平面CDB的法向量为
，
那么∴
，取y=1，可得
，平面EDB的法向量为
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，
那么cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得
，那么
．
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
19．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α〔0＜α＜〕．
〔1〕为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
〔2〕为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．
【考点】三角形中的几何计算． 【专题】解三角形．
【分析】〔1〕借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；
〔2〕借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．
【解答】〔1〕在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，那么AE=8tanα． 所以S△APE=PA×AE=32tanα．…
同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，那么BF=所以S△PBF=PB×BF=
．…
…
故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+32tanα+
≥2
=8
当且仅当32tanα=，即tanα=时取等号，
故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．… 〔2〕在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，那么PE=同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，那么PF=令f〔α〕=PE+PF=那么f′〔α〕=f′〔α〕=0得tanα=
所以tanα=，f〔α〕取得最小值，… 此时AE=AP•tanα=8×=4，BF=
+
=
，0＜α＜…
当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…
【点评】此题考查了学生解三角形的能力，基本不等式的性质和导数的应用，此题对学生的综合应用知识的能力有较高的要求．
20．设fk〔n〕为关于n的k〔k∈N〕次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk〔n〕都成立． 〔I〕假设k=0，求证：数列{an}是等比数列；
〔Ⅱ〕试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 【考点】数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定． 【专题】综合题；压轴题．
【分析】〔Ⅰ〕假设k=0，不妨设f0〔n〕=c〔c为常数〕．即an+Sn=c，结合数列中an与 Sn关系再证明．
〔Ⅱ〕由特殊到一般，实质上是由an+Sn=fk〔n〕 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．
【解答】〔Ⅰ〕证明：假设k=0，那么fk〔n〕即f0〔n〕为常数， 不妨设f0〔n〕=c〔c为常数〕．
因为an+Sn=fk〔n〕恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2． 而且当n≥2时， an+Sn=2，① an﹣1+Sn﹣1=2，②
①﹣②得 2an﹣an﹣1=0〔n∈N，n≥2〕．
假设an=0，那么an﹣1=0，…，a1=0，与矛盾，所以an≠0〔n∈N*〕． 故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
〔Ⅱ〕解：〔1〕假设k=0，由〔Ⅰ〕知，不符题意，舍去．
求出数列{an}的通项公式后
〔2〕假设k=1，设f1〔n〕=bn+c〔b，c为常数〕， 当n≥2时，an+Sn=bn+c，③ an﹣1+Sn﹣1=b〔n﹣1〕+c，④
③﹣④得 2an﹣an﹣1=b〔n∈N，n≥2〕． 要使数列{an}是公差为d〔d为常数〕的等差数列， 必须有an=b﹣d〔常数〕，
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1〔n∈N*〕， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1〔n∈N*〕， 此时f1〔n〕=n+1．
〔3〕假设k=2，设f2〔n〕=pn2+qn+t〔a≠0，a，b，c是常数〕， 当n≥2时，
an+Sn=pn2+qn+t，⑤
an﹣1+Sn﹣1=p〔n﹣1〕2+q〔n﹣1〕+t，⑥ ⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p〔n∈N，n≥2〕， 要使数列{an}是公差为d〔d为常数〕的等差数列， 必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考虑到a1=1，所以an=1+〔n﹣1〕•2p=2pn﹣2p+1〔n∈N*〕． 故当k=2时，数列{an}能成等差数列， 其通项公式为an=2pn﹣2p+1〔n∈N*〕，
此时f2〔n〕=an2+〔a+1〕n+1﹣2a〔a为非零常数〕．
〔4〕当k≥3时，假设数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，
那么an+Sn的表达式中n的最高次数为2， 故数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．
【点评】此题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．
21．设函数f 〔x〕=〔x+1〕lnx﹣a 〔x﹣1〕在x=e处的切线与y轴相交于点〔0，2﹣e〕． 〔1〕求a的值；
〔2〕函数f 〔x〕能否在x=1处取得极值？假设能取得，求此极值；假设不能，请说明理由． 〔3〕当1＜x＜2时，试比较
与
大小．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】〔1〕求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；
