卢大庆秒杀高中数学正方体棱切球(最好在电脑上下载观看这样效果最好)

 正方体棱切球 卢大庆 正方体棱切球的半径一作，二证，三计算求出正方体棱切球的半径，从而又快速又准确地解决正方体棱切球的表面积与体积。 已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长都为a，球E的球心为E，球E与此正方体各棱都相切（球E称为此正方体的棱切球），求球E的半径R，表面积S与体积V。 1 解：由球E与此正方体各棱都相切以及对称性和结合上图 球E与此正方体的中心是重合的，它们的中心是点E， 点E是此正方体体对角线BD1与A1C的交点。 ①作出球E的半径EF： 作EF垂直于球E的切线BC，交BC于点FEFBC ②证明EF是球E的半径： F是球E与此正方体的棱BC相切时的切点 F是球E上的一点，E是球E的球心EF是球E的半径R=EF。 A1D1=BCA1BCD1是平行四边形。 ③计算球E的半径EF：A1D1BC，BCAB,BCB1B,ABB1B=B, AB平面ABB1A1，B1B平面ABB1A1BC平面ABB1A1 BCA1B，平行四边形A1BCD1矩形A1BCD1， CE=EA1，EFBC， 根据矩形的对角线互相平分且相等EB=EC，根据等腰三角形EBC底边上的高与底边上的中线重合 CFFB,CE=EA1EF是CA1B的中位线 1R＝EF=A1B，正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长都为a 21此正方体的面对角线A1B=2a，R＝EF=A1B 212R＝EF=A1B=a（这是此正方体棱切球的半径） 22S＝4R2=4(22442323a)2a2,V=R3=(a)=a 23323（这是此正方体棱切球的表面积与体积） 正方体的棱切球一般很难画出，先找出它的球心E，作出它的球半径EF，再证明EF是它的一条球半径，再计算出它的球半径EF的大小，从而可以求出它的表面积与体积。 2 经典例题：已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长都为2，球E的球心为E， 球E与此正方体各棱都相切（球E称为此正方体的棱切球）， 求球E的半径R，表面积S与体积V。 解：此正方体棱切球的半径：R=122A1B=2 22 此正方体棱切球的表面积与体积： 4482S＝4R2=4(2)28,V=R3=(2)3= 333 3