〔2〕函数f 〔x〕不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论； 〔3〕当1＜x＜2时，的性质，即可得到结论．
【解答】解：〔1〕f′〔x〕=lnx++1﹣a， 依题设得
＞﹣．运用函数的单调性和不等式
=f′〔e〕，即
e+1﹣a〔e﹣1〕﹣〔2﹣e〕=e解得a=2；
，
〔2〕函数f 〔x〕不能在x=1处取得极值．
因为f′〔x〕=lnx+﹣1，记g〔x〕=ln x+﹣1，那么g′〔x〕=①当x＞1时，g′〔x〕＞0，所以g〔x〕在〔1，+∞〕是增函数， 所以g〔x〕＞g〔1〕=0，所以f′〔x〕＞0；
②当0＜x＜1时，g′〔x〕＜0，所以g〔x〕在〔0，1〕是减函数， 所以g〔x〕＞g〔1〕=0，即有f′〔x〕＞0． 由①②得f 〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数， 所以x=1不是函数f 〔x〕极值点． 〔3〕当1＜x＜2时，
＞
﹣
．
．
证明如下：由〔2〕得f 〔x〕在〔1，+∞〕为增函数， 所以当x＞1时，f〔x〕＞f 〔1〕=0． 即〔x+1〕lnx＞2〔x﹣1〕，所以因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，
＜
．①
＜
＞1，所以
=
即﹣①+②得
﹣＜
， ．② ＜
+
=
．
【点评】此题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的大小比较，注意运用单调性和不等式的性质是解题的关键．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲．
22．AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1． 〔Ⅰ〕求证：AC平分∠BAD； 〔Ⅱ〕求BC的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 【专题】综合题．
【分析】〔Ⅰ〕连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD、 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知从而有
，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，
，故可求BC的长．
【解答】〔Ⅰ〕证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA， 因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD， 又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD、 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知
，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED， 所以
，所以BC=2．
【点评】此题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．
选修4-4：坐标系与参数方程． 23．在平面直角坐标系xOy中，C1：有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
〔θ为参数〕，将C1上的所和2倍后得到曲线C2以平面直
角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：ρ〔
cosθ+sinθ〕=4
〔1〕试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
〔2〕在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值． 【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】〔1〕把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．
〔2〕先求得直线l的直角坐标方程，设点P〔到直线的距离为d=
cosθ，2sinθ〕，求得点P
，故当sin〔θ+〕=1时，即
θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值
【解答】解：〔1〕把C1：为 x2+y2=1，
故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为
+
=1，即+=1．
〔θ为参数〕．
x+y﹣4=0，设点P〔
cosθ，
〔θ为参数〕，消去参数化为普通方程
故曲线C2的极参数方程为〔2〕直线l：ρ〔2sinθ〕，
那么点P到直线的距离为d=
cosθ+sinθ〕=4，即
=，
故当sin〔θ+〕=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P〔1，
〕，
〕满足到直线l的距离的最小值为
﹣
．
故曲线C2上有一点P〔1，
【点评】此题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
选修4-5；不等式选讲． 24．函数
．
〔1〕a=5，函数f〔x〕的定义域A；
〔2〕设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈〔B∩CRA〕时，证明：
．
【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合． 【分析】〔1〕根据绝对值的几何意义即可求出， 〔2〕先两边平方，再利用做差法进行比较即可．
【解答】解：〔1〕由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，|x+1|+|x+2|≥5得到得A={x|x≤﹣4或x≥1}，
〔2〕由A={x|x≤﹣4或x≥1}， ∴CRA=〔﹣4，1〕， ∵B={x|﹣1＜x＜2}， ∴B∩CRA=〔﹣1，1〕， 又
2﹣2=4而4〔a+b〕〔4+ab〕〔a2+2ab+b2〕﹣〔16+8ab+a2b2〕=4a2+4b2
﹣a2b2﹣16=a2〔4﹣b2〕+4〔b2﹣4〕=〔b2﹣4〕〔4﹣a2〕， ∵a，b∈〔﹣1，1〕， ∴〔b2﹣4〕〔4﹣a2〕＜0 ∴4〔a+b〕2＜〔4+ab〕2， ∴2|a+b|＜|4+ab| ∴
，
【点评】此题考查二绝对值的几何意义，集合的基本运算，以及不等式的证明，属于中档题．
